1、- 1 -课时提升作业(五十四)抛 物 线(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2015济南模拟)从抛物线 y2=4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则PMF 的面积为 ( )A.5 B.10 C.20 D.【解析】选 B.根据题意得点 P 的坐标为(4,4),所以 SPMF= |yP|PM|= 45=10,所以选 B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,
2、则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】1.(2015石家庄模拟)若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为 ( )A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=10x【解析】选 C.由题意可知 p0,因为抛物线 y2=2px,所以其准线方程为 x=-,因为点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,所以|- -2|=4,所以 p=4,故抛物线方程为 y2=8x.故选 C.- 2 -2.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,P,Q 是抛物线上的两个点,若PQF 是边长为 2 的正三角形,则 p 的值是 ( )A.2 B
3、.2+ C. 1 D. -1【解析】选 A.F ,设 P ,Q (y1y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得 + = + ,所以 = ,又 y1y2,所以 y1=-y2,所以|PQ|=2|y 1|=2,|y1|=1,所以|PF|= + =2,解得 p=2 .3.(2015淮北模拟)两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 ,且 ab,则抛物线 y2=- x 的焦点坐标为 ( )A. B.C. D.【解析】选 C.由两个正数 a,b 的等差中项是 ,等比中项是 2 ,且 ab 可得解得 抛物线的方程为 y2=- x,故焦点坐标为 .4.(2015吉安模拟)如图,抛物线 C1:y2=
4、2px 和圆 C2: +y2= ,其中 p0,直线 l 经过 C1的焦点,依次交 C1,C2于 A,B,C,D 四点,则 的值为 ( )- 3 -A.p2 B. C. D.【解析】选 B.设抛物线的焦点为 F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x 1+ - =x1,同理|CD|=x 2,又 =|AB|CD|,所以 =x1x2= .5.已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2【解析】选 B.设 A(x1,
5、y1),B(x2,y2),由题意知直 线 AB 的方程为:y=x- ,与y2=2px 联立得 :y2-2py-p2=0,所以 y1+y2=2p,由题意知:y 1+y2=4,所以 p=2,所以抛物 线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1,故选 B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设 A(x1,y1),B(x2,y2),- 4 -由题意得 y1+y2=4, =2px1, =2px2,两式相减得:k AB= = = =1,所以 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“ 根与系数的关系”或“点差
6、法”求解,同时,要注意使用条件是 0.(2)在椭圆 + =1(ab0)中,以 P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率 k=- .(3)在双曲 线 - =1(a0,b0)中,以 P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率 k= .(4)在抛物 线 y2=2px(p0)中,以 P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率 k= .【加固训练】(2015孝感模拟)直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标为 3,则线段 AB 的长为 ( )A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选 D.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准
7、线为 l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是 AB 的中点,其坐标为(x C,yC),分别过点 A,B 作直线 l0的垂线,垂足分别为 M,N,由抛物线的定 义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(a,-2)到- 5 -焦点的距离为 3,则抛物线的方程是 .【解析】由题意可设抛物线的方程为 x2=-2py(p0),抛物线上的点 P(a,-2)到焦点的距离即为点 P 到准线 y= 的距离,所以 +2=3,解得 p=2,
8、所以抛物线的方程为 x2=-4y.答案:x 2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在 y 轴上”, 误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013安徽高考)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得ACB 为直角,则 a 的取值范围为 .【解析】设直线 y=a 与 y 轴交于 M 点,若抛物线 y=x2上存在 C 点使得ACB=90,只要以|AB| 为直径的圆与抛物线 y=x2有除 A,B 外的交点即可,即使|AM|MO|,所以 a,所以 a1 或 a0,因为由题意知 a0,所以a1.答案:1,+)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设
9、C(m,m2),由已知可令 A( ,a),B(- ,a),则 =(m- ,m2-a),=(m+ ,m2-a),因为 ,所以 m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m 2-a)(m2+1-a)=0,解得 m2=a0 且 m2=a-10,故 a1,+).答案:1,+)8.如图,从点 M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线 y2=8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点 P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 Q,再经抛物线反射后射向直线 l:x-y-10=0 上的点 N,经直线反射后- 6 -又回到点 M,则 x0等于 .【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为 x 轴,抛物线的焦点 F(2
