1、高中数学必修二第1章 空间几何体1.1空间几何体的结构1、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 EDCBA几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点
2、字母，如五棱锥 EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCDABCD几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。5、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋
3、转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴例1 下列命题中错误的是（ ）A圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C圆台的所有平行于底面的截面都是圆D圆锥所有的轴
4、截面是全等的等腰三角形【解析】圆锥的母线长相长，设为l，若圆锥截面三角形顶角为 ，圆锥轴截面三角形顶角为 ，则0 . 当 90时，截面面积S = sin21l sin21l. 当90 180时.截面面积S22190sin1ll，故选B.例2 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称. （1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形. 【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征. 【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可使每相
5、邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱. （2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180形成半个圆台，故该几何体为圆台. 点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆 锥、圆台的结构特征进行判断. 例3 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长. 【分析】 画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解. 【解析】 设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在RtSOA 中，OAOA， SASA= OAOA，即（y-10）
6、y=x4x. y=13 31.圆锥的母线长为13 31cm【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余图2图1图418 各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面. 例4 已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r，R，求球的半径.【解析】圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R + r，梯形的高即球的直径为 22)()(rRr=2 ，所以，球的半径为.圆锥底面半径为1cm ，高为 cm，其中有一
7、个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.【解析】锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD1C1，如图所示.设正方体棱长x，则CC1 = x， C1D1 = 2x.作SOEF于O，则SO = ，OE = 1，ECC1EOS， SOC= E，即x= 1)2/(x.x= 2（cm ），即内接正方体棱长为 2cm.课后练习一、选择题1.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 ( )A. 四边形 B. 三角形 C. 五边形 D. 六边形2.一个棱长为 的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸62盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ( )A. 1 B. 2 C. 2 D. 33.下列命题中，错误
8、的是 ( )A. 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C. 圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D. 当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆4.等腰三角形ABC 绕底边上的中线 AD所在的直线旋转所得的几何体是( )A. 圆台 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球E C1 O D1=1FDCS5.下列几何体是组合体的是 ( )A. B. C. D. 6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的母线与轴2所成的角为 ( )A. 30 B. 45 C. 60 D. 757.在所有棱长都相等的三棱锥 中，P 、Q分
9、别是AD、BC的中点，ABCD点R 在平面ABC 内运动，若直线PQ 与直线DR 成 角 则R 在平面ABC内30 .的轨迹是 ( )A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线8.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把 和ABDACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：；BDAC0；BAC=60三棱锥 是正三棱锥； DABC平面 ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直其中正确的是 ( )A. B. C. D. 9.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 在原正方体中的位置关系AB，CD是 ( )A. 平行B. 相交成 60C. 相交且垂直D. 异面直线10.以下命题
10、中真命题的序号是 ( )若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱A. B. C. D. 在四面体 的四个面中，是直角三角形的面至多有 个PABC ( )A. 0个 B. 1个 C. 3个 D. 4个11.一个骰子由 六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字1 6，推出“？”处的数字是 ( )A. 6 B. 3 C. 1 D. 212.一个直角三角形绕斜边旋转 形成的空间几何体为360 ( )A. 一个圆锥 B. 一个圆锥和一个
11、圆柱C. 两个圆锥 D. 一个圆锥和一个圆台13.一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为_14.两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_个15.在长方体 的六个面中，与棱AB平行的面共有_ 个ABCDA1B1C1D1 .16.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面面积是，母线与轴的夹角是 ，求这个圆台的高、母线和两底面的半径392cm2 4517.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱
12、，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为. h1，h2，h3，求 ： ： 的值h1 h2 h31.2空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置
13、关系，即反映了物体的高度和宽度。例1 画出下列空间几何体的三视图如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.【解析】物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图为图2.例2 由5个小立方块搭成的几何体，其三视图分别如下，请画出这个的几何体（正视图） (俯视图) （右视图）【解析】先画出几何体的正面，再侧面，然后结合俯视图完成几何体的轮廓，如图.【评析】画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图. 就是由客观存在的几何物体
14、，从观察的角度，得到反应出物体形象的几何学知识.例3 某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，问：（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？（2）最高一层的房间在什么位置？画出此楼的大致形状.【解析】（1）由主视图与左视图可知，该楼有3层. 由俯视图可知，从前往后最多要经过3个房间.（2）由主视图与左视图可知，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间. 楼房大致形状如右图所示.【评析】根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力. 由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致. 依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决
15、实际问题的一个方面. 在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.3、直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为 y轴，两轴相交于点 O，使xOy = 45.（2）在图（2）中，以O为中点，在x 轴上取AD =AD，在y 轴上取M N =12MN. 以点N 为中点，画B C 平行于x 轴，并且等于BC；再以M 为中点，画EF平行于x 轴，并且等于EF.（3）连接AB，CD，DE，FA ，并擦去辅助线x 轴和y 轴，便获得正六边形ABCDEF 水平放置的直观图ABC D EF （图（3）例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm的长方体ABCD ABC D的直观图. 画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使xOy = 45，xOz = 90.
