1、初中二次函数计算题专项训练及答案姓名：_班级：_考号：_1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其中 A点的坐标为(3,4)，B 点在轴 上.（1）求 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合），过 P 作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 ，点 P 的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求
2、出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（1，0），以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P 与 轴的正半轴交于点 C。（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线对应的函数表达式。（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数表达式。（3）试说明直线 MC 与P 的位置关系，并证明你的结论。3、已知；函数 是关于的二次函数，求： (1)满足条件 m 的值。(2)m 为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时 为何值时 y 随 的增大而增大?(3)m 为何值时，抛物线有最大值?最大值
3、是多少?这时 为何值时，y 随 的增大而减小4、如图所示，在梯形 ABCD 中，已知 AB CD， AD DB， AD=DC=CB， AB=4以 AB 所在直线为 轴，过 D 且垂直于 AB的直线为 轴建立平面直角坐标系（1）求 DAB 的度数及 A、 D、 C 三点的坐标；（2）求过 A、 D、 C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，那么使 PDB 为等腰三角形的点 P 有几个?（不必求点 P 的坐标，只需说明理由）5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = + + 经过 A（0，4）、 B（ ，0）、 C（ ，0）三点，且 - =5 （1）求 、
4、的值；（2）在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 6、已知：如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与直线 相交于点 ，点 ，直线与 轴交于点 （1）写出直线 的解析式（2）求 的面积（3）若点 在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度从 向 运动（不与 重合），同时，点 在射线上以每秒 2 个单位长度的速度从 向 运动设运动时间为 秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时， 的面积最
5、大，最大面积是多少？7、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中 （m）是球的飞行高度， （m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式8、已知二次函数 中，函数 与自变量 的部分对应值如下表： （1）求该二次函数的关系式；（2）当 为何值时， 有最小值，最小值是多少？（3）若 ， 两点都在该函数的图象上，试比较 与 的大小9、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场
6、以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式。（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。10、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，点 A、 B、 C、 D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为(0，-3)， AB 为半圆的直径，半圆圆心 M的坐标为(1,0)，半圆半径为 2(
7、1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点 C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D 的“蛋圆”切线的解析式11、如图，二次函数 y ax2 bx c(a0)与坐标轴交于点 A、B、C 且 OA1，OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 M、N 在 y ax2 bx c 的图像上(点 N 在点 M 的右边)，且 MN x 轴，求以 MN 为直径且与 x 轴相切的圆的半径12、如图，在平面直角坐标系中，圆 M 经过原点 O，且与 轴、 轴分别相交于两点（1）求出直线 AB
8、的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点 M，顶点 C 在M 上，开口向下，且经过点 B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交 轴于 D、E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由13、如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 （1）求抛物线的解析式及其顶点 的坐标；（2）设直线 交 轴于点 在线段 的垂直平分线上是否存在点 ，使得点 到直线 的距离等于点到原点 的距离？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 总
9、有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？14、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO （1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的
10、长度（4）如图，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积.15、已知，在 RtOAB 中，OAB90，BOA30，AB2。若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一象限内。将 RtOAB 沿 OB 折叠后，点 A 落在第一象限内的点 C 处。（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线 （ 0）经过 C、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与 OB 交于点 D，点 P 为线段 DB 上一点，过 P 作 轴的平行
