1、第 6 章 真空中的静电场 习题及答案1. 电荷为 和 的两个点电荷分别置于 m 和 m 处。一试验电荷置于q21x轴上何处，它受到的合力等于零？ x解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 位0q于点电荷 的右侧，它受到的合力才可能为 ，所以q02020)1(4)1(4xqx故 23x2. 电量都是 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形q的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：(1) 以 处点电荷为研究对象，由力平衡知， 为负电荷，
2、所以Aq2020 )3(413cos41aaq故 q3(2)与三角形边长无关。3. 如图所示，半径为 、电荷线密度为 的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长R1为 、电荷线密度为 的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受l2到的电场力。解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取 ， 在带dlq1电圆环轴线上 处产生的场强大小为x)(420RdqE根据电荷分布的对称性知， 0zyE2320)(41 cosRxdqdx 式中： 为 到场点的连线与 轴负向的夹角。qR O 1 2 l xyz 2320)(4dqRxEx23210)(23201)(Rx下面求直线段受到的电
3、场力。在直线段上取 ， 受到的电场力大小为dqdqEFxxxR23201)(方向沿 轴正方向。x直线段受到的电场力大小为 dFdxRxl02321)(2/12021lR方向沿 轴正方向。x4. 一个半径为 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 。求：（1）圆心处 点的场强；O（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处 点场强。O解：（1）在半圆环上取 ，它在 点产生场强大小为Rdldq，方向沿半径向外204RdE0根据电荷分布的对称性知， ydRdEx sin4sin0x 002i故 ，方向沿 轴正向。REx02x（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。5如
4、图所示，真空中一长为 的均匀带电细直杆，总电量为 ，试求在直杆延长线上Lq距杆的一端距离为 的 点的电场强度。 dP解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取 ， 在 点产生的场dxLqdP强大小为，方向沿 轴负方向。20204xdqdEx故 点场强大小为PLdx20dq04方向沿 轴负方向。x6. 一半径为 的均匀带电半球面，其电荷面密度为 ，求球心处电场强度的大小。R解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。在半球面上取宽度为 的细圆环，其带电量 ，dl rdlSdq2 dRsin2在 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线dqO上的场强公式），
5、方向沿 轴负方向2320)(4rxdqEx利用几何关系， ， 统一积分变量，得cosRsin2320)(rxddRsincos4130sin20因为所有的细圆环在在 点产生的场强方向均沿为 轴负方向，所以球心处电场强度的大Ox小为 dEdcosin2/004方向沿 轴负方向。x7. 一“无限大”平面，中部有一半径为 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度R为 ，如图所示。试求通过小孔中心 并与平面垂直的直线上各点的场强。OL d q P x OORxdlr解：应用补偿法和场强叠加原理求解。若把半径为 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为R一个完整的“无限大”带电平面和一
6、个电荷面密度为 的半径为 的带电圆盘，由R场强叠加原理知， 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的P矢量和。“无限大”带电平面在 点产生的场强大小为，方向沿 轴正方向012Ex半径为 、电荷面密度 的圆盘在 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆RP盘轴线上的场强公式），方向沿 轴负方向02)1(2xRx故 点的场强大小为P2021xE方向沿 轴正方向。x8. (1)点电荷 位于一边长为 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的qa一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少? 解：（1）由高斯定理
7、 求解。立方体六个面，当 在立方体中心时，每个0dqSEsq面上电通量相等，所以通过各面电通量为 06qe（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长 的立方体，使 处于边长 的立方体中a2qa2心，则通过边长 的正方形各面的电通量a06qe对于边长 的正方形，如果它不包含 所在的顶点，则 ，如果它包含 所024qeq在顶点，则 。0e9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和 ，试求空间各处场强。12解：如图所示，电荷面密度为 的平面产生的场强大小为1O R xPx1E22，方向垂直于该平面指向外侧012E电荷面密度为 的平面产生的场强大小为，方向垂直于该平面指向外侧02由场强叠加
