1、1 1运动学一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动2.匀变速直线运动3.变速运动:微元法问题：如图所示，以恒定的速率 v1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率 v2是多少？ 设在 t（ t0）的时间内物体由 B点运动到 C点，绳子与水平面成的夹角由 增大到 +，绳子拉过的长度为 s1，物体运动的位移大小为 s2。因 t0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比， v平 = v即 =s/t， s1与 s2有什么关系？如果取 ACD为等腰三角形，则 B D=s1，但 s1s2cos。如果取 ACD为直角三角形，则 s1=s2cos,但 DBs1。
2、普通量和小量；等价、同价和高价有限量（普通量）和无限量 x0的区别. 设有二个小量 x1和 x2，当 , x1和 x2为等价无穷小，可互相代替，当 普通量, 21 21xx1和 x2为同价无穷小，当 （或 ）, x2比 x1为更高价无穷小。01在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。如当 0时， AB弧与 AB弦为等价， （圆周角）和 （弦切角）为同价。如图 OAB为等腰三角形， OAD为直角三角形， OA=OB=OD+BD=OD。，即 （等价）。OADBAOD,tan,sin tansi，比 更高价的无穷小量。2sico1回到问题：因为 DD为高价无穷小
3、量，绳子拉过的长度 s1=BD=BD，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。（ v2=v1/cos）例：如图所示，物体以 v1的速率向左作匀速运动，杆绕 O点转动，求（1）杆与物体接触点 P的速率？（ v2=v1cos）（2）杆转动的角速度？（ =v1sin/OP）。 1. 细杆 M绕 O轴以角速度为 匀速转动,并带动套在杆和固定的 AB钢丝上的小环 C滑动, O轴与 AB的距离为 d，如图所示.试求小环与 点距离为 X时，小环沿钢丝滑动的速度.（答案： ）x2解:设 t时刻小环在 C位置,经 t时间( t足够小),小环移动 x,由于t很小,所以 也很小,于是小环的速度 v=x/t,根据图示关
4、系, CD=OC, ，cosCOx,从上面关系得2dxOC. dxxdxOCttv222)/(coscsos 222. 用微元法求：自由落体运动，在 t1到 t2时间内的位移。（答案： ）21gtt解：把 t1到 t2的时间分成 n等分，每段为 t,则 ,且看成匀速。nt12则 v1=gt1+gt,s1=( gt1+gt)t,v2=gt1+2gt,s2=(gt1+2gt)t,vn=gt1+ngt,sn=(gt1+ngt)t,s=s1+s2+sn= .2121122 )()()1( gtttgtgn若 v1=gt1,s1=gt1t,v2=gt1+gt,s2=(gt1+gt)t,vn=gt1+（
5、n-1） gt,sn=gt1+（ n-1） gtt,s=s1+s2+sn= 2121122 )()()( gtttgt 也可用图象法求解。 3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心 L1=1m的 A点处时,速度是 v1=2cm/s.试问蚂蚁从 A点爬到距巢中心 L2=2m的 B点所需的时间为多少? （答案：75s）解法1:将蚁巢中心定为坐标原点 O,OA连线即为 x轴正方向,则坐标 x处蚂蚁的速度可表示为.将 AB连线分成 n等份,每等份 .当 n很大时,每小段的运动可看成是匀速运xvL1 Lx)(12动.每小段对应的速度为 ， ， 。 1Lvxv12
6、xvn)1(3)2()(21 Lxvxtn 切s752)( 1211 vvLvLLn解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度 ,xL即 ，1/ v-x的图象如图所示。Lv1蚂蚁运动的时间 t为如图梯形的面积， t= =75s. 12121)( LvLv二.运动的合成与分解1.相对运动4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过 t时间才发现丢失,汽艇立即调头航行,并在丢失点下游 s距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 . （答案： s/2t）以地为参照物,水速为 v1,船速为 v2,船调头后追上救生圈的时间为 t,对船( v2+v1)t=(v2-v1)+v1(
