1、第 1 页 共 7 页高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员 ，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+
2、整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-323） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形4） Venn 图:4、集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 BB是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作A B 或 BA2 “相等”关系：A
3、=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等 ”即： 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2 n-1 个真子集第 2 页 共 7 页三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫
4、做 A,B 的交集记作A B（读作A交 B） ，即A B=x|x A，且 x B 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：A B（读作A 并B） ，即 A B =x|xA，或 x B)设 S 是一个集合，A是 S 的一个子集，由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A
5、(CuA)=UA (CuA)= 二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间SASA第 3 页 共 7 页
6、（3）区间的数轴表示4映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A （原象）B（象） ”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。5.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部
7、分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x11，且 *nN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时， ，当 是偶数时，a)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,(*nNmanm ,01*n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ra sr；),(Ra（2）rsr)(；,0sr（3）srb),(a（二
8、）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做)1,0(ayx且第 5 页 共 7 页指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 x0 定义域 x0值域为 R 值域为 R在 R 上递增 在 R 上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）第 7 页 共 7 页（三）幂函数1、幂函
9、数定义：一般地，形如 的函数称为幂函xy)(Ra数，其中 为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上 ),0是增函数特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当1时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第0),0(一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近xy轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴yxx正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使)(Dxfy成立的实数 叫做函数 的零点。0)(xfx2、函数零点的意
10、义：函数 的零点就是方程 实)0)(xf数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。)(fy即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交)(f)(fy点 函数 有零点x3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(f（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 2的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点)(xfy4、二次函数的零点：二次函数 )(2acbx（1），方程 有两不等实根，二次函数的0图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点x（2），方程 有两相等实根，二次函数的2图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函数的图象与cbxa轴无交点，二次函数无零点x
