1、12“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省 高考 考试 说明 中圆 的方程 是 C 级 知识 点， 每 年都考 ，但 有些 时候 ，在 条件中 没 有直接 给 出 圆方 面的 信息 ， 而是隐 藏在 题目 中的 ， 要通 过分析 和转 化 ， 发 现圆 （或 圆的方 程 ） ， 从而最 终 可 以利 用圆 的知 识来求 解， 我们 称这 类问 题为“ 隐形 圆” 问题 二、求解策略如何发 现隐 形圆 （或 圆的 方程） 是关 键， 常见 的有 以下策 略 策略一 利 用圆 的定 义（ 到定点 的距 离等 于定 长的 点的轨 迹） 确定 隐形 圆 例 1（1） 如果 圆( x 2a)
2、2 (ya3) 24 上总 存在 两 个点 到 原点 的距 离 为 1， 则实 数 a 的 取值范围 是 6 a 05略解： 到原 点的 距离 为 1 的点的 轨迹 是以 原点 为圆 心的单 位圆 ， 转 化到 此单 位圆与 已知 圆相交 求解 （2） （20 16 年 南京 二模 ） 已知 圆 O： x2 y2 1， 圆 M： (x a)2 (y a 4)2 1 若圆 M 上 存在 点 P， 过 点 P 作 圆 O 的两 条 切线 ， 切点 为 A， B， 使 得 APB6 0， 则 a 的取值 范 围为 解： 由题 意得 OP 2 ，所 以 P 在 以 O 为 圆心 2 为 半径的 圆 上
3、，即 此圆 与 圆 M 有 公共点，因 此有 2 1 OM 2 1 1 a2 (a 4)2 9 2 2 a 2 2 2 2（3） （201 7 年 苏北 四市 一模） 已知 A、 B 是圆 C : x2 y2 1 上的 动点 ， AB= 3 ， P 是圆C : (x 3） 2 ( y 4)2 1 上的动 点， 则 PA PB 的取 值 范围 是 7,13 1略解： 取 AB 的中 点 M， 则 C1M= 21，所 以 M 在以 C1 圆心， 半径 为 2 的圆上 ，且PA PB 2PM ，转化 为两 圆上 动点 的距 离的最 值 （ 4） 若 对 任意 R， 直 线 l： xcosysi n2
4、s in( )4 与圆 C：( x m)2( y 3 m)261 均 无公 共点 ，则 实数 m 的 取值 范围 是 ( 1 , 5 )2 2略解： 直 线 l 的方 程为 ：( x-1)cos( y- 3 )sin4，M (1, 3 )到 l 距 离为 4，所 以 l 是以 M 为 圆心 半径 为 4 的定 圆的切 线系 ，转 化为 圆 M 与圆 C 内 含0 0O 2 ， 注：直 线 l：( x-x0)cos( y- y0)sinR 为圆 M： (x x )2 (x y )2 R2 的切 线系例 2（20 17 年南 通市 一模 ） 在平 面直 角坐 标 系 xOy 中，已 知 B， C
5、为 圆 x2 y2 4 上两 点， 点 A(1， 1) ， 且 AB AC，则 线段 BC 的 长的 取值 范围 为 解：法 一（ 标解 ） ： 设 BC 的中 点为 M x, y ， 因为 OB2 OM 2 BM 2 OM 2 AM 2 ， y所以 4 x2 y2 x 12 y 12 ， B MC2 2化简得 x 1 y 1 3 ， A 2 2 2 x所以点 M 的轨 迹是 以 1 1 为圆心 ， 3 2 为半 径的2 6 圆， 所 以 AM 的取值范 围是22 ， 6 2 ， 所 2 2 例 2 以 BC 的取 值范 围是 6 2 ， 6 2 法二： 以 AB、A C 为 邻边 作矩 形
6、BACN， 则 BCA N ， 由矩形 的几 何性 质 （矩 形所 在平面 上的 任意 一点 到其 对角线 上的 两个 顶点 的距 离的平 方和相等 ） ， 有 OB2 OC2 OA2 ON 2 ，所以 ON 6 ，故 N 在以 O 为圆 心， 半径 为 6 的圆 上， 所以 BC 的取 值范 围是 6 2 ， 6 2 变式 1 （ 2014 年 常州 高 三期末 卷 ） 在 平面直 角坐 标系 xOy 中， 已知 圆 O : x2 y2 16 ， 点P (1, 2) ， M、 N 为圆 O 上两 个不 同的点 ， 且 PM PN 0 ， 若 PQ PM PN ， 则 PQ 的最小值 为 3