7、t+t)t，得 t=t,所以 v1=s/2t.或以水为参照物,则救生圈静止, t=t,所以 v1=s/2t 5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度 v0射出很多的小球,问(1)这些小球在空3 3间下落时会不会相碰?(2)经 t时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少?（答案：不会相碰；2 v0t）解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系,则小球都以 v0的速度作匀速直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最远的二个小球间的距离等于球面的直径,即 d=2v0t.6. 一只气球以10m/s的速度匀速上升,某时刻在气球正下方
8、距气球为10m的地方有一个石子以 v0的初速度竖直上抛(取 g=10m/s2),石子要击中气球,则 v0应满足什么条件? （答案： m/s）)1(0v解法1:设气球的速度为 v,开始相距为 h,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气球,否则石子不能击中气球,速度相等时所用的时间 t=(v0-v)/a-(1),则好击中时的位移关系为 v0t- gt22=vt+h-(2) 1解得石子的初速度至少 m/s.)(g解法2:以气球为参照物,则初速度 v1=v0-v,未速度 v2=0,所以( v0-v)2=2gh,解得石子的初速度至少 m/s. 20hv2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有
9、相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。求下列各图中 v1和 v2的关系.答案依次是： A:v1=v2cos;B:v1=v2cos;C:v1cos=v2cos;D:v2=vtan; 7. 如图所示， AB杆的 A端以匀速 v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为 R，当杆与水平线的交角为 时，求此时：（1）杆上与半圆周相切点 C的速度大小。（2）杆转动的角速度。（3）杆上 AC中点的速度大小。（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。答案：（1） ；（2） ；（3）； ；（4） cosv
10、sintaRv sinco2v sintav解：把 A的速度分解成沿杆的速度 ，和垂直杆方向速度 。s1i（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点 C的速度大小 。co1C（2） A点对 C点的转动速度为 ，in2v所以杆转动的角速度为 。sintacotsiRAv（3） 4i)2(21vAC（4）在相同时间内，杆转过的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也为，sintaR杆与半圆周相切的切点的速度大小 。 sintavRC448. 如图所示，杆 长为 ，可绕过 点的水平轴在竖直平面内转动，其OARO端点 系着一跨过定滑轮 、 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物BC块 ，滑轮
11、的半径可忽略， 在 的正上方， 之间的距离为 。某MBH一时刻，当绳的 段与 之间的夹角为 时，杆的角速度为 ，求此时物块 的速率 。Mv解： ，AR沿绳 的分量vBcosA由正弦定理知 siniOH由图看出 2由以上各式得 sinMv3.运动的合成与分解:在船渡河中， 。推广切切切v 乙 丙甲 乙甲 丙 vv9. 当骑自行车的人向正东方向以5m/s的速度行驶时,感觉风从正北方向吹来,当骑自行车的人的速度增加到10m/s时,感觉风从正东北方向吹来.求风对地的速度及的方向. （答案： m/s，方向正东南）25V风对地 =V风对人 +V人对地 ，得 V风对地 = m/s，方向正东南 2510. 如
