1、高中课程复习专题高中课程复习专题数学集合与函数专题一、集合相关概念1、集合中元素的特性 元素的确定性：组成集合的元素必须是确定的。 元素的互异性：集合中不得有重复的元素。 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。2、集合的表示方法 列举法：将集合中元素一一列出。 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。 解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。 图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。3、集中特殊数集的表示方法自然数集： N 正整数集：N+整数集：Z 有理数集：Q实数集：R 空集：二、集合间的基本关系子集与真子集1、自反性任何一个集合都是它本身的子集：A A。
2、2、如果 A B 且 AB，则， A 是 B 的真子集。3、传递性：如果 A B，B C，则 A C。4、如果 A B 且 B A，则 A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有 n 个元素的集合，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集。三、集合间的运算运算类型交集 并集 补集定义由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为A 和 B 的交集（AB） 。即 AB=xxA 且 xB由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为A 和 B 的并集（A B） 。即 AB=xxA 或 xB设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中不属于 A
3、 的元素组成的集合称为 S 中 A 的补集（C SA） 。即 CSA = xxS 且 x A 图示性质 AA=AA=AB=BAAB AAB BAA=AA=AAB=BAA ABB ABCSA CSB= CS（AB）CSACSB= CS（AB）ACSA=SACSA=高中课程复习专题四、函数的相关概念1、函数：设 A、B 为非空集合，如果按照某个特定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A到集合 B 的一个函数，写作 y=f(x)，xA，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 相
4、对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 B=f(x)xA 叫做函数的值域。2、函数定义域的解题思路： 若 x 处于分母位置，则分母 x 不能为 0。 偶次方根的被开方数不小于 0。 对数式的真数必须大于 0。 指数对数式的底，不得为 1，且必须大于 0。 指数为 0 时，底数不得为 0。 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的 x 值组成的集合。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。3、相同函数 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 定义域一致，对应法则一致。4、函数值域的求法 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过
5、四则运算得到的函数。 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2 +b 的形式。 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。5、函数图像的变换 平移变换：在 x 轴上的变换在 x 上就行加减，在 y 轴上的变换在 y 上进行加减。 伸缩变换：在 x 前加上系数。 对称变换：高中阶段不作要求。6、映射：设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于 A 中的任意仪的元素 x，在集合 B 中都有唯一的确定的 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的映射。 集合 A 中的每一个元素，在
6、集合 B 中都有象，并且象是唯一的。 集合 A 中的不同元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个。 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。7、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 各部分自变量和函数值的取值范围不同。 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函数：如果（uM） ， u=g(x) （xA）,则，y=fg(x)=F(x) （xA） ，称为 f、g 的复合函数。高中课程复习专题五、函数的性质1、函数的局部性质单调性设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对应定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个变量x1、x 2，当 x1f
7、(x2)，那么那么 y=f(x)在区间 D 上是减函数，D是函数 y=f(x)的单调递减区间。 函数区间单调性的判断思路 在给出区间内任取 x1、x 2，则 x1、x 2D ，且 x10 时，顶点为最小值，a0 时的最大值或 a1，nN+） 负数没有偶次方根。 0 的任何次方根都是 0。 当 n 为奇数时 =a ，当 n 是偶数时 = a 分数指数幂 = （a0，m 、nN+，n1）负指数幂 = （a0，m 、nN+，n1 ）0 的正分数指数幂为 0,0 的负指数幂没有意义。 实数指数幂的运算性质ar as = ar+s (a0，r、s R)(ar)s = ars (a0，r 、sR)(ab)
8、r = arbr (a、b0，rR)2、对数的性质 对数：如果 ax=N (a0，a1)，那么，x 叫做以 a 为底 N 的对数，记住：log aN=x，其中 a 为底数，N 为真数。 注意底数 a 的取值范围：a0 且 a1。 常数对数：以 10 为底的对数 lgN；自然对数：以 e=2.71828为底的对数 lnN。 对数的运算性质：如果 a0 且 a1，M0，N0loga(MN)=logaM + logaNloga =logaM logaN logaMn = nlogaM (NR) 对数的换底公式 logab = logcb / logca (a0 且 a1, c0 且 c1，b0)则
9、=logab = 1/ logba七、基本初等函数1、指数函数：函数 y=ax (a0 且 a1)叫做指数函数高中课程复习专题a 的取值 a1 01 时，最小值 f(a)，最大值 f(b)；00 且 a1)，都有 f(1)=a。2、对数函数：函数 y=logax(a0 且 a1)，叫做对数函数a 的取值 a1 00 时，幂函数图像过原点，且在(0，+ )区间为增函数，a 越大，图像坡度越大。 a0 时，幂函数在(0，+)区间为减函数。当 x 从右侧无限接近原点时，图像无限接近 y 轴正半轴；当 y 无限接近正无穷时，图像无限接近 x 轴正半轴。幂函数总图见下页。4、反函数：将原函数 y=f(x)的 x 和 y 互换即得其反函数 x=f-1(y)。反函数图像与原函数图像关于直线 y=x 对称。高中课程复习专题幂函数总图