10、,0),MP 所在的直线方程为 y=4,从而可求 P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4),确定直线MN 的方程,可求答案.【解析】由题意可得抛物线的对称轴为 x 轴,F(2,0),M(x 0,4),所以 MP 所在的直线方程 为 y=4.在抛物线方程 y2=8x 中,令 y=4 可得 x=2,即 P(2,4),从而可得 Q(2,-4),N(6,-4).因为经抛物线反射后射向直线 l:x-y-10=0 上的点 N,经直线反射后又回到点 M,所以直线 MN 的方程为 x=6.所以 x0=6.答案:6三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2015西安模拟)已知抛物线 x2=4y 的
11、焦点为 F,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,抛物线在 A,B 两点处的切线交于点 M.(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列.- 7 -(2)设直线 MF 交该抛物线于 C,D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.【解析】(1) 由已知 ,得 F(0,1),显然直线 AB 的斜率存在且不 为 0,则可设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y,得 x2-4kx-4=0,显然 =16k2+160,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.由 x2=4y,得 y= x2,所以 y= x,所以直线 A
12、M 的斜率为 kAM= x1,所以直线 AM 的方程为 y-y1= x1(x-x1),又 =4y1,所以直 线 AM 的方程为 x1x=2(y+y1).同理,直线 BM 的方程 为 x2x=2(y+y2).-并据 x1x2得点 M 的横坐标 x= ,即 A,M,B 三点的横坐标成等差数列.(2)由易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)(k0).所以 kMF= =- ,则直线 MF 的方程为 y=- x+1,设 C(x3,y3),D(x4,y4),由 消去 y,得 x2+ x-4=0,显然 = +160,所以 x3+x4=- ,x3x4=-4.又|AB|= =- 8 -= =4(k2
13、+1),|CD|= =4 .因为 kMFkAB=-1,所以 ABCD,所以 S 四边形 ACBD= |AB|CD|=8 (k2+1)=8 32,当且仅当 k=1 时,四边 形 ACBD 面积取到最小值 32.10.已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线过点 P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点 P 作直线 l 与抛物线有且只有一个公共点,求直线 l 的方程.(3)过点 Q(1,1)作直线交抛物线于 A,B 两点,使得 Q 恰好平分线段 AB,求直线 AB 的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为 x2=2py,把点 P(2,1)代入可得 p 值,从而求得抛物线的标准方程.
14、(2)当斜率不存在时,直线方程为 x=2 符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出 =0,即可求出结果.(3) 由题 意可知,AB 的斜率存在,设 AB 的方程为 y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由 x1+x2=2,求得 k 的值,从而得到 AB 的方程.【解析】(1) 设 抛物线的标准方程为 x2=2py,把点 P(2,1)代入可得 4=2p,所以 p=2,故所求的抛物 线的标准方程为 x2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为 x=2,符合 题意;- 9 -(ii)当斜率存在 时,设直线方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx-2k+1,联立方程
15、可得 整理可得 x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以 =16k2-32k+16=0,所以 k=1.综上可得,直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x=2.(3)由题 意可知 ,AB 的斜率存在,设 AB 的方程为 y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程 x2=4y 可得x2-4kx+4k-4=0,所以 x1+x2=4k=2,所以 k= ,所以 AB 的方程为 y-1= (x-1),即 x-2y+1=0.(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2015赤峰模拟)已知点 A(0,2),抛物线 C:y2=ax(a0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点
16、M,与其准线相交于点 N,若|FM|MN|=1 ,则 a 的值等于 ( )A. B. C.1 D.4【解析】选 D.依题意 F 点的坐标为 ,设 M 在准线上的射影为 K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,所以|KM|MN|=1 ,则|KN|KM|=2 1,所以|OA|OF|=21,- 10 -所以 =2,求得 a=4,故选 D.2.(5 分)(2015武汉模拟)如图,已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 恰好是双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为 ( )A. B.2 C. +1 D. -1【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点 F 得到交点坐标,代入双曲线,把 =c 代入整理得 c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以 a4,得到关于离心率 e 的方程 ,进而可求得 e.【解析】选 C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点 F,所以两条曲线的一个交点为 ,代入双曲线方程得 - =1,又 =c,所以 -4 =1,化简得 c4-6a2c2+a4=0,所以 e4-6e2+1=0,所以 e2=3+2 =(1+ )2,所以 e= +1,故选 C.【加固训练】(2014成都模拟)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 -y2=1(a0)相交于 A,B 两点,且 F 是抛物线的焦点,若FAB 是直角三角