7、3 5 y2 2 2 2变式 2 已 知圆 C1 ： x y 9 ，圆 C2 ： x y 4 ，定点 AP(1, 0) ， 动点 A, B 分别 在圆 C1 和圆 C2 上， 满 足 APB 90 ，则线段 AB 的取 值范 围 2 3 1, 2 3 1 BO P x变式 3 已 知向 量 a、 b、 c 满足 a 3, b 2, c 1, (a c) (b c) 0 ，则 a b 范围为 2 3 1, 2 3 10策略二 动 点 P 对 两定 点 A、 B 张 角是 900 （ k PA kPB 1 ，或 PA PB 0）确 定 隐形 圆例 3 （1 ）（2 014 年北 京 卷）已 知 圆
8、 C： (x 3)2 ( y 4)2 1 和两点 A(m, 0) ， B(m, 0) ，若圆上 存在 点 P， 使得 APB 90 ， 则 m 的 取值 范围 是 4, 6略解： 由已 知以 AB 为直 径的 圆与圆 C 有公 共点 （2） （海 安 2016 届 高三 上期末 ）在 平面 直角 坐标 系 x Oy 中 ，已 知点 P (1， 0) ，Q(2 ， 1) ， 直线 l： ax by c 0 其中 实 数 a， b， c 成 等差 数列， 若点 P 在直 线 l 上 的射影 为 H，则 线段 QH 的取值 范围 是 2, 3 2 解： 由题 意， 圆心 C(1， 2)在 直 线 a
9、x by c 0 上 ， 可 得 a 2b c 0， 即 c 2b a直线 l： (2a b)x (2b c)y (2c a) 0，即 a(2x y 3) b(4 x) 0，2x y 3 0,由 4 x 0 ，可 得 x4， y 5， 即直线 过定 点 M(4， 5)，由题意 ， H 在 以 PM 为 直 径的圆 上， 圆心 为 A(5， 2)，方程 为 (x 5)2 (y 2)2 50， |CA| 4 2 ， CH 最 小 为 5 2 4 2 2 ， CH 最大 为 4 2 5 2 9 2 ，线 段 CH 长度 的取 值范 围是 2 ，9 2 （3） （通 州区 2017 届高 三下 开 学
10、初 检测 ）设 m R ，直 线 l1 ： x my 0 与直线l2 ： mx y 2m 4 0 交于 点 P(x0 , y0 ) ，则 x0 2 y 2 2x0 的取 值范 围是 12 4 10,12 4 10 略解 ： l1 过 定点 O(0， 0)， l2 过定 点 A(2， -4)， 则 P 在 以 OA 为直 径的 圆上 （除 去 一点 ） ， 变式 （20 17 年 南京 二模 ）在 平 面直 角坐 标 系 xOy 中，直 线 l1：k xy 2 0 与直线 l2： xky 20 相 交于 点 P，则 当实 数 k 变 化时， 点 P 到 直线 x y 40 的距离的最 大值 为
11、3 2策略三 两 定点 A、 B， 动 点 P 满足 PA PB 确定 隐形 圆 例 4 （1 ） （20 17 年南 通密 卷 3） 已知 点 A(2, 3) ， 点 B(6, 3) ， 点 P 在 直线 3x 4 y 3 0 上，若满足 等式 AP BP 2 0 的 点 P 有两 个 ，则实 数 的取 值 范围 是 解：设 P（ x， y） ， 则 AP (x 2, y 3) ， BP ( x 6, y 3) ， 根据 AP BP 2 0 ，有 x 42 y 2 13 2 13 .由题 意 2 心，圆： x 42 y 2 13 2 13 圆与直 线 3x 4 y 3 0 相交， 2 3 4
