1、第 1 页（共 31 页）数学组卷圆的最值问题一选择题（共 7 小题）1 （2014 春兴化市月考）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且 AC=2，设 tanBOC=m，则 m 的取值范围是（ ）Am0 B C D2 （2013武汉模拟）如图 BAC=60，半径长 1 的O 与BAC 的两边相切，P 为O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长度的最大值为（ ）A3 B6 C D3 （2014武汉模拟）如图，P 为O 内的一个定点，A 为 O
2、上的一个动点，射线 AP、AO 分别与O 交于B、C 两点若 O 的半径长为 3，OP= ，则弦 BC 的最大值为（ ）A2 B3 C D34 （2015黄陂区校级模拟）如图，扇形 AOD 中，AOD=90 ，OA=6，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点 A 和D 重合） ，PQOD 于 Q，点 I 为OPQ 的内心，过 O，I 和 D 三点的圆的半径为 r则当点 P在弧 AD 上运动时，r 的值满足（ ）A0r3 Br=3 C3 r3 Dr=35 （2010苏州）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0） 、 （0，2） ，C 的圆心坐标为（1，0） ，半径为 1若 D 是C 上的一
3、个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值是（ ）A2 B1 C D6 （2013市中区模拟）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0） 、 （0，6） ，C 的圆心坐标为（0，7） ，半径为 5若 P 是C 上的一个动点，线段 PB 与 x 轴交于点 D，则ABD 面积的最大值是（ ）A63 B31 C32 D307 （2013枣庄）如图，已知线段 OA 交 O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是 O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是（ ）A90 B60 C45 D30第 2 页（共 31 页）二填空题（共 12 小题）8 （2013武汉）如图， E，F 是正
4、方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF连接 CF 交 BD 于点 G，连接BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 9 （2015黄陂区校级模拟）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=4，BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2， M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段 CM 长度的取值范围是 10 （2012宁波）如图， ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB=2 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 11 （201
5、5峨眉山市一模）如图，已知直线 l 与O 相离， OAl 于点 A，OA=10，OA 与O 相交于点 P，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C若 O 上存在点 Q，使QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则半径 r 的取值范围是： 12 （2013长春模拟）如图，在 ABC 中，C=90，AC=12，BC=5，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、CB分别相交于点 P、Q，则 PQ 长的最小值为 13 （2013陕西）如图， AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且ACB=30 ，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与 O 交于 G、H
6、 两点若 O 的半径为 7，则 GE+FH 的最大值为 14 （2013咸宁）如图，在 RtAOB 中，OA=OB=3 ，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点） ，则切线 PQ 的最小值为 15 （2013内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，直线 y=kx3k+4 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 16 （2011苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画 O， P 是O 是一动点且 P 在第一象限内，过 P 作O 切线与 x 轴相交于
7、点 A，与 y轴相交于点 B则线段 AB 的最小值是 17 （2015 秋 江阴市校级期中）如图， O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切，且DE 与O 相切于 E 点若正方形 ABCD 的周长为 28，且 DE=4，则 sinODE= 第 3 页（共 31 页）18 （2014 春 兴化市校级月考）如图所示，已知 A（1，y 1） ，B（2，y 2）为反比例函数 y= 图象上的两点，动点P（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是 19 （2015泰兴市二模）如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的O 上滑动（点 C、D 与点 A
8、、B 不重合） ，M 是 CD的中点，过点 C 作 CPAB 于点 P，若 CD=3，AB=8，PM=l，则 l 的最大值是 三解答题（共 5 小题）20 （2013武汉模拟）如图，在边长为 1 的等边 OAB 中，以边 AB 为直径作D，以O 为圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点，射线 AC 交O 于点 E，BC=a，AC=b（1）求证：AE=b+ a；（2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是关于 x 的方程： x2+ ax=b2+ ab 的一个根，求 m 的取值范围21 （2014 春 泰兴市校级期中）如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 A
9、D 上的两个动点，满足 AE=DF连接 CF 交BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H已知正方形 ABCD 的边长为 4cm，解决下列问题：（1）求证：BEAG；（2）求线段 DH 的长度的最小值第 4 页（共 31 页）OADB CEFODCEA B22已知：如图，AB 是 O 的直径，在 AB 的两侧有定点 C 和动点 P，AB=5，AC=3点 P 在 上运动（点 P 不与 A，B 重合） ，CP 交 AB 于点 D，过点 C 作 CP 的垂线，与 PB 的延长线交于点 Q（1）求P 的正切值；（2）当 CPAB 时，求 CD 和 CQ 的长；（3）当点 P 运动到什么位置时，CQ 取
10、到最大值？求此时 CQ 的长23 （2013日照）问题背景：如图（a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B关于 l 的对称点 B，连接 AB与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b） ，已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 （2）知识拓展：如图（c） ，在 RtABC 中，AB=10， BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点
