1、平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。一向量的概念：1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2 向量的表示方法： （1） 几何表示法：点射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2） 字母表示法： 可表示为ABa3.模的概念：向量 的大小长度称为向量的模。记作：| | 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1零向量 长度（模）为 0 的向量，记作 。 的方向是任意的。 注意0与 0 的区别2单位向量 长度（模）为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。二向量间的关系：1平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向
2、量。记作： abc规定： 与任一向量平行02 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作： =ab规定： =0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。三向量的加法：1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）2三角形法则：abca+bAA ABB BCC Ca+ba+ba abb baa强调：1“向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2可以推广到 n 个向量连加3 aa04不共线向量都可以采用这种法则 三角形法则3.加法的交换
3、律和平行四边形法则1向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：2向量加法的交换律： + = +ab3向量加法的结合律： ( + ) + = + ( + )cb4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。四向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法1“相反向量 ”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量。记作 a2规定：零向量的相反向量仍是零向量。(a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0如果 a、b 互为相反向量，则 a = b, b = a, a + b = 03向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的
4、差。即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b3.向量减法做图： 表示 a b。强调：差向量“箭头”指向被减数AB总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)1.实数与向量的积实数 与向量 的积，记作：aa定义：实数 与向量 的积是一个向量，记作： a1| |=| | |a20 时 与 方向相
5、同；0(内分) (外分) 0 内分 0 外分 P1 P1 P1P2 P2 P2P P P-1 若 P 与 P1 重合，=0 P 与 P2 重合 不存在2 中点公式是定比分点公式的特例3 始点终点很重要，如 P 分 的定比 = 则 P 分 的定比 =22121124 公式：如 x1, x2, x, 知三求一十平面向量的数量积及运算律（一）平面向量数量积1定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cos ，并规定 0 与任何向量的数量积为 0。2向量夹角的概念：范围 01803注意的几个问题；两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 co
6、s的符号所决定。2两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。3在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出 b=0。因为其中 cos有可能为 0。这就得性质2。4已知实数 a、 b、c(b0)，则 ab=bc a=c。但是 ab = bc a = c 如右图：ab = |a| b|cos = |b|OA|bc = |b|c|cos = |b|OA|ab=bc 但 a c5在实数中，有 (ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与 c 共线的向
7、量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线。（二）投影的概念及两个向量的数量积的性质：1 “投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影。C = 0 = 180 OOOOO OAAAA A A BBBBBBCOaAcb AOOBOB1Oab AOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab注意：1 投影也是一个数量，不是向量。2当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|。2向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积。3
8、两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量。1ea = ae =|a|cos2ab ab = 03当 a 与 b 同向时，a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a|b|。特别的 aa = |a|2 或 4cos = |b5|ab| | a|b|十一. 平面向量的数量积的运算律1. 交换律：a b = b a2. 结合律：( a)b = (ab) = a( b)3. 分配律：(a + b)c = ac + bc十二. 平面向量的数量积的坐标表示1.设 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x 轴上单位向量 i，y 轴上单位
9、向量 j，则：i i = 1，jj = 1，i j = ji = 02.ab = x1x2 + y1y23.长度、角度、垂直的坐标表示1a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 2yx2若 A = (x1, y1)，B = ( x2, y2)，则 = 2121)()(AB3 cos = 221y|ba4a b ab = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）十三.平移一、平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。 （作图、讲解）一个平移实质上是一个向量二、平移公式：设
10、 = (h, k)，即：PPO(x, y) = (x, y) + (h, k) 平移公式kyhx三、注意：1 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系2知二求一3这个公式是坐标系不动，点 P(x, y)按向量 a = (h, k)平移到点 P(x, y)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量a，即：。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样kh的，这两个公式作用是一致的。十四. 正弦定理1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等公式即： = = 它适合于任何三角形。AasinBbiCcsin2可以证明 = = =2R （R 为ABC 外接圆半径）iii3 每个等式可视为一个方程：知三求一从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。十五. 余弦定理1余弦定理语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2. 余弦定理公式： Abcaos22BabCccs224.强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方” “夹角” “余弦”等2知三求一3当夹角为 90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4变形： bcaA2cos acbB2cosaC2三、余弦定理的应用能解决的问题：1已知三边求角2已知三边和它们的夹角求第三边