8、原理得两面之间， ，方向垂直于平面向右)(21201E面左侧， ，方向垂直于平面向左1)(21021面右侧， ，方向垂直于平面向右2 )(21021E10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为 和 ，电荷均匀地分布在壳体内，电1R2荷体密度为 （ ） 。试求各区域的电场强度分布。解：电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理r得iSqdE01ir0214当 时， ，所以1RriqE当 时， ，所以21 )34(1Rri 2031)当 时， ，所以2Rr)4(3132qi 201rRE11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为 和 （ ） ，若大球面的1R21面电荷密度为
9、 ，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。解:（1）电场具有球对称分布，以 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理r得iSqdE0ir0214当 时， ， ，所以2RrE04212Rqi 21)（2）当 时， ，所以1r0iqE当 时， ，所以21R2214Ri 02)r（负号表示场强方向沿径向指向球心。12. 一厚度为 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为 ，求板内d 外的场强。解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为 ，底面圆的面积为 。由高斯定理 得xSiSqdE01
10、iqES01SdE当 时（平板内部） ， ，所以2dxxqi20当 （平板外部） ， ，所以2dxSdqi02E13. 半径为 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为 ，求其场强分布。R解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 ，底面圆半l径为 ，应用高斯定理求解。 riS qrlE012d(1) 当 时， ，所以Rrlqi02r(2) 当 时， ，所以rlRqi2rE014.一半径为 的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ，设无穷远处为电势零点，求圆盘中R心 点的电势。O解：取半径为 、 的细圆环 ，则 在 点产生的电势为rdrdSq2qO024rV圆盘中心 点的电势为OdrR
11、0015. 真空中两个半径都为 R 的共轴圆环，相距为 。两圆环均匀带电，电荷线密度分l别是 和 。取两环的轴线为 轴，坐标原点 O 离两环中心的距离均为 ，如图所示。x 2l求 轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。x解：在右边带电圆环上取 ，它在 轴上任一点 产生的的电势为dqP20)/(4RlxdV右边带电圆环在 产生的的电势为P dqlx20)/(120)/(2Rl同理，左边带电圆环在 P 产生的电势为20)/(2RlxV由电势叠加原理知， 的电势为P0 2)/(1lx)/(12Rlx16. 真空中一半径为 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为 的正电荷，该区域内R点离球心的距离为 ，
12、 点离球心的距离为 。求 、 两点间的电势差a31b3ababU解：电场分布具有轴对称性，以 为球心、作半径为 的同心球面为高斯面。由高斯Or定理 得iSqdE0当 时， ，所以Rr302414rr03E、 两点间的电势差为abbardU0203/218RdrR17细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为 和 ，a3两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为 。求：U（1）内圆柱面上单位长度所带的电量 ；（2）在离轴线距离 处的电场强度大小。ar2解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为 ，底面l圆半径为 ，应用高斯定理求解。 riS
13、qrlE01d内、外两圆柱面之间， ，所以lqirE02内、外两圆柱面之间的电势差为drrdUaa30323ln0内圆柱面上单位长度所带的电量为3ln20U（2）将 代人场强大小的表达式得， 3lnrUE在离轴线距离 处的电场强度大小为ar3lnE18. 如图所示，在 ， 两点处放有电量分别为+ ,- 的点电荷， 间距离为 ，ABqABR2现将另一正试验点电荷 从 点经过半圆弧移到 点，求移动过程中电场力作的功。0qOC解： 点的电势为 RVO040点的电势为CqC300Rq06电场力作的功为VqAoCO00)(19如图所示，均匀带电的细圆环半径为 ，所带电量为 （ ） ，圆环的圆心RQ0为 ，一质量为 ，带电量为 （ ）的粒子位于圆环轴线上的 点处， 点离 点OmqPO的距离为 。求：d（1）粒子所受的电场力 的大小和方向；F（2）该带电粒子在电场力 的作用下从 点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到P无穷远处时的速度为多大？解：（1）均匀带电的细圆环在 点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式），方向沿 向右2320)(41dRQExOP粒子所受的电场力的大小，方向沿 向右2320)(4qFx（2）在细圆环上取 ， 在 点产生的电势为dPrdqV0420dRq点的电势为Pqd2041 20RQ由动能定理得， 01)(mVqA202dR
