1、1新课标人教版数学七年级（上）知识要点概括第一章 有理数1.（1）正数：大于零的数；（2）负数：小于零的数（在正数前面加上负号“”的数） ；注意：0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点；对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“”号的数是负数；字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分
2、数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数；-a 不一定是负数，+a 也不一定 是正数；3.有理数的分类按有理数的定义分类 按性质符号来分正整数 正整数整数 0 正有理数负整数 正分数有理数 有理数 0 （0 不能忽视）正分数 负整数分数 负有理数负分数 负分数总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整数正有理数、0 统称为非负有理数负有理数、0 统称为非正有理数0 是整数 不是分数。4. 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一
3、条向两端无限延伸的直线；2原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一。（4）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。5.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右侧的点表示，负有理数可用原点左侧的点表示，0 用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一 一对应关系。 （如，数轴上的点 不是有理数）6.数轴的画法（1）画一条直线，在这条直线上任取一个点作为原点；（2）通常规定直线上从原点向
4、右（或左）为正方向，从原点向左（或右）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，.7.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。8.数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数9.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 时，-a0（负数的相反
5、数是正数）当 a=0 时，-a=0， （0 的相反数是 0）17.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。18.一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|，读作：a 的绝对值.19.因为数的绝对值是表示两点之间的距离，如：|a-b|表示数轴上 a 点到 b 点的距离。所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是非负数（0 的绝对值是 0）20. 绝对值的计算规律：（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等（2） 若 ，
6、则 a=b 或 a=-b；ba（3） 若 0,0b则21.绝对值的代数定义1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0 的绝对值是 0 22.可用字母表示为：如果 a0，那么|a|=a； 如果 a |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0 |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）23.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。40 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是
7、 0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：即：|a|a； ； 0a1；0a1绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；注意：|a|b|=|ab|, ；ba绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0）24.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数
8、轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。（3）正数的绝对值越大，这个数越大；（4）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小；（5）正数大于一切负数；（6）大数-小数 0，小数-大数 0.25.已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离。一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。26.有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号
9、，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与 0 相加，仍得这个数。27.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)28.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ；符号相同的两个数先相加“同号结合法” ；分母相同的数先相加“同分母结合法” ；几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。29.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。30.有理数加减法统一成加法的意
10、义5在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.31.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （运用
11、加法法则一进行运算）=-8 （运用加法法则二进行运算）.把和为整数的加数相结合 （凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）- - + - + -5321487
12、原式=(- - )+(- + )+(+ - )=-1+0- =-1214381.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)438原式=(+ )+(+3 )+(-3 )+(+10 )+(-1 )= +3 -3 +10 -1811324183124=(3 -1 )+( -3 )+10 =2 -3+10 =-3+13 =106.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3 +10 -12 +45162157原式=(-3+10-12+4)+(- + )+( - )=-1+ + =-1+ + =-621542130857.分组结
