1、实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型：（1 ）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如： 2- ，3 等；（2 ）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。（3 ）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2- 是无理数（4 ）无理数乘或除以一个不 为 0 的有理数结果是无理数。如 2 ,（5 ）开方开不尽的数，如: 等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,52如： 等；无理数也不一定带根号，如： ）9
2、3.有理数与无理数的区别：（1 ）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2 ）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数） ，而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、 、 、 、0.30300030000037525.3（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,- , , 其中无理数有 ( )个432【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么，这个正数 x 就叫x2做
3、a 的算术平方根，记为：“ ”，读作， “根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根是 3，即 。9特别规地，0 的算术平方根是 0，即 ，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数 a 是非负数。a（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： 。a a例：（1）下列说法正确的是 （ ）A1 的立方根是 ； B ；（C） 、 的平方根是 ； （ D） 、
4、0 没有平方124813根； （2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 C、 D、98.3.392735（3） 的算术平方根是 。 （4）若 有意义，则 _。2)( x1x（5）已知ABC 的三边分别是 且 满足 ，求 c 的取值范围。,cba0)4(32ba（6） （提高题）如果 x、y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3平方根：1.定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的2平方根；，我们称 x 是 a 的平方（也叫二次方根） ，记做： )0(2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0 只有一个平方根，它是 0 本身；
5、 （3）负数没有平方根例（1）若 的平方根是2，则 x= ； 的平方根是 （2）当 x 时，x16有意义。23（3）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？3. 的 性 质与 2)0(aa（1） （2） 中，a 可以取任意实数。如72）如 ：（ |25|23|-）（例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2727-）（ 249-）（2.已知 ，那么 a 的取值范围是 。3.已知 2x3,化简 1)a（ |3)x（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于 a，即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）记为 ，读作，
6、3 次根号 a。如 23=8，则 2是 8 的立方根，0 的立方根是 0。2.性质：正数的立方根的正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有 0,1，-1.例： （1）64 的立方根是 （2）若 ，则 b 等于 9.28,.33a（3）下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是 2，y64。482其中正确的有 （ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个比较两个数的大小：方法一：估算法。如 3 4 方法二：作差法。如 ab 则10a-b0.方法三：乘方法.如比较 的大小。62与例：比较下列两数的大小（1） （2）123-0与 53与【实数】定义：（1
7、）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 （a0） ；实数 a 的绝对1值|a|= ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。)0(实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。 （在数轴上，右边的数总是大于左边的数） 。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数
8、范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一样实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（ ） ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1 和 2 之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。2（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A、 B、 C、 D、abbaa（3）比较大小(填“”或“”).3 ， ， ， ，1032076_7215（4）数 的大小关系是 ( )7,2A.
9、 B. C. D.237（5）将下列各数： ，用“”连接起来；51,38,_。（6）若 ，且 ，则： = 。2,3ba0ab【二次根式】定义：形如 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数）（ 注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“ ”，如 是二次根式，9而 =3,3 显然就不是二次根式。9（2）被开方数 a 可以是数，也可以是代数式。若 a 是数，则这个数必须是非负数；若 a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式（1） （2） （3） （4）3- -a-32二次根式的性质： 性质 1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方)0,(.baba
10、 0 b根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。性质 2： 商的算术平方根等于被除数的算术平方)0,.(bab根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：（1） （2） （3）52)0(724bax942.计算：32781.04 323816125.3.已知： ，求代数式 的值。064.,732yx 32450yx4.（提高题）观察下列等式：回答问题： 21121 612132 ，13432（1）根据上面三个等式的信息，请猜想 的结果；254（2）请按照上式反应的规律，试写出用 n 表示的等式，并加以验证。
