1、第 1 页（共 18 页）2016 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则 AB=（ ）A0，1 B0，1，2 C1，0，1 D1，0，1，22 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ）A0 B3 C4 D53 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（ ）A1 B2 C3 D44 （5 分）设 ， 是向量，则 “| |=| |”是“| + |=| |”的（ ）A充分而不必要条件 B必
2、要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 x，yR，且 xy0，则（ ）A 0 Bsinxsiny0 C （ ） x（ ） y0 Dlnx+lny06 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）第 2 页（共 18 页）A B C D17 （5 分）将函数 y=sin（2x ）图象上的点 P（ ，t）向左平移s（s0）个单位长度得到点 P，若 P位于函数 y=sin2x 的图象上，则（ ）At= ，s 的最小值为 Bt= ，s 的最小值为Ct= ，s 的最小值为 Dt= ，s 的最小值为8 （5 分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙
3、、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）设 aR，若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a= 10 （5 分）在（12x） 6的展开式中，x 2的系数为 （用数字作答）11 （5 分）在极坐标系中，直线 cos sin1=0 与圆 =2cos 交于 A，B 两点，则|AB
4、|= 第 3 页（共 18 页）12 （5 分）已知a n为等差数列，S n为其前 n 项和若 a1=6，a 3+a5=0，则 S6= 13 （5 分）双曲线 =1（a0，b0）的渐近线为正方形 OABC 的边OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则a= 14 （5 分）设函数 f（x）= 若 a=0，则 f（x）的最大值为 ；若 f（x）无最大值，则实数 a 的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中，a 2+c2=b2+ ac（）求B 的大小；（）求 cosA+cosC
5、 的最大值16 （13 分）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（）试估计 C 班的学生人数；（）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（）再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时） ，
6、这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0和 1的大小 （结论不要求证明）17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面第 4 页（共 18 页）ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1，AD=2，AC=CD= （）求证：PD平面 PAB；（）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求 的值，若不存在，说明理由18 （13 分）设函数 f（x）=xe ax +bx，曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y=（e1）x+4
7、，（）求 a，b 的值；（）求 f（x）的单调区间19 （14 分）已知椭圆 C： + =1（a0，b0 ）的离心率为 ，A（a，0） ，B（0，b） ，O（0，0） ，OAB 的面积为 1（）求椭圆 C 的方程；（）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N求证：|AN|BM|为定值20 （13 分）设数列 A：a 1，a 2，a N （N2） 如果对小于 n（2nN）的每个正整数 k 都有 aka n，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻” ，记 G（A）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合（）对数列 A：2，2，1，1，3，写出 G（
8、A）的所有元素；（）证明：若数列 A 中存在 an使得 ana 1，则 G（A）；（）证明：若数列 A 满足 ana n1 1（n=2，3，N） ，则 G（A）的元素个数不小于 aNa 1第 5 页（共 18 页）2016 年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分） （2016北京）已知集合 A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则AB=（ ）A0，1 B0，1，2 C1，0，1 D1，0，1，2解：集合 A=x|x|2=x|2x2，B=1，0，1，2，3，AB=1，0，1故
9、选：C2 （5 分） （2016北京）若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为（ ）A0 B3 C4 D5解：作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分） 设 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（1，2） ，代入目标函数 z=2x+y 得 z=12+2=4即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4故选：C第 6 页（共 18 页）3 （5 分） （2016北京）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（ ）A1 B2 C3 D4解
10、：输入的 a 值为 1，则 b=1，第一次执行循环体后，a= ，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的 k 值为 2，故选：B第 7 页（共 18 页）4 （5 分） （2016北京）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| |”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：若“| |=| |”，则以 ， 为邻边的平行四边形是菱形；若“| + |=| |”，则以 ， 为邻边的平行四边形是矩形；故“| |=| |”是“| + |=| |
11、”的既不充分也不必要条件；故选：D5 （5 分） （2016北京）已知 x，yR，且 xy0，则（ ）A 0 Bsinxsiny0 C （ ） x（ ） y0 Dlnx+lny0解：x，yR，且 xy0，则 ，sinx 与 siny 的大小关系不确定， ，即 0，lnx+lny 与 0 的大小关系不确定故选：C6 （5 分） （2016北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A B C D1解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积 S= 11= ，第 8 页（共 18 页）高为 1，故棱锥的体积 V= = ，故选：A7 （5 分） （201
12、6北京）将函数 y=sin（2x ）图象上的点 P（ ，t）向左平移 s（s0）个单位长度得到点 P，若 P位于函数 y=sin2x 的图象上，则（ ）At= ，s 的最小值为 Bt= ，s 的最小值为Ct= ，s 的最小值为 Dt= ，s 的最小值为解：将 x= 代入得：t=sin = ，将函数 y=sin（2x ）图象上的点 P 向左平移 s 个单位，得到 P（ s， ）点，若 P位于函数 y=sin2x 的图象上，则 sin（ 2s ）=cos2s= ，则 2s= +2k，kZ，则 s= +k，kZ，由 s0 得：当 k=0 时，s 的最小值为 ，故选：A8 （5 分） （2016北京）
13、袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球第 9 页（共 18 页）D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解：取两个球共有 4 种情况：红+红，则乙盒中红球数加 1 个；黑+黑，则丙盒中黑球数加 1 个；红+黑（红球放入甲盒中） ，则乙盒中黑球数加 1 个；黑+红（黑球放入甲盒中） ，则丙盒中红球数加 1 个设一共有球 2a 个，则 a 个红球，a 个
14、黑球，甲中球的总个数为 a，其中红球 x个，黑球 y 个，x+y=a则乙中有 x 个球，其中 k 个红球，j 个黑球，k+j=x；丙中有 y 个球，其中 l 个红球，i 个黑球，i+l=y；黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j由于 x=k+j，所以可得 i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球故选 B二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分） （2016北京）设 aR，若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a= 1 解：（1+i） （a+i）=a1+（a+1）i，若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a+1=
15、0，解得：a=1，故答案为：110 （5 分） （2016北京）在（12x） 6的展开式中，x 2的系数为 60 （用数字作答）解：（12x） 6的展开式中，通项公式 Tr+1= （2x） r=（2） r xr，令 r=2，则 x2的系数= =60故答案为：60第 10 页（共 18 页）11 （5 分） （2016北京）在极坐标系中，直线 cos sin1=0 与圆=2cos 交于 A，B 两点，则|AB|= 2 解：直线 cos sin1=0 化为 y 直线 x y1=0圆 =2cos 化为 2=2cos，x 2+y2=2x，配方为（x1） 2+y2=1，可得圆心 C（1，0） ，半径 r
16、=1则圆心 C 在直线上，|AB|=2故答案为：212 （5 分） （2016北京）已知a n为等差数列，S n为其前 n 项和若a1=6，a 3+a5=0，则 S6= 6 解：a n为等差数列，S n为其前 n 项和a1=6，a 3+a5=0，a 1+2d+a1+4d=0，12+6d=0，解得 d=2，S 6= =3630=6故答案为：613 （5 分） （2016北京）双曲线 =1（a 0，b0）的渐近线为正方形OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点若正方形 OABC 的边长为 2，则 a= 2 解：双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为 y=x，即 a=b，正方形 OABC 的边长为 2，OB=2 ，即 c=2 ，则 a2+b2=c2=8，即 2a2=8，