13、合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）32.有理数的乘法法则6两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）任何数同 0 相乘，都得 0；几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.33.乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a
14、=1（a0） ，就是说 a 和 互为倒数，即 a 是 的倒数， 是 a 的倒数。a110 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ；倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数.34.有理数的乘法运算律乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc).乘法分配律：a(b+c)=ab+ac35. 有理数的除法法则（1）除以一个不等 0 的数，等于
15、乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， .无 意 义即 0a（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。36.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。37.有理数的乘方求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n n叫做指数。（1）a 2是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0；（2）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位
16、10.2（3） 的结果：n 为奇数时， =-1；n 为偶数时， =1。)()1(n)1(38.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an, 当 n 为正偶数时: (-a) n =an .（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。739.有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。40. 科学记数法把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， n 是正整数） ，这种记数法na1010a是科学记数法41
17、.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.42.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.有理数运算中的常见错误示例一、概念不清例 1 计算:15+(-6)-|-5|.错解:原式=15-6+5=14.错解分析：错在没有弄清-(-5)与-|-5|的区别.-(-5)表示-5 的相反数,为 5;而-|-5|表示-5 的绝对值的相反数,-5 的绝对值为 5,5 的相反数是-5.正解:原式=15-6-5=4.例 2 计算: .3429错解:原式= .6错解分析：此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念.需知 表示 ,其结果3
18、22为-8,因此, 绝不是指数和底数相乘 .32正解:原式= .92814二、错用符号例 3 计算:-5-8(-2).错解:原式=-5-16=-21.错解分析：错在先将 8 前面的“-”当成性质符号,后来又当成运算符号重复使用,切记不可这样重复用.正解 1:若把-8 中的“-”当成性质符号,则可得以下过程:原式=-5+(-8)(-2)=-5+16=11.正解 2:若把-8 中的“-”当成运算符号,则可得以下过程:8原式=-5-(-16)=-5+16=11.三、项动符号不动例 4 计算: .13125814543错解:原式= 28= = = .115345316错解分析：在解答本题时,应先观察数
19、字的特点,将小数进行转化,并使分母相同的分数合并计算.在运用加法交换律时一定要记住,项动其符号也一定要随之而动.错解在移动一项时,漏掉了其符号.283正解:原式= 123138524= =-12+11=-1.4四、对负带分数理解不清例 5 计算: 7648错解:原式= = = = .176487648错解分析：错在把负带分数 理解为 ,而负带分数中的“-”是整个带分数的性质符号,把 看成 才是正确的.与之类似, 也不等于 .764878647864正解:原式= = = = .17648五、考虑不全面例 6 已知| -1|=5,则 的值为( ).A.6 B.-4 C.6 或-4 D.-6 或 4
20、错解:由| -1|=5 可得 -1=5,解得 =6.选 A.错解分析：一个数的绝对值等于 5,则这个数可能为正,也可能为负,所以 -1=5,解得9=6 或-4.正解:选 C.六、错用运算律例 7 计算: .1263973错解:原式= 1263= = = .1784279错解分析：由于受乘法分配律 (b+c)=b+c 的影响,错误地认为 (b+c)=b+c,这是不正确的.正解:原式= = = .178426363163七、违背运算顺序例 8 计算: .148错解:原式=4(-2)=-2.错解分析：本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算 ,这168样就违背了运算顺序.正解:原式=4
21、(-8)16=-512.例 9 计算: .221536错解:原式=25-(-2) 2=25-4=21.错解分析：在计算 时,错误地先进行乘法运算.事实上应该先算乘方,再算21乘除.正解:原式= =25-64=-39.25 046有理数典型错题示例一、例1 计算：(1）-19.30.7；(2) 31)2(错解：（1）-19.30.7-20；10(2) 31)2( 21)( 错解分析：（1）这是没有掌握有理数加法法则的常见错误对于绝对值不同的异号两数相加，如何定符号和取和的绝对值，初学时要特别小心(2）混合运算中，同级运算应从左往右依次进行本题应先除后乘，这里先算了 ，是不按法则造成的计算错误31
22、正解：(1) -19.3十0.7-18.6；(2) 621313)2( 二、例2 计算：(1) ；(2) 24 3).0(错解：（1） （-4) （-4)16；(2) -0.8 3)2.(错解分析：（1） ，表示4的平方的相反数，即 -（44），它与 不2 4 2)4(同，两者不能混淆(2) 表示-0.2的三次方小数乘方运算应注意运算结果的小数点位置3).0(正解：（l） -16；(2) -0.00824 3)2.0(三、例3 计算：(1) ；(2) 81 2)1(错解：（1) ；3)( 4(2) 21 (2错解分析：带分数相乘（或乘方）必须先把带分数化成假分数后再计算正解：（1）原式 ；32138 (2）原式 4625)(四、例4 已知： 2， 3，求 abba错解：因为 2， 3，所以 2， 3 所以 5ba错解分析：本题错在最后一步，本题应有四个解错解中只注意同号两数相加，忽略了还有异号两数相加的情况正解：前两步同上，所以 5，或 1ba ba五、例5 下列说法正确的是（ ）(A)0是正整数 （B)0是最小的整数
