1、理科数学试题 第 1 页（共 4 页）高考模拟数学试题(一)（全国新课标卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 为虚数单位,复数 = ii13A B C D222i 2i2等边三角形 C的边长为 ，如果 ,aAbBc那么 abca等于A 3 B 3 C 1 D 1 3已知集合 ， ，记 为集合 A 的元素4|2xZx 82|yNyBcard个数，则下列说法不正确的是 A B C D5card3card)card(BA5)car(B4一个体积
2、为 12 的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的3侧视图的面积为 A6 3B8C8 3D12 5过抛物线 的焦点作直线交抛物线于点 两点，若 ，24yx12,PxyQ126x则 PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为 A5 B4 C3 D26下列说法正确的是 A互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大D事件 A、B 同时发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率小7如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 为SA 的值10302()axaxB 的值21C
3、的值3D 的值00()8若(9x )n（nN *）的展开式的第 3 项的二项式系数为 36，则其展开式中的常数项为 A252 B252 C84 D849若 S1 dx，S 2 (lnx1)dx，S 3 xdx，则 S1，S 2，S 3 的大小关系为211x2121AS 1S 2S 3 BS 2S 1S 3 CS 1S 3S 2 DS 3S 1S 210在平面直角坐标系中,双曲线 的右焦点为 F,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的直24y线 与双曲线 C 交于 A,B 两点。若FAB 的面识为 ，则直线 的斜率为 l 8lA B C D1322141711已知三个正数 a，b，c 满足 ， ，则以
4、下四个命题正确的acb3225)(bcb是 p1：对任意满足条件的 a、 b、 c，均有 bc； p2：存在一组实数 a、 b、 c，使得 bc；p3：对任意满足条件的 a、 b、 c，均有 6b4a+c； p4：存在一组实数 a、 b、 c，使得6b4a+c.Ap 1，p 3 Bp 1，p 4 Cp 2，p 3 Dp 2，p 4 12四次多项式 )(xf的四个实根构成公差为 2 的等差数列，则 ()fx的所有根中最大根与最小根之差是A2 B2 C4 D3 52第卷输 入 开 始0123,axk输 出 S结 束0k否是理科数学试题 第 2 页（共 4 页）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13
5、 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22 题23 题为选考题，考生根据要求作答.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 .13某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据（单位：百万元） x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 6.5x17.5，则表中 t 的值为 y 14已知函数 ysin x(0)在区间0， 上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则 的取2值集合为 15已知球的直径 SC4，A ，B 是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC 45 ，则棱
6、锥S-ABC 的体积为 16等比数列a n中，首项 a12，公比 q3，a na n1 a m720( m，nN *，mn) ，则mn 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）在 ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,证明：（1） ； cosba（2） .2sinac18 （本小题满分 12 分）直三棱柱 的所有棱长都为 2，D 为 CC11CBA中点（1）求证：直线 ；11平 面（2）求二面角 的大小正弦值；D19 （本小题满分 12 分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录： 日车流量 x 5010x15
7、x20x25x频率 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立（1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天的日车流量低于 5 万辆的概率；（2）用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数，求 X 的分布列和数学期望20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的焦距为 2 且过点 )0(12bayx )3,1(（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若椭圆 C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 ，求该平行四边形面积12,F的最大值21 （本小题满分 12