12、图所示,质点 P1以 v1的速度由 A向 B作匀速直线运动,同时质点 P2以 v2的速度由 B向 C作匀速直线运动, AB=L,ABC=,且为锐角,试确定何时刻 t,P1、 P2的间距 d最短,为多少?（答案： ； ）cos2)(11vvt cosin2121vvLd解:以 A为参照物, vBA=vB地 +v地A 。 B相对 A的运动方向和速度的大小如图所示.则 B相对 A的速度为 cs2121有正弦定理 ，sinsiv vcosino21当 B运动到 D时( AD垂直 AB)P1、 P2的间距 d最短, .cos2ini11vLL所需的时间 . cos2)(coscos 11vvLvt 11
13、. 一半径为 R的半圆柱体沿水平方向向右以速率为 v做匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆,杆与半圆柱体接触为点 P，此杆只能沿竖5 5直方向运动,如图所示.求当 OP与柱心的连线与竖直方向的夹角为 时,竖直杆运动的速度和加速度.（答案： vtan； ）32cosRva解:(1)取半圆柱体作为参照系.在此参照系中 P点做圆周运动, v杆柱 的方向沿着圆上 P点的切线方向, v杆地 的方向竖直向上,因为,切切切v矢量图如图 a所示.得 v杆地 =vtan。也可用微元法求.(2)有 ,切切切a因 a柱地 =0,所以 a杆地 =a杆柱 ,而 a杆地 的方向竖直向下,又 a杆柱 可分解成切线方向 at
14、和法线方向 an,矢量图如图 b所示,所以得到 .22cosRvn切 32cossRvn切问题：若圆柱体的加速度为 a，则 a杆地 =？ ，切切切切 tn， a杆地 的方向仍在竖直方向上。 tncs22tnva切三抛体运动1.竖直上抛运动: v=v0-gt,s=v0t-gt2/2.如初速 v0=20m/s 竖直向上抛出,取 g=10m/s2.求经 t=3s 物体的位移.可用分段解,也可用 s=v0t-gt2/2 直接求解(15m,方向向下)12. 在地面上的同一点分别以 v1和 v2的初速度先后竖直向上抛出两个可视作质点的小球,第二个小球抛出后经过 t时间与第一个小球相遇 ,改变两球抛出的时间
15、间隔,便可改变 t的值,已知v1v2,则 t的最大值为 .(忽略空气阻力) （答案： ）gv212解法1： ， ，相碰条件21()(tgtvh 221tgtvh2h得 02(12tgt要使方程有解： 0)(4)( 12tt 解得 ,取vt2gv解法2：因 v1v2,所以第二小球一定在上升时与第一小球相碰,在使 t最大,则高度 h应为最大: ,解得 ,取1tgtgv vt212gvt2122.平抛运动水平方向匀速运动: vx=v0,x=v0t 竖直方向自由落体运动: vy=gt,y=gt2 13. 如图所示,从高 H处的同一点先后平抛两球1和2.球1直接经竖直挡板的顶端落到水平地面 B点,球2与
16、地面的 A点碰撞后经竖直挡板的顶端,第二次落到水平地面 B点.设球2与地面的碰撞是弹性碰撞,求竖直挡板的高度 h. （答案： ）h43解:因球2与地面的碰撞是弹性碰撞,所以弹起后的运动与原来的运动对称,它的运动时间为 t2=3t1,它们的水平初速 v1=3v2,所以当水平位移相等时,它们的运动时间为3倍关系,两球飞抵66挡板的时间是 t2=3t1,设球2第一次着地到飞跃挡板顶端的时间为 t,因小球的上升和下落的运动是对称的,所以它们的时间关系为:.得ghHtg/)(3/2 gHht /2/)(23对球2下落 解得 . ,43.斜抛运动（抛射角为 ，初速为 v0）水平方向： vx=v0cos,x
17、=v0cost,竖直方向： vy=v0sin,y= v0sint- gt2,1物体运动到最高点的时间： ,gsin射高： ，gvy2sin0射程： ，当 =45时 X 最大。gvtx2sinco0014. 一物体以 v0的初速从 A点开始以恒定的加速度作曲线运动，经1s运动到 B点，再经1s运动到 C点。已知 AB=3m， BC= m， AB BC，求初速度大小 v0和加速度大小 a。3（答案： m/s; m/s2,）213a解：物体与加速度垂直方向是匀速运动，在相等时间内的位移相等。作直角三角形， AC的中点 P与 B的连线应是加速度反方向，如图所示。在 A到 B的过程，设 x方向的初速为