11、线，交抛物线于点 M。问：是否存在这样的点 P，使得四边形 CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线 （ 0）的顶点坐标为 ，对称轴公式为16、已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、 OC 的长（ OBOC）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2。（1）求 A、 B、 C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、 BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重
12、合），过点 E 作 EF AC 交 BC 于点 F，连接CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时 BCE 的形状；若不存在，请说明理由。17、已知抛物线 y=ax +bx+c 与 y 轴交于 A(0,3)，与 x 轴分别交于 B(1,0)、C(5, 0)两点 (1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发先到达 x 轴上的某点(设为点 E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点 F
13、)，最后运动到点 A，求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长18、已知点 A（ a， ）、 B（2 a， y ）、 C（3 a， y ）都在抛物线 上.（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）当 a=1 时，求 ABC 的面积；（3）是否存在含有 、 y 、 y ，且与 a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.19、某宾馆有客房 间，当每间客房的定价为每天 元时，客房会全部住满当每间客房每天的定价每涨 元时，就会有 间客房空闲如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出 元的各种费用(1)请写出该宾馆每天的利润 （元）与每
14、间客房涨价 （元）之间的函数关系式；(2)设某天的利润为 元， 元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？(3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？20、如下图，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线 与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2。（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；参考答案一、计算题1、解：(1) 点 A(3,4)在直线 y=x+m 上，
15、 4=3+m. m=1. 设所求二次函数的关系式为 y=a(x-1)2. 点 A(3,4)在二次函数 y=a(x-1)2的图象上， 4=a(3-1) 2, a=1. 所求二次函数的关系式为 y=(x-1)2. 即 y=x2-2x+1. (2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE . PE=h=y P-yE =(x+1)-(x2-2x+1) =-x2+3x. 即 h=-x2+3x (0x3). (3) 存在. 解法 1：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC. 点 D 在直线 y=x+1 上, 点 D 的坐标为(1,2), -x 2+3x=2 .即 x2-3x+2=0
16、. 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 解法 2：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 BPCE. 设直线 CE 的函数关系式为 y=x+b. 直线 CE 经过点 C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直线 CE 的函数关系式为 y=x-1 . 得 x2-3x+2=0. 解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形.2、解：（1）连结 PC，A（4，0），B（1，0）， AB=5P 是 AB 的中点，且是圆 P 的圆心P=PA=
17、 ，OP=C（0，2）设经过 A、B，C 三点的抛物线为 ，抛物线为即 （2）将 配方，得顶点 M（ ， ）设直线 MC 为 ，则有，解得：直线 MC 为 （3）直线 MC 与圆 P 相切。证明：设 MC 与 轴相交于点 N，在 中，令 ，得 ， PCN=90 MC 与圆 P 相切 3、解：(1)由已知得：解得：(2)当 m=2 时，抛物线有最低点，最低点的坐标为(0,0)当 时，y 随 的增大而增大。(3)当 m= 3 时，抛物线有最大值，最大值为 0，当 时，y 随 的增大而减小。4、解：（1） DC AB， AD=DC=CB， CDB= CBD= DBA， DAB= CBA， DAB=2
18、 DBA， DAB+ DBA=90 ， DAB=60 ， DBA=30 ， AB=4， DC=AD=2， Rt AOD， OA=1， OD= ， A（-1，0）， D（0， ）， C（2， ） 4 分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点 A（1，0）， B（3，0），故可设所求为 = （ +1）（ -3） 将点 D（0， ）的坐标代入上式得， = 所求抛物线的解析式为 = 其对称轴 L 为直线 =1（3） PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：因直线 L 与 DB 不平行， DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点 P1， P1D=P1B， P1DB 为等腰三角形； 因为
19、以 D 为圆心， DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2、 P3， DB=DP2， DB=DP3， P2DB， P3DB 为等腰三角形；与同理， L 上也有两个点 P4、 P5，使得 BD=BP4， BD=BP5 由于以上各点互不重合，所以在直线 L 上，使 PDB 为等腰三角形的点 P 有 5 个5、解：（1）解法一：抛物线 = + + 经过点 A（0，4）， =4 又由题意可知， 、 是方程 + + =0 的两个根， + = ， = =6由已知得（ - ） =25又（ - ） =（ + ） 4= 24 24=25 解得 = 当 = 时，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，不合题意，舍去 = 解法二： 、 是方程 + +c=0 的两个根，即方程 2 3 +12=0 的两个根 = ， = =5，解得 =（以下与解法一相同） （2）四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上，
