1、第 1 页（共 26 页）初一一元一次方程所有知识点总结和常考题【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数 x 的指数都是 1(次)的方程叫做一元一次方程.3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边
2、都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b(c0)，那么 =acbc三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项四、去括号法则 依据分配律：a（b+c）=ab+ac 1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(
3、按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成 ax = b (a0)形式)5. 系数化为 1(在方程两边都除以未知数的系数 a（或乘未知数的倒数），得到方程的解 x= ).ba六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，找:明确各数量之间的关系；2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法), 表示出有关的含字母的式子；3. 列：根据题意列方程；4. 解：解出所列方程, 求出未知数的值；5. 检：检验所求的解是否是方程的解，是否符合题意；6. 答：写出答案(有单位要注明答案).七、有
4、关常用应用题类型及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题（增 长率问题）： 增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余”来体现.审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别.第 2 页（共 26 页）2. 等积变形问题：（1） “等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在.常用等量关系为：形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积.（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽
5、变，但体积不变圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr 2h长方体的体积 V长宽高abc3. 劳力调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4. 数字问题： 要正确区分 “数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位
6、的积之和.（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为c，十位数可表示为 10b+a，百位数可表示为 100c+10b+a（其中 a、b、c 均为整数，且0a9， 0b9， 1c9）.（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用2n 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示.5. 工程问题（生产、做工等类问题 ）： 工作量工作效率工作时间 工 作 时 间工 作 量工 作 效 率 工 作 效 率工 作 量工 作 时 间 合做的效率各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为 1，完成某
7、项任务的各工作量的和总工作量1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量6.行程问题：利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础.（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度时间 .速 度路 程时 间 时 间路 程速 度 要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）（2）基本类型有单人往返 各段路程和总
8、路程 各段时间和总时间 匀速行驶时速度不变相遇问题（相向而行）：快行距慢行距原总距 两者所走的时间相等或有提前量.追及问题（同向而行）；快行距慢行距原总距 两者所走的时间相等或有提前第 3 页（共 26 页）量.环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点.航行问题： 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度;逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度.水流速度= （顺水速度逆水速度）21抓住两码头间距离不变，水流速和船速
9、（静速）不变的特点考虑相等关系即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然.常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题7. 商品销售问题：（1）；%10商 品 成 本 价商 品 利 润商 品 利 润 率（2）商品销售额商品销售价商品销售量；（3）商品销售利润（销售价成本价）销售量；（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售关系式：商品售价=商品标价折扣率.8. 银行储蓄问题： 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称
10、本息和，存入银行的时间叫做期数（存期） ，利息与本金的比叫做利率.利息的 20%付利息税. 利息=本金 利率期数 本息和= 本金+利息 利息税= 利息税率（20% ）(3) 利润 100% 个个注意利率有日利率、月利率和年利率: 年利率月利率12日利率365.9.溶液配制问题: 溶液质量溶质质量溶剂质量 溶质质量溶液中所含溶质的质量分数.常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意.10.年龄问题: 大小两个年龄差不会变；主要等量关系：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等.11.时钟问题: 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 通常将时钟问题看作以整