12、 4 0 3圆心到 直线 的距 离 d 3 32 4213 2 ，所以 2 . （2） （201 6 年 盐城 三 模 ）已知 线 段 AB 的 长为 2， 动点 C 满 足 CA CB （ 为常 数） ，且点 C 总 不在 以点 B 为圆 12 为半 径的 圆内 ， 则 负数 的最大 值是 . 3 4略解： 动 点 C 满足 方程 x2 y2 1 .策略四 两定 点 A、B ， 动点 P 满 足 PA2 PB2 是定值 确 定 隐 形圆 例 5 （1 ）在 平面 直角 坐 标系 xOy 中， 已知 圆 C： (x a)2 (y a 2)2 1， 点 A(0，2) ， 若 圆 C 上存 在点
13、M， 满足 MA2 MO2 10， 则 实 数 a 的取值 范围 是 0，3略解： M 满 足的 方程 为 x2 ( y 1)2 4 ，转化为 两圆 有公 共点（2） （201 7 年 南京 、 盐 城一模 ）在 ABC 中， A， B，C 所对的 边分 别为 a, b, c ，若a2 b2 2c2 8 ，则 ABC 面积的 最大 值为 2 55解： 以 AB 的 中点 为原 点 ，A B 所 在直 线为 x 轴 ，建 系. 设 A( c , 0) ， B( c , 0) ， C(x, y) ，则 由 a2 b2 2c2 8 ，2 2得 (x c )2 y2 ( x c ) y2 2c2 8
14、，即 x2 y2 4 5 c2 ，2 2所以 点 C 在此 圆上 ，S c r c 4 5 c2 14(4 5 c2 ) 5 c2 2 52 2 45 4 4 5策略五 两 定 点 A、B ，动 点 P 满足 PA ( 0, 1) 确 定 隐形 圆（ 阿 波罗尼 斯圆 ） PB例 6（1）略解： 点 P 满 足圆 的方 程 为 x2 y2 4 ，转 化到 直线 与圆 相交 . （2） （201 6 届 常州 一模 ）在平 面直 角坐 标 系 xOy 中，已 知 圆 O：x 2 y21 ，O1： (x 4)2 y2 4， 动点 P 在 直线 x 3 y b 0 上， 过点 P 作 圆 O， O1
15、 的两 条切 线，y2 3切点分 别 为 A，B ，若 满足 PB 2PA 的点 P 有 且仅 有两 个， 则 b 的取 值范 围 20 ,4 3 例 7（ 2017 年 南通 二模） 一缉私 艇巡 航至 距领 海边 界线 l（一 条南 北方 向的 直 线） 3.8 海里 的 A 处 ， 发 现在 其北 偏东 30方向相 距 4 海里 的 B 处 有 一走私 船正 欲逃 跑 ， 缉 私 艇立即 追 击 已 知缉 私艇 的最 大航 速是 走 私船 最大 航速 的 3 倍 假 设缉 私艇 和走 私船 均按直 线 方 向以最 大航 速航 行（1）若 走 私 船 沿 正 东 方 向 逃 离 ， 试 确
16、 定 缉 私 艇 的 追 击 方 向 ， 使 得 用 最 短 时 间 在 领 海 内 拦 截成 功 ； （参考数 据： sin17 3 ， 33 5.7446 ）6（2） 问： 无论 走私 船沿 何 方向逃 跑， 缉私 艇是 否总 能在领 海内 成功 拦截 ？并 说明理 由北 l领海 公海 B30A解：（ 1） 略 (例 7) （2） 如图 乙， 以 A 为原点 ， 正北方 向所 在的 直线 为 y 轴建立平 面直 角坐 标系 xOy 则 B 2 ， 2 3 ，设缉 私艇 在 P(x ， y) 处（ 缉私艇 恰好 截住 走私 船的 位置） 与走 私船相 遇， 则 PA 3 ，即 x2 y2 3
17、 lPB( x 2)2 y 2 3 领海 公海 整理 得， 9 9 3 92 2x 4 y 4 4 ， B所以 点 P(x ， y) 的轨迹 是以 点 9 ， 9 3 为圆心 ，4 4602 为半径 的圆 A x图乙 因 为圆 心 9 ， 9 3 到领海 边界 线 l ： x 3.8 的距离 为 1.55， 大于 圆半径 3 ，4 4 2所 以缉 私艇 能在 领海 内截住 走私 船 策略六 由 圆周 角的 性质 确定隐 形圆 例 8 （1 ）已 知 a, b, c 分别为 ABC 的 三个内 角 A, B, C 的对 边 ， a 2 ，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则
