1、- 1 -沈阳二中 2015-2016 学年度下学期第四次模拟考试高三（16 届）数学理科试题说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上. 第卷 （60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 z满足 343izi，则 z的虚部为( )A. B. 5 C. 4 D. 452. 已知集合 1xM， 2log(1)Nxy，则 NM（ ）A. 2,1 B. ,0),( C. ,0 D. 2,0)1,( 3. 已知向量 a， b满足 |4， a在
2、b方向上的投影是 2，则 =Aab( )A. 2 B. 2 C. 0 D.14. 命题“若 20xy，则 xy”的否命题为( )A若 ，则 且 B若 20xy，则 x或 0yC若 2，则 且 D若 ，则 或 5. 已知 1122loglab，则下列不等式一定成立的 是( )A. B. 13abC. ln0abD. 31ab 6. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A. 30 尺
3、 B. 90 尺 C. 150 尺 D. 180 尺7.已知 l是双曲线2:14xyC的一条渐近线， P是 l上的一点， 12,F是 C的两个焦点，若120PF，则 P到 轴的距离为( )A. 3 B. 2 C. 2 D. 2638设 ,mn是不同的直线， ,是不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若 /,n，则 B. 若 /,mn，则 /C. 若 /，则 D若 /，则9. 设函数 ()sicofxx的图像在点 (,)tf处切线的斜率为 k,则函数 ()gt的 图像为- 2 -（第 10 题图）A B C D10. 用随机模拟的方法估计圆周率 的近似值的程序框图如右图所示，P 表示输出的结
4、果，则图中空白处应填( )A. 10M B. 60P C. N D. 1N11. 设集合 2(,)|,xyyxR,|0,c，则使得 MN的实数 c的取值范围是( )A. 21, B. (,21 C. ),12 D. ,(12定义在 0)2上的函数 ()fx， f是它的导函数,恒有 ()fxtanx成立，则( )A 3(43f B 1)2si16fC )6f D 3()f第卷 （90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13. 已知的 展开 5(12)x式中所有项的系数和为 m，则 21xd .14. 正方体 1ABCD的棱长为 8， P、 Q分
5、别是棱 AB和 1C的中点，则点 1A到平面 PQ的距离为 .15以下命题正确的是 函数 3sin(2)yx的图象向右平移 6个单位，可得到 3sin2yx的图象； 函数 0)af的最小值为 a2；某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 30 种； 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（2， ） （ 0） 若 在 ,1内取值的概率为0.1，则 在（2，3）内取值的概率为 0.416. 已知数列 na的前 项和为 ， 46,21nnSS且 212,nnS成等比数列，121-2,nnS，成等差数列，则 20
6、16等于 .三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 12 分） 设 ABC的内角 ， ， 所对的边分别为 abc， ， ，已知- 3 -sin()siniabacABB， 3b.（）求角 ； （）若 3sin A，求 BC的面积.18. （本小题满分 12 分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 X（单位：米）的频率分布直方图如下：将 河流水位在以上 6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.（）求未来三年，至多有 1年河流水位 )31,27X的概率（结果用分数表示） ；（）该河流对沿河 A企业影
7、响如下：当 ),时，不会造成影响；当 )31,27X时，损失 0元；当 )35,1时，损失 60元，为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御 5米的最高水位，需要工程费用 38元；方案二：防御不超过 米的水位，需要工程费用 2元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并说理由.19. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 PABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱 PC 上的动点（）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论；（）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 DAEB 的大小.20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2:10xyab的离心率为 32，若 与圆 E：2
