1、1高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）1、 当 时， （A）无穷小量。0xA B C D sin1xeln1sinx2、点 是函数 的（C） 。1x3()1fxxA 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点3、函数 在点 处有定义是其在 处极限存在的（D） 。()fx00A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件4、已知极限 ，则常数 等于（A ） 。2lim()xaxaA -1 B 0 C 1 D 25、极限 等于（D ） 。20licosxeA B 2 C 0 D -2二、填空题（每小题 4 分
2、，共 20 分）1、 = lim()xxe2、 当 时，无穷小 与无穷小 等价，则0ln(1)Axsin3x常数 A=3 3、 已知函数 在点 处连续，且当 时，函数 ，()fx0021()xf则函数值 =0 4、 =1 1lim23()nn25、 若 存在，且 ，则 =1 lim()xfsin()2lim()xfxfli()xf二、解答题1、 （7 分）计算极限 2211li()()3n解：原式= 1341li()li2 2n n2、 （7 分）计算极限 30tasilimxx解：原式=232000s1co1colililimscosxxx3、 （7 分）计算极限 li()x解：原式= 11
3、21122limli()li()li()xxxxx ex4、 （7 分）计算极限 201sinlimxxe解：原式= 20silix5、 （7 分）设 具有极限 ，求 的值314lixaxl,al解：因为 ，所以 ，lim()0x321lim(4)0xx因此 并将其代入原式4a3211()()lili 1x x36、 （8 分）设 ，试确定常数 ，使3()2,()1)nxxc,cn得 ():解： 此时，3221()()3lim,xxcnc()x:7、 （7 分）试确定常数 ，使得函数 a21si0()xfa在 内连续(,)解：当 时， 连续，当 时， 连续。0x()fx0()fx所以 当 时，
4、 在 连续0021lim()lisn)xxfaa()f0x因此，当 时， 在 内连续。(f,)8、 （10 分）设函数 在开区间 内连续， ，试证：)x(ab12axb在开区间 内至少存在一点 ，使得(,)abc121212()(0,)tfxtftft证明：因为 在 内连续， ，所以 在),axb()fx上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知， 在12,x ()f上存在最大值 M 和最小值 m，即在 上， ，12,xmxM所以，又因为 ，所以121212()()()tmtfxtft120t4，由连续函数的介值定理知：存在12()()tfxtfmM，使得 ，即12(,)(,cab12()()tfxtffc证毕。121212)()(0,)tfxtftfct
