1、1函数的对称性与周期性【知识梳理】1. 周期的概念：设函数 ，如果存在非零常数 ，使得对任意 都有 ,yfxDTxD，则函数 为周期函数，T 为 的一个周期；yfxyfx2. 周期函数的其它形式； ； ；fxafbfaf1fxaf； ， 1ffx )(1)(xfx)()(xf， )()2(fa 1)fa3. 函数图像的对称性1）.若 ，则 的图像关于直线 对称；fxfyfx2）.若 ，则 的图像关于点 对称；03）若 ，则 的图像关于直线 对称；faff4）若 ，则 的图像关于直线 对称；2xxyx5）若 ，则 的图像关于点 对称；ffbf6）若 ，则 的图像关于点 对称；a4. 常见函数的对
2、称性1）函数 的图像关于点 对称；0xfcd2）函数 的图像关于直线 对称；ab3）函数 的图像关于直线 对称；2fx【例题选讲】题型一 根据解析式判断函数图像的对称性1. 函数 的图像关于 对称；231xf2. 函数 的定义域为 R，且 ，则 的图像关于 对称；f 1fxffx3. 函数 的图像关于 对称；23fx4. 函数 的图像关于直线 对称；关于点 对称；sinfx题型二 平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数 是偶函数， 在 递减，则( )yfx2fx0,. 012Afff.1Bfff.120Cfff.210Dfff2.已知 是偶函数，则 的图像关于 对称；yfxyfx23.已知
3、是奇函数，则 的图像关于 对称；yfx12yfx题型三 函数图像的对称性求函数解析式1.已知 的图像关于直线 对称，且 时， ，求 时， 的解析式；fx2x0,1x21fx3,4xfx2.已知 的图像关于点 对称，且 时， ，求 时， 的解析式；f,0,2f 5,f3.已知 的图像关于点 对称，且 时， ，求 时， 的解析式；fx1,20,1x21fx,2xfx题型四 函数周期性和图像对称的应用1.若函数 的图像关于点 对称，求 满足的关系；,2xabf R1,0,ab2.已知函数 的定义域为 ，且对任意 ，都有 (1)若 有 个根，求所f xR2fxf0fx5有这些根的和；(2)若 有 个根
4、，求所有这些根的和；0fx513.若 有两条对称轴 和 ，求证： 是以 为周期的周期函数；fxabfx2Tab4.设 是定义在 上的偶函数，它的图像关于直线 对称，当 时， ，求fR ,x21fx时， 的解析式；6,2xfx5.已知定义域为 的函数 满足 ，求证函数 是周期函数；Rf12fxfxfx题型五 综合应用1设 是定义在区间 上以 2 为周期的函数，对于 ，用 表示区间 ，已知当()fx,kZkI21,k时， （1）求 在 上的解析式；（2）对自然数 k，求集合 使方程 在0I2f()fxkI |kMafxa（ ）上有两个不等实根。k2已知定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，当时
5、，函数 。2， yfx（ ） 4x4xsinfx（ ）（1）求 的值；（2）求 的函数表达式；（3）如果关于 的方程 有解，4ff， f（ ） fa（ ）那么将方程在 取某一确定值时所求得所有解的和记为 ，求 的所有可能取值及相对应的 的取值a aMa范围。33已知函数 （1）求证：函数 的图像关于点 对称； （2）计算：xafR（ ） ， fx（ ） 12P，的值。910iif函数的对称性与周期性课后练习1.定义在 R 上的函数 单调递增，如果()(4),2,()fxffxfx满 足 当 时的值1212124,()0,x且 则A恒小于 0 B恒大于 0 C可能为 0 D可正可负2.已知函数
6、满足： 是偶函数； 在 上为增函数 若()yfx()yfx1,)则 与 的大小关系是12120,x且 12A B C = D 与 的大小关系不能确定()f()fx()fx()f1()fx2()f1()fx2()f3.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，那使 成立的 xfR3f0f1()2fx的集合为A B C D|2,xnZ|21,xnZ|41,xnZ|41,xnZ4.已知函数 f(x)满足：f(1) ，4f (x)f(y)f (xy )f (xy)(x，yR)，则 f(2 010)_.145.若 满足 2x+ =5, 满足 2x+2 (x1)=5, + （ ）1222log12