8、31xy相交于 M,N 两点，且圆 E 在 内的弧长为 3.（I）求 ,ab的值；（II）过 的中心作两条直线 AC，BD 交 于 A,C 和 B,D 四点，设直线 AC 的斜率为 1k，BD 的斜率为 2k，且 124k.（1）求直线 AB的斜率；（2）求四边形 ABCD 面积的取值范围.21.（本小题满分 12 分）定义在 R 上的函数 fx满足 2xfea， ,b为常数，函数214xgfbx，若函数 f在 0处的切线与 y 轴垂直.- 4 -（I）求函数 fx的解析式； （II）求函数 gx的单调区间；（III）若 ,str满足 str恒成立，则称 s 比 t 更靠近 r.在函数 gx有
9、极值的前提下，当1x时， e比 1xb更靠近 lnx，试求 b 的取值范围.请考生在 22,23,24 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分22 （选修 41；几何证明选讲 本小题满分 10 分） 如图过圆 E 外一点 A 作一条 直线与圆 E 交于 B、C 两点，且 13AC，作直线 AF 与圆 E 相切于点 F，连结 EF 交 BC 于点 D，已知圆 E 的半径为 2， 30B（）求 AF 的长； （）求证： D23 （选修 4-4；坐标系与参数方程选讲 本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l的参数方程为 sincotyx（ t为参数， 0） ，以原点 O为
10、极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标 方程为 cos1p（ ）（）写出直线 l的极坐标方程和曲线 C的直角坐标方程；（）若直线 与曲线 相交于 BA,两点，求 OB1的值.24 （选修 45；不等式选讲 本小题满分 10 分）设函数 ()214fxx（）解不等式： ()0fx； （）若 ()34fxm对一切实数 均成立，求 m的取值范围沈阳二中 2015-2016 学年度下学期第四次模拟考试高三（16 届）数学理科试题参考答案（1）（5）DBBDD (6)（10）BCCBA (11)（12）BB（13） ln2 （14） 83 （15） (16）-1009（17）解：（） s
11、in()siniabacABB abc 2 分22abc221o5 分(0,)B， 3 6 分（）由 b， sin A， siniabB，得 2a 7 分由 a得 ，从而 6co 3， 9 分- 5 -故 32sin i()sin cos in6CABAB 10 分所以 的面 积为 132 2SabC. 12 分（18）（19） 解：() 不论点 E 在何位置，都有 BDAE. 证明如下：由三视图可知，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面ABCD，且 PC2. 1 分连结 AC，ABCD 是正方形，BDAC. 2 分PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，BDP
12、C. 3 分又ACPCC，BD平面 PAC. 4 分不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC.不论点 E 在何位置，都有 BDAE. 5 分() 解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DFAE 于 F，连结 BF. 6 分ADAB1，DEBE ，AEAE ，RtADERtABE，从而ADF12 12 2 3ABF，BFAE.DFB 为二面角 DAEB 的平面角 9 分RtADE 中，DF , BF .BD ，DFB 中余弦定理得 cos DFB 12，DFBADDEAE 63 63 2，即二面角 DAEB 的大小为 . 12 分23 23解法 2：如图，以点 C 为原点，CD，CB，C
13、P 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 6 分 D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而 DA(0,1,0)，- 6 -DE(1,0,1)， BA(1,0,0)， E(0，1,1) 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为11,nxyz， 22,nxyz由 10nDA10yxz，取 1,0n由 20nBAE20z，取 20,10 分设二面角 D AEB 的平面角为 ，则 121cos2n，11 分 ，即二面角 DAEB 的大小为 12 分 (20)23 2320,m，且 21，所以 0,4ABOS 12 分- 7 -（22）解：（）延长
14、 BE交圆 于点 M，连接 C，则 90BM，- 8 -24BME24B， 30EC，所以 23B，根据切割线定理得：39AFC，所以 AF.5 分（）过 作 H于 ，则 DH ,从而有 EDHAF, 12MC,所以 1EH，因此 13ED，即 AE. 10 分(23)解：（）由 cosinxty得，直线 l是过原点且倾斜角为 的直线.故直线 l的极坐标方程为,03 分由 1cosP得 2Pypx5 分24 解：（）当4x时,21450fx,得5,所以 成立. 当 2时，1430fxx,得，所以14x成立. 当 21x时, 50fx,得5,所以 成立. 综上，原不等式的解集为 1,5x或5分（） 324fx9|)82(1| x 当时 等 号 成 立421所以 9m 10分