8、分）设函数 ， （其中 为实常数）xcbaxfln)(2cba,（1）当 时，讨论 的单调区间；1,0cb)(f（2）曲线 （其中 ）在点 处的切线方程为 ，)(xfy0)1(f， 3xy（）若函数 无极值点且 存在零点，求 的值；xf cba,（）若函数 有两个极值点，证明 的极小值小于 .)(xf )(f4平请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以原点 为极点，xOy1C2cos()inxy是 参 数 O轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
9、.x 2 1sico（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1C2理科数学试题 第 3 页（共 4 页）（2）求曲线 上的任意一点 到曲线 的最小距离，并求出此时点 的坐标. 1CP2CP23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.设函数 . ()|2|fxa（1） 若不等式 的解集为 ，求实数 的值；6 |3x a（2） 在 （ 1） 条 件 下 ， 若 存 在 实 数 ， 使 得 恒 成 立 ， 求 实 数 的 取 值 范 围 . n()()fmfn m高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案一、选择题：本大题包括 12 小题，每小题 5 分。1-12 BDAA BBCC
10、 ABCD二、填 空 题 ：13. 50 14. ，1 15. 16.91323三、解答题:17.证法一：（余弦定理法）（1）2222cosabcababCBc（2） 232322()Aaabbccabc，所以等式成立222 221sincosabCabcc证法二：（正弦定理法）（1）在 ABC 中由正弦定理得 ，所以2sin,sibRBcCcossicoo2in()bCBCRAa（2）由（1）知 ， 同理有 csaAb所以 coscosbCBaCAab即 2()()1)()sinCAb所以 2sincosac18. 解：（1）取 中点 ，连结 BCO为正三角形，ABCA1平且相交于平 1BC
11、AO平取 中点 ，则1CBO1/B以 为原点，如图建立空间直角坐标系 ，xyz则 )0,1(,2,30,2,0, 11CAD3211BAB，,11AD平面 AB1（2）设平面 的法向量为 zyxn,0,2,311AD,1AnD023yzx令 得 为平面 的一个法向量 1z1,nD1理科数学试题 第 4 页（共 4 页）由（1） 为平面 的法向量 3,21AB1ABD 所以二面角 的大小的正弦值为 46,cos1n1 41019. 解：（）设 A1 表示事件“日车流量不低于 10 万辆” ，A 2 表示事件“日车流量低于 5 万辆” ，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日车流量不低
12、于 10 万辆且另 1 天车流量低于5 万辆” 则P(A1)0.350.250.100.70 ，P(A2)0.05，所以 P(B)0.70.70.05 20.049（） 可能取的值为 0，1，2，3，相应的概率分别为X，7.).(03C，897)1(，4.223.30PX 的分布列为X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343因为 XB (3，0.7)，所以期望 E(X)30.72.1. 20. 解：（1）由已知可得 平149,22bac解得 a24，b 23，所以椭圆 C 的标准方程是 .32yx（2）由已知得： ，由于四边形 ABCD 是椭圆的内接四边形，12F所以
13、原点 O 是其对称中心，且 12ABCDABFS四 边 形，1211212FBFS2ABADyy当直线 AD 的斜率存在时，设其方程为 ，1ykx代入椭圆方程，整理得： ，223440由韦达定理得： ，2281,3ADADkkxx ，22 413AD ADkykx ，22148961634ABCkSyk 当直线 AD 的斜率不存在时，易得： ， ，3,A26ABCDADSy综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是 621. 解：（1）当 时 ， 1 分1,0cbxaxf 12)( )0(当 时， 很成立， 在 上是增函数；2 分0a)(xff),0当 时，令 得 或 （舍）3 分0fa2
14、1ax21令 得 ；令 得)(xfx0)(f在上 是增函数，在 上是减函数4 分)(f)21,0a),21(a(2) (i) 由题得 ，xcbxf)( 3)(0fGODCB AF1 F2yx理科数学试题 第 5 页（共 4 页）即 320cbaab则 ， （）由xxxf ln)()(2 xaaxaf 3232)(无极值点且 存在零点，得 ff 0)8)(解得 ，于是 ， 38a38b1c（）由(i)知 ，要使函数 有两个极值点，只要方程)0(2)( xaaxf )(xf有两个不等正根，032ax设两正根为 ，且 ，可知当 时有极小值 其中这里 由于21,21x2x)(2xf ,410x对称轴为
15、 ，所以 ， 4x且 ，得0322aa 1232x【也可用以下解法：由()知 ，要使函数 有两个极值)0()( xaaf )(xf点，只要方程 有两个不等正根，032ax那么实数 应满足 ，解得 ， 0)2()(82a38aaax 24914)3(822 即 】390x2所以有 22 ln)3()(xxf 12)ln(3lll 2222 xxa )21x4(而 ， 222 )1(ln)43)( xxf记 ， ， gln有 对 恒成立，0)(1)(x,4(x又 ，故对 恒有 ，即 02,)1g0)(x对于 恒成立即 在 上单调递增，)(2xf 14(2f,4故 312f22.解：(1) 由题意知， 的普通方程为1C2(1)xy的直角坐标方程为 . 2Cyx(2) 设 ，则 到 的距离 ，当(cos2,in)PP2C|2cos()|4d，即 时， 取最小值 ，cs)143()4kZ1此时 点坐标为 .(,)223.解：(1) 由 ，得 ，即其解集为 ，由题意知)6fx6()axa|3xa的解集为 ，所以 . ()6fx|31理科数学试题 第 6 页（共 4 页）(2) 原不等式等价于，存在实数 ，使得 恒成立，即n()|12|2mfnn，而由绝对值三角不等式， ，min|12|2mn | 从而实数 . 4