18、ABC 面积 的最 大值 为 3略解 ： cosA 1 ， A6 0， 设 ABC 的外接 圆的 圆心 为 O， 外 接圆 的半 径为 2 3 ， 则2 3O 到 BC 的 距离 为 3 ， 则边 BC 上 的高 h 的 最大 值为 3 + 2 3 = 3 ， 则面 积的 最大 值3 3 3为 3 （2） （20 17 年 常州 一模 ） 在 ABC 中， C45 o， O 是 ABC 的外 心， 若 OC mOA nOB (m，n R)， 则 mn 的取 值范 围是 2,1)略解： AOB2 C 90， 点 C 在以 O 为圆 心， 半径 OA 的 圆上 （在 优弧 AB 上 ）三、同步练习
19、1 已知直 线 l : x 2 y m 0 上存在 点 M 满足与 两点 A(2, 0) , B(2, 0) 连线的 斜率 之 积为 1 ，则实 数 m 的 取值 范围是 2 5 , 2 5 2 (2016 年泰 州一 模) 已 知 实数 a，b ，c 满 足 a2 b2 c2 ， c 0 ，则 ba 2c的取值 范围为 3 , 3 3 33 已 知 , t R ， 则 (cos t 2)2 (sin t 2)2 的取 值范 围是 2 2 1, 2 2 14 已知 圆 C : ( x 3)2 ( y 4)2 1 和两点 A(m, 0), B(m, 0) (m 0) 若圆 C 上 存在 点 P，
20、 使 得 PA PB 1 ， 则 m 的 取值 范围是 15, 357 （201 6 年 无锡 一模 ） 已 知圆 C : ( x 2)2 y2 4 ， 线 段 EF 在 直线 l : y x 1 上运 动， 点 P为线 段 EF 上 任意 一点 ， 若圆 C 上 存在 两点 A、 B， 使得 PA PB 0 ，则线 段 EF 长度 的最大 值是 148如图 ，已 知点 A( 1,0)与点 B(1,0)， C 是圆 x2y 21 上 的 动点( 与 点 A,B 不重 合 )， 连 接 BC 并 延长 至 D， 使得| CD|1| BC|，则线段 PD 的取 值 范围 ( 2 , 2)39在平
21、面直 角坐 标系 xOy 中， 已 知点 A( t ， 0)(t 0) ， B(t ， 0) ，点 C 满 足 AC BC 8 ，且点 C 到 直线 l： 3x 4y 24 0 的最小 距 离为 9 ，则实 数 t 的 值是 1510 （201 3 年 江苏 卷第 17 题改编 ） 在 平面 直角 坐标 系 xOy 中， 已知 点 O(0, 0) ， A(0, 3) 如果圆 C : ( x a)2 ( y 2a 4)2 1 上总 存在 点 M 使得 MA 2MO ， 则 圆心 C 的横坐 标 a 的 取值范 围是 0, 12 511 已知 向量 a、 b、 c 满 足 a 2 ， b a b
22、= 3 ， 若 (c 2a)(2 b 3c) 0 ， 则 b c 的最 大值是 1 212 设点 A, B 是圆 x2 y2 4 上的 两点 ， 点 C(1, 0) ， 如果 ACB 90 ， 则 线段 AB 长度 的 取值范围 为 7 1, 7 113 在 ABC 中 ， BC 2， AC1 ， 以 AB 为 边作等 腰直 角三 角形 ABD (B 为 直角 顶点 ， C、D 两 点在 直 线 AB 的 两侧) 当 C 变化 时， 线段 CD 长 的最 大值 为 314 （2 016 年南 通三 模） 在平面 直角 坐标 系 xOy 中，圆 C : x 12 y2 2 ，圆 C : x m 2 y m 2 m2 ，若 圆 C 上存 在点 P 满足 ： 过点 P 向圆 作两条 切线1 2 C1PA、P B， 切点 为 A、B ， ABP 的面积 为 1，则 正数 m 的取 值范围 是 解：设 P(x， y) ， 设 PA， PB 的夹 角为 2 A BP 的面 积 S= 1 PA2 sin 2 PA2 2 PA 12 PC1 PC1由 3 2 22PA PC1 PA 2 ，解 得 PA 2 ，所以 PC1 2 ，所以 点 P 在 圆 (x 1)2 y2 4 上所以 m 2 (m 1)2 (m)2 m 2 ，解得 1 m 3 2 3