11、，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程24 （2012苏州）如图，已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点D，连接 PA、 PB，设 PC 的长为 x（2x4） （1）当 x= 时，求弦 PA、PB 的长度；（2）当 x 为何值时，PDCD 的值最大？最大值是多少？25、如图，在等腰 RtABC 中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E 在 AB 边上运动（点 E 不与点 A 重合） ，过 A、D、E 三点作O，O 交 AC 于另一点 F，在此运动变化的过程中， 线
12、段 EF 长度的最小值为 26、如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的一个动点，以 AC、BC 为边作等边ACD 和等边BCE，O 外接于CDE，则O 半径的最小值为( ).A.4 B. C. D. 22332第 5 页（共 31 页）27、 如图，已知直角AOB 中，直角顶点 O 在半径为 1 的圆心上，斜边与圆相切，延长 AO，BO 分别与圆交于C，D试求四边形 ABCD 面积的最小值第 6 页（共 31 页）2015 年 12 月 18 日王军的初中数学组卷圆的最值问题参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1 （2014 春兴化市月考）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，
13、0） ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且 AC=2，设 tanBOC=m，则 m 的取值范围是（ ）Am0 B C D【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【分析】C 在以 A 为圆心，以 2 为半径的圆周上，只有当 OC 与圆 A 相切（即到 C 点）时，BOC 最小，根据勾股定理求出此时的 OC，求出BOC= CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据 tanBOC 的增减性，即可求出答案【解答】解：C 在以 A 为圆心，以 2 为半径作圆周上，只有当 OC 与圆 A 相切（即到 C 点）时，BOC 最小，AC=2，OA=
14、3，由勾股定理得：OC= ，BOA=ACO=90，BOC+AOC=90，CAO+AOC=90，BOC=OAC，tanBOC=tanOAC= = ，随着 C 的移动，BOC 越来越大，C 在第一象限，C 不到 x 轴点，即BOC90，tanBOC ，故选 B【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定BOC 的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度2 （2013武汉模拟）如图 BAC=60，半径长 1 的O 与BAC 的两边相切，P 为O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的 P 交射线 AB、AC 于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE 长
15、度的最大值为（ ）第 7 页（共 31 页）A3 B6 C D【考点】切线的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】连接 AO 并延长，与圆 O 交于 P 点，当 AF 垂直于 ED 时，线段 DE 长最大，设圆 O 与 AB 相切于点M，连接 OM， PD，由对称性得到 AF 为角平分线，得到FAD 为 30 度，根据切线的性质得到 OM 垂直于 AD，在直角三角形 AOM 中，利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出 AO 的长，由 AO+OP 求出 AP 的长，即为圆 P 的半径，由三角形 AED 为等边三角形，得到 DP 为角平分线，在直角三角形 PFD 中，利用 30 度所对的
16、直角边等于斜边的一半求出 PF 的长，再利用勾股定理求出 FD 的长，由 DE=2FD 求出 DE 的长，即为 DE 的最大值【解答】解：连接 AO 并延长，与 ED 交于 F 点，与圆 O 交于 P 点，此时线段 ED 最大，连接 OM，PD ，可得 F 为 ED 的中点，BAC=60，AE=AD，AED 为等边三角形，AF 为角平分线，即 FAD=30，在 RtAOM 中， OM=1，OAM=30，OA=2，PD=PA=AO+OP=3，在 RtPDF 中，FDP=30， PD=3，PF= ，根据勾股定理得：FD= = ，则 DE=2FD=3 故选 D第 8 页（共 31 页）【点评】此题考
17、查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含 30 度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键3 （2014武汉模拟）如图，P 为O 内的一个定点，A 为 O 上的一个动点，射线 AP、AO 分别与O 交于B、C 两点若 O 的半径长为 3，OP= ，则弦 BC 的最大值为（ ）A2 B3 C D3【考点】垂径定理；三角形中位线定理菁优网版权所有【分析】当 OPAB 时，弦 BC 最长，根据三角形相似可以确定答案【解答】解：当 OPAC 时，弦 BC 最长，又 AC 是直径，CBA=90，所以APOABC ， ，又 OP= ，BC=2 故答案选 A【点评】本题考查了直径所对的
18、圆周角是 900 这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似是解答本题的关键第 9 页（共 31 页）4 （2015黄陂区校级模拟）如图，扇形 AOD 中，AOD=90 ，OA=6，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点 A 和D 重合） ，PQOD 于 Q，点 I 为OPQ 的内心，过 O，I 和 D 三点的圆的半径为 r则当点 P在弧 AD 上运动时，r 的值满足（ ）A0r3 Br=3 C3 r3 Dr=3【考点】三角形的内切圆与内心菁优网版权所有【分析】连 OI，PI，DI，由 OPH 的内心为 I，可得到PIO=180 IPOIOP=180 （ HOP+OPH）=1
19、35，并且易证OPIODI，得到DIO=PIO=135，所以点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135的一段劣弧上；过 D、I、O 三点作 O，如图，连 OD，OO，在优弧 AO 取点 P，连 PD，P O，可得 DPO=180135=45，得DOO=90，OO=3 【解答】解：如图，连 OI， PI，DI ，OPH 的内心为 I，IOP=IOD， IPO=IPH，PIO=180IPOIOP=180 （ HOP+OPH） ，而 PHOD，即 PHO=90，PIO=180 （HOP+ OPH）=180 （18090）=135 ，在OPI 和 ODI 中，OPIODI（SAS） ，DIO
20、=PIO=135，所以点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为 135的一段劣弧上；过 D、I、O 三点作 O，如图，连 OD，OO，在优弧 DO 取点 P，连 PD，PO ，DIO=135，DPO=180135=45，DOO=90，而 OD=6，OO=DO=3 ，r 的值为 3 故选：D第 10 页（共 31 页）【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键5 （2010苏州）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0） 、 （0，2） ，C 的圆心坐标为（1，0） ，半径为1若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E
21、，则 ABE 面积的最小值是（ ）A2 B1 C D【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】由于 OA 的长为定值，若ABE 的面积最小，则 BE 的长最短，此时 AD 与O 相切；可连接 CD，在RtADC 中，由勾股定理求得 AD 的长，即可得到 ADC 的面积；易证得AEOACD ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出AOE 的面积，进而可得出AOB 和AOE 的面积差，由此得解【解答】解：若ABE 的面积最小，则 AD 与 C 相切，连接 CD，则 CDAD；RtACD 中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2 ；SACD= ADCD= ；易证得AOE ADC， =（ ） 2=（ ） 2= ，即 SAOE= SADC= ；SABE=SAOBSAOE= 22 =2 ；