18、vx,则 m/s5.130costA设 y方向的初速为 vy,加速度大小为 a, m2C在 A到 B的过程 016singty在 A到 C的过程 2)(3v解得加速度大小 m/s2, m/s，所以 m/s=4.58m/s。 a35y 2120yxv15. 如图所示,一仓库高25m,宽40m.今在仓库前 L、高5m的 A点处抛出一石块过屋顶,问 L为多少时所需的初速 v0可最小.（答案：14.6m）解:当 v0最小时,抛物线必经过屋顶边缘的 B、 C两点,物体经过 B点时的速度也必最小,所以把坐标的原点移到 B点,建立水平方向为 x轴,竖直方向为 y轴.因斜抛物体的射程 BC一定,所以当 vB的
19、方向与水平方向成 =450角时,vB最小.由 ，所以 -g2sin0BCgv2水平方向 x=vBcost, 竖直方向 y=vBsint- gt2-.1两式消去 t得 y=x-x2/40-(3),将 A点的坐标(- L,-20)代入(3)得 L=14.6m. 7 716. 如图所示,一人从离地平面高为 h处以速率 v0斜向上抛出一个石子,求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？（答案： ; ）gv2sin01ghx2ma解法1：射程最大时， 45（ 45）根据斜抛运动规律： x=v0cost-y=-h=v0sint- gt2-1把上述二式消去 得 ,1)/(200tvhgt或 -htgh
20、tvx 2042202 )()1()当 时， x2有极值，即 x有极值。2gabt把 t代入式得 。再把 t代入式，得 。ghvx0ma ghv2sin01解法2：用 x=v0cost,y=v0sint- gt2,两式中消去 ,1得 或 ,1)/(200thgtvx )()(4202xhtvg有 0求得. x的最大值 x= .v0解法3:设发射角为 ,水平方向为 x=v0cost,竖直方向为y=v0sint- gt2,1有运动方程消去时间得 ,当 y=-h时, x=s,20costanvgxy.hgshsgv 2coini2co)tan(220令 =tan-1 ,则 v02= ,当sin(2
21、-)=1,s最大,hg)in(s的最大值 s= .h解法4：把斜抛运动分解成 v0方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其位移矢量图如图所示。则由图可得 。2202)1()hgttvx以下解法与解法1相同。解法5:初速 v0、末速 v和增加的速度 gt有如图的关系,这个矢量三角形的面积88S= vxgt= g(vxt),式中 vxt就是石子的水平射程,所以当 S最大时,石子的水平射程也最大,而21三角形面积又可表示为 S= v0vsin.因 v0和 v= 的大小都是定值,所以当 =900时, S有21gh2最大值, .gsvS210因此最大射程 s=vxt= .ghv20说明：不同的解法，
22、有不同的表达式，根据三角函数可证明结果一样。 17. 如图所示，弹性小球从高为 h处自由下落，落到与水平面成 角的长斜面上，碰撞后以同样的速率反弹回来。求：（1）每相邻两点第一点和第二点、第二点和第三点第 n点和第（ n+1）间的距离。（2）当小球与斜面发生碰撞前瞬间，斜面以v的速度竖直向上作匀速直线运动，求第一点和第二点间的距离。答案：（1） ; sin81hxn 212)(sin4vghx解：（1）取沿斜面向下为 x轴，垂直斜面方向为 y轴。小球与斜面第一次碰撞前后的速度大小 ，方向与 y轴对称，gv0则 vx1=v0sin,ax=gsin,vy1=v0cos,ay=-gcos,第一点与第
23、二点碰撞时间间隔 。t2cos所以第一点与第二点间的距离 。sin8si4sin1i201012 hgvttvx 第二次碰撞时刻的速度 vx2=v0sin+gsint1=3v0sin,vy2=v0cos-gcost1=-v0cos,碰后， vy大不变，每相邻两次碰撞时间间隔不变， 。gt02所以第二点与第三点间的距离 。sin8sin1si32102 httvx同理，第 n点与第 n+1点间的距离 。81hn(2)因 ，当斜面向上作匀速运动时，以斜面为参照物，小于与斜面碰撞时的gvxsi4201速度 v=v0+v,所以 。22012 )(si4)(i vghv四圆周运动1.质点的匀速圆周运动(