11、时整分为起点的同向追击问题来分析。常用数据： 时针的速度是 0.5/分 分针的速度是 6/分 秒针的速度是6/秒12.配套问题: 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系13.比例分配问题: 各部分之和=总量比例分配问题的一般思路为：设其中一份为 x ，利用已知的比，写出相应的代数式.第 4 页（共 26 页）14.比赛积分问题: 注意比赛的积分规则，胜、负、平各场得分之和=总分15.方案选择问题: 根据具体问题，选取不同的解决方案常考题：一选择题（共 13 小题）1下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）A若 x=y，则 x5=y+5 B若 a=b，则 ac=bcC若 ，则 2a=3b D
12、若 x=y，则2解方程 1 ，去分母，得（ ）A1 x3=3x B6x3=3x C6 x+3=3x D1 x+3=3x3代数式 3x24x+6 的值为 9，则 x2 +6 的值为（ ）A7 B18 C12 D94已知关于 x 的方程 2xa5=0 的解是 x=2，则 a 的值为（ ）A1 B1 C9 D 95已知关于 x 的方程 4x3m=2 的解是 x=m，则 m 的值是（ ）A2 B2 C D6某商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 10%，则这种商品每件的进价为（ ）A240 元 B250 元 C280 元 D300 元7已知等式 3a=2b+5，则下列等式中不一定
13、成立的是（ ）A3a5=2b B3a+1=2b+6 C3ac=2bc +5 Da=8把方程 3x+ 去分母正确的是（ ）A18x+2（2x1）=183（x +1） B3x+（2x1）=3（x+1）C 18x+（2x1）=18（x+1） D3x+2（2x 1）=3 3（x +1）9A 种饮料比 B 种饮料单价少 1 元，小峰买了 2 瓶 A 种饮料和 3 瓶 B 种饮料，一共花了 13 元，如果设 B 种饮料单价为 x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ ）A2 （x1）+3x=13 B2（x+1）+3x=13 C2x+3（x+1）=13 D2x+3（x 1）=1310若代数式 4x5 与 的值
14、相等，则 x 的值是（ ）第 5 页（共 26 页）A1 B C D211中央电视台 2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量A2 B3 C4 D512某村原有林地 108 公顷，旱地 54 公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的 20%设把 x 公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）A54x=20%108 B54 x=20%（108+x ）C 54+x=20%162 D108 x=20%（54 +x）13某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是 135 元，若按成本计，其中一件盈利 25%，另一
15、件亏本 25%，在这次买卖中他（ ）A不赚不赔 B赚 9 元 C赔 18 元 D赚 18 元二填空题（共 12 小题）14根据如图所示的程序计算，若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为 15若 3a2a2=0，则 5+2a6a2= 16如图所示是计算机程序计算，若开始输入 x=1，则最后输出的结果是 17刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2+b1，例如把（3，2）第 6 页（共 26 页）放入其中，就会得到 32+（ 2）1=6现将实数对（1，3）放入其中，得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到实数
16、是 18在等式 32=15 的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立则第一个方格内的数是 19我们知道，无限循环小数都可以转化为分数例如：将 转化为分数时，可设 =x，则 x=0.3+ x，解得 x= ，即 = 仿此方法，将 化成分数是 20设 a，b， c，d 为实数，现规定一种新的运算 =adbc，则满足等式=1 的 x 的值为 21若 a2b=3，则 92a+4b 的值为 22如果 x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5，那么 x=1 时，代数式2ax3+3bx+4 的值是 23方程 x+5= （x+3）的解是 24已知关于 x 的方程 3ax= +3
17、的解为 2，则代数式 a22a+1 的值是 25已知 x=2 是关于 x 的方程 a（x +1）= a+x 的解，则 a 的值是 三解答题（共 15 小题）26解方程： 27解方程： 28已知 x= 是方程 = 的根，求代数式 （ 4m2+2m8）（ m1）的值29某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价 200 元，领带每条定价 40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：买一套西装送一条领带；西装和领带都按定价的 90%付款现某客户要到该服装厂购买西装 20 套，领带 x 条（x 20 ） （1）若该客户按方案购买，需付款 元（用含 x 的代数式表示） ；若该客户按方案购买，需付
18、款 元（用含 x 的代数式表示） ；第 7 页（共 26 页）（2）若 x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？30情景：试根据图中信息，解答下列问题：（1）购买 6 根跳绳需 元，购买 12 根跳绳需 元（2）小红比小明多买 2 根，付款时小红反而比小明少 5 元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由31某地为了打造风光带，将一段长为 360m 的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时 20 天，已知甲工程队每天整治 24m，乙工程队每天整治 16m求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道32某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了