7、A. B.3 C. D.4576.设指数函数 与对数函数 的图象分别为 C1、C 2，点 M 在曲线 C1 上，线段xyalog(0,)ayxOM（O 为坐标原点）交曲线 C1 于另一点 N若曲线 C2 上存在一点 P，使点 P 的横坐标与点 M 的纵坐标相等，点 P 的纵坐标是点 N 的横坐标的 2 倍，则点 P 的坐标是A.（4， ） B. C. D.4a(,log)a 4(,)a(4,log)a7.（1） ，则函数 图像关于 对称；(2)()fxf(yfx（2） ，则函数 图像关于 对称；4ffx)f（3）若 ，则函数 图像关于 对称(1)()3ff(yfx8.（1）函数 是奇函数，则函
8、数 图像关于 对称；4yfx)f（2）函数 是奇函数，则函数 图像关于 对称 ()2f(yfx49.定义在 上的函数 满足 ， ， ，且当 时，0,1()fx(0)f()12fx1()()5xff120x，则 _12()fx0f10.若 ，则 的周期性是： (2)(4)fxfx()f11.（1）定义域是 的奇函数 又是周期为 周期函数，则 ， Rfx(0)T(0)f()2Tf（2）已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，则 _；()fxR(1)(fxf(209)f（3）若 和 都是定义域是 的奇函数，则 (1)fx()f(5)7f12.定义域是 的奇函数 图像关于直线 对称，当 时，则当 时，函
9、数 零点个R()fx12x(2.5)0f(6,)x()fx数是 13.已知 是 R 上的偶函数， 是 R 上的奇函数，且 ，若 ，则()fx()gx()1)gxf(2)f2086fg14.（1）已知 是定义域为 的偶函数，且 ，当 时， ，则 ()fxR(2)(3fxf2,3x()fx(9.5)f（2）设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 R()fx(2)(1ffx()2f(9)f515.已知 是以 2 为周期的偶函数，当 时， ，那么在区间 内，关于 的()fx 0,1x()1fx1,4xx方程 有 5 个不同的根，则实数 的取值范围是 1kfk16.设 是定义在 R 上的偶函数，对任意 ，
10、都有 ，且当 2，0时，)(xf Rx)4(xf，若在区间（2，6 内关于 x 的方程 恰有三个不同的1 )1(0logaa实数根，则 的取值范围为aA.（1，2） B.（2， ） C.（1， ） D.（ ，2）343417.函数 和 的零点分别是 ，求证 ()3xf2()log3xx,3答案4.已知函数 f(x)满足：f(1) ，4f (x)f(y)f (xy )f (xy)(x，yR)，则 f(2 010)_.14解析：f(1) ，令 y1 得 f(x)f(x1)f(x1)，14即 f(x 1)f(x )f(x1) ，f(x 2)f(x1)f(x) ，由得 f(x 2)f( x1)，即 f
11、(x3)f(x)，则 f(x 6)f(x )该函数周期为 6.f(2 010)f(63350)f(0)令 x1，y0 得 4f(1)f(0)f(1)f(1)，f (0) .f(2 010) .答案：12 12 125.若 满足 2x+ =5, 满足 2x+2 (x1)=5, + 12x22log1x2A. B.3 C. D.457解析：由题意 125x22log(1)5x所以 , 即 2 115x21log()121l5令 2x172t,代入上式得 72t 2log 2(2t2) 22log 2(t1)52t 2log 2(t1)与式比较得 tx 2 于是 2x172x 2【答案】C616.D.