24、1)线速度度 ,(2)角速度 ,(3)角加速度 ,tsvtt(4)线速度和角速度的关系 ,(5)角速度与时间的关系 ,Rv t0(6)角度与时间和关系 ,(7)向心加速度(改变速度方向) ,201t vRvan2(8)切向加速度(改变速度大小) tvat9 9(9)质点的加速度(法向和切向的合成) .tna18. 一质点以半径为 R,线速度为 v作匀速圆周运动,求证质点的向心加速度 .Rvan2解:根据相似三角形,得 ,Rs两边同除 t,得 ,tvta当 t0时, 0,v的方向与 vA方向垂直,即加速度的方向指向圆心, 就是线速度,所以得到向心加速度大小 .ts Rvan2问题： ，对非匀速圆
25、周运动适用吗？ Ran219. 赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶,在0.1s时间内速度由10.0m/s加大到10.5m/s,那么该赛车在半径为30m的环形公路段中,达到同样的结果需要多少时间?当环行公路的半径为多少时,赛车的速度就不可能增大到超过10m/s?设公路的平面是水平的.（答案：0.14s;20m）解:合力产生的最大加速度 am=(v2-v1)/t1=5m/s2,作圆周运动时 , ,则 s,tvatRn1 14.0,)(1tmt avRVa半径最小时： ,所以 =20m. 0t vam220. 如图所示,半径为 r的圆轮在半径为 R的固定圆柱上滚动,已知半径为 r的圆轮的轮心
26、的速率恒为 v,求当圆轮在固定圆柱的最高点的如图时刻:(1)圆轮上 P点的加速度.(2)圆轮与圆柱接触点的加速度.答案：(1) ; )(2Rrv2)(rvaP解:(1) P点相对 O转动,有 ,P点相对地的速度多大?切切切OPaa由 .无相对滑动时, vP地 =0， aP地 0， vPO大小等于 vO地 =v，有滑动时？切切vv而 aP对 O= ,方向向上; aO对地 = ,方向向下.r2Rr2所以 P点的速度度 aP对地 =aP对 O-aO对地 = ,方向向上.)(v(2)接触点 P运动的线速度 v= ,接触点的加速度 . r 22)(rRvaP21. 如图所示，利用定滑轮绳索拉物体，已知拉
27、绳索的速率 v恒定不变。求如图时刻：物体离定滑轮的水平距离为 s、物体离定滑轮的竖直距离为 h时物体的加速度。（答案： ）23vsa解:设物体的速度为 v，绳与水平夹角为 。则 ，物体的速度 v=v/cos,shstan,co2此时刻物体可看成相对绕滑轮（圆心）半径为 、速度 v切 =vtan的转动，2hsR物体的加速度沿水平方向。因圆心作匀速运动，物体对地的加速度等于物体对圆心作圆周运动的加速度，物体的加速度可分解成垂直绳子 at切向加速度和沿绳子 an法向加速度，其合加速1010度的方向水平。法向加速度： ，22tanshvRan切所以物体的加速度： 。232costcovhn注意：若拉绳
28、子的加速为 a,则物体的加速度多大？物体沿绳子方向相对地的加速度 a地 =a+ an ，所以物体的加速度： 。shsn322cos切a合 不是 a和 a的合成，为什么？（ a不影响 an，但要影响 at,a合 的方向仍水平方向）。 2.刚体的转动、瞬时轴(1)刚体上各点相对某一点的角速度都相等。(2)瞬时轴是指某时刻的速度为零，确定方法：任意两点的速度方向垂直的直线的交点，它与某点的距离 R=v/（3）瞬时轴的速度为零，加速度不为零。如图所示,小球在地上无滑动的滚动,求 A、 B、 C 的速度大小加速度的大小？用速度的合成（或用 A 点为瞬时轴）求解： VA=0;vB= ;vC=2v。2O 点
29、作匀速运动，对地的加速度等于对 O 点的加速度，都为 （或用 ）RaA2切切a22. 一辆汽车沿水平公路以速度 v无滑动地运动,如果车轮的半径为 R,求从车轮边缘抛出的水滴上升的最大高度（离地）。（答案：当 , ;当 ， ym=2R）Rgv2Rgym2v2解:设水滴抛出时速度方向与水平面成 角，根据速度的合成（或瞬时轴），水滴的速度 v=2Rcos=2vcos其高度： 22cos)sinco2(gvy= =)1(112Rgv Rgv2coscs2当cos2 = 时， .2vRgvym2因cos2 1，所以当 ，即 时， R2Rv2gvym2当 ，即 时， ym=2R（是 的最小值）. Rgv2gv2 Rvg23.曲线运动的曲离半径: na如当圆柱体在水平地面上滚动时:B 点运动的曲离半径 ，R2因 vB= , ,所以曲离半径2vanRavnB223. 求抛物线 曲率半径与 x关系。（答案： ）2xy ax)41(2/3解：因平抛运动的轨迹为抛物线，如图3所示。设平抛运动的初