19、解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件，并以每件 120 元的价格销售了 400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标？33某同学在 A，B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8元（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售，超市 B 全场购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场
20、通用） 但他只带了 400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？34某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一（）计时制：0.05 元/分；（）包月制：50 元/月（限一部个人住宅电话上网） 此外，每一种上网方式都得加收通信费 0.02 元/ 分（1）某用户某月上网的时间为 x 小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；（2）若某用户估计一个月内上网的时间为 20 小时，你认为采用哪种方式较为合算？35为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一
21、场得 2 分，负一场得 1 分已知九年级一班在 8 场比赛中得到 13 分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？36已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则的值是多少？37先阅读下面例题的解题过程，再解决后面的题目例已知 96y4y2=7，求 2y2+3y+7 的值第 8 页（共 26 页）解：由 96y4y2=7，得6y4y 2=79，即 6y+4y2=2，所以 2y2+3y=1，所以2y2+3y+7=8题目：已知代数式 14x+521x2 的值是2，求 6x24x+5 的值38已知|a 3|+（b +1） 2=0，代数式 的值比 的值多 1，求 m 的值39为鼓
22、励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）第一档 小于等于 200 0.55第二档 大于 200 小于 400 0.6第三档 大于等于 400 0.85例如：一户居民七月份用电 420 度，则需缴电费 4200.85=357（元） 某户居民五、六月份共用电 500 度，缴电费 290.5 元已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于 400 度问该户居民五、六月份各用电多少度？40在“五 一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图） ，试根据图中的信息，解答下列问题
23、：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由第 9 页（共 26 页）初一一元一次方程所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一选择题（共 13 小题）1 （2013 秋克东县期末）下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）A若 x=y，则 x5=y+5 B若 a=b，则 ac=bcC若 ，则 2a=3b D若 x=y，则【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案【解答】解：A、根据等式性质 1，x=y 两边同时加 5 得 x+5=y+5；B、根据等式性质 2，等式两边都乘以 c，即可得到 ac=bc
24、；C、根据等式性质 2，等式两边同时乘以 2c 应得 2a=2b；D、根据等式性质 2，a0 时，等式两边同时除以 a，才可以得 = 故选 B【点评】本题主要考查等式的性质运用等式性质 1 必须注意等式两边所加上的（或减去的）必须是同一个数或整式；运用等式性质 2 必须注意等式两边所乘的（或除的）数或式子不为 0，才能保证所得的结果仍是等式2 （2013相城区模拟）解方程 1 ，去分母，得（ ）A1 x3=3x B6x3=3x C6 x+3=3x D1 x+3=3x【分析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作用，并注意不能漏乘【解答】解：方程两边同时乘以 6
25、 得 6x3=3x故选 B【点评】解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成 x=a 的形式在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项3 （2008枣庄）代数式 3x24x+6 的值为 9，则 x2 +6 的值为（ ）A7 B18 C12 D9【分析】观察题中的两个代数式 3x24x+6 和 x2 +6，可以发现 3x24x=3（x 2） ，因此，可以由“ 代数式 3x24x+6 的值为 9”求得 x2 =1，所以第 10 页（共 26 页）x2 +6=7【解答】解：3x 24x+6=9，方程两边除以 3，得 x2 +2=3x2
26、 =1，所以 x2 +6=7故选：A【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式 x2 的值，然后利用“整体代入法” 求代数式的值4 （2013晋江市）已知关于 x 的方程 2xa5=0 的解是 x=2，则 a 的值为（ ）A1 B1 C9 D 9【分析】将 x=2 代入方程即可求出 a 的值【解答】解：将 x=2 代入方程得： 4a5=0，解得：a=9故选：D【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值5 （2008武汉）已知关于 x 的方程 4x3m=2 的解是 x=m，则 m 的值是（ ）A2 B2 C D【分析】此题用 m 替换 x，解关于 m 的一元一次方程即可【解答】解：由题意得：x=m，4x3m=2 可化为： 4m3m=2，可解得：m=2 故选：A【点评】本题考查代入消元法解一次方程组，可将 4x3m=2 和 x=m 组成方程组
