1、第 1 页图 1九年级数学下册知识点归纳第一章 直角三角形边的关系一锐角三角函数1.正切:定义:在 RtABC 中,锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作 tanA,即 ;的 邻 边的 对 边AtantanA 是一个完整的符号,它表示A 的正切,记号里习惯省去角的符号“”;tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A 的对边与邻边的比;tanA 不表示“tan”乘以“A”;初中阶段,我们只学习直角三角形中,A 是锐角的正切;tanA 的值越大, 梯子越陡, A 越大; A 越大, 梯子越陡,tanA 的值越大。2.正弦:定义:在 RtABC 中,锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的
2、正弦,记作 sinA,即;斜 边的 对 边Asin3.余弦:定义:在 RtABC 中,锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作 cosA,即;斜 边的 邻 边cos锐角 A的正弦、余弦和正切都是A 的三角函数当锐角 A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二特殊角的三角函数值三三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在 090间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小
3、)而减小(或增大)。(2)0sin1,0cos1。4.坡度:如图 2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母 i表示,即 Alhitan5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图 3,OA、OB、OC的方位角分别为 45、135、225。6.方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角,叫做方向角。如图30 45 60 sin 2123cos 31tan 1 3 图 2hi=h:ll ABC第 2 页图 3 图 44,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是;北偏东 30,南偏东 45(东南方向)、南偏西为 60,北偏西
4、60。7.同角的三角函数间的关系:互余关系 sinA=cos(90A)、 cosA=sin(90A)平方关系: 商数关系:8.解直角三角形:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(须知一条边) 。9.直角三角形变焦关系:在ABC 中,C 为直角,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,则有(1)三边之间的关系:a 2+b2=c2;(2)两锐角的关系:AB=90;(3)边与角之间的关系: ;cot,tan,cos,sin aAbAbBBb(4)面积公式: (hc为 C边上的高); h21S(5)直角
5、三角形的内切圆半径 bar(6)直角三角形的外接圆半径 cR10.三角函数的应用 11.利用三角函数测高 第 3 页第二章 二次函数1.概念:一般地,若两个变量 x,y 之间对应关系可以表示成 ( 、b、c 是常数,xay2a0)的形式,则称 y是 x的二次函数。自变量 x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系a式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围。2. 图像性质:(1)二次函数 yax 2的图象:是一条顶点在原点且关于 y轴对称的抛物线。 是二次)0(2axy函数 的特例,此时常数 b=c=0.cbxa(2)抛物线的描述:开口方向、对称性、y
6、 随 x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与 x轴的交点。函数的取值范围是全体实数;抛物线的顶点在(0,0),对称轴是 y轴(或称直线 x0)。当 a0 时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当 a0 时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。函数的增减性:A、当 a0 时 .,;增 大 而 增 大随时 增 大 而 减 小随时 xyB、当 a0 时 .,;增 大 而 减 小随时 增 大 而 增 大随时当a越大,抛物线开口越小;当a越小,抛物线的开口越大。最大值或最小值:当 a0,且 x0 时函数有最小值,最小值是 0;当 a0,且 x0 时函数有最大值,最大值是 0。(3)二次函数
7、的图象:是一条顶点在 y轴上且与 y轴对称的抛物线,二次函数cy2的图象中,a 的符号决定抛物线的开口方向,|a| 决定抛物线的开口程度大小,c 决定cxy2抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。(4)二次函数 的图象:是以直线 为对称轴,顶点坐标为( ,cbxy2 abx2ab2)的抛物线 。(开口方向和大小由 a来决定)abc2|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴 y轴,y 随 x增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴 y轴,y 随 x增长(或下降)速度越慢。(5)二次函数 的图象与 yax 2的图象的关系:cbxay2的图象可以由 yax 2
8、的图象平移得到:(利用顶点坐标) cxy2第 4 页(6)二次函数 的图象:是以直线 x=h为对称轴,顶点坐标为(h,k)的抛物线。khxay2)((开口方向和大小由 a来决定)(7)二次函数 的性质:cb2二次函数 配方成 则抛物线的xyabcxay4)2(2对称轴:x= a2顶点坐标:( , )bc42增减性:若 a0,当 x 时,y 随 x的增大而增大。ab2若 a 时,y 随 x的增大而减小。a2最值:若 a0,则当 x= 时, ;若 a0 抛物线与 x轴有 2个交点;acb4=0 抛物线与 x轴有 1个交点;2抛物线与 x轴有 0个交点(无交点);c(3)当 0时, 设抛物线与 x轴
9、的两个交点为 A、 B, 则这两个点之间的距离:ab42第 5 页化简后即为: 这就是抛物线与 x轴的两交点之间的距离公式。)04(|22acbAB第三章 圆1.圆的定义:描述性定义:在一个平面内,线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周,另一个端点 A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点 O叫做圆心;线段 OA叫做半径;以点 O为圆心的圆,记作O,读作“圆 O”集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解:圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点
10、),二是半径(即定长)。2.点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,则点在圆上 d=r;点在圆内 d dr.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。3. 圆的对称性: (1) 与圆相关的概念:弦和直径: 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径:经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示,以CD为端点的弧记为“ ”,读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧。劣弧:小于半圆的弧
11、叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.(2)圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的
12、其余各组量都分别相等.4.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:平分一般弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备: 圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。第 6 页上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。5.圆周角和圆心角的关系:(1)圆周角::顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。推论 2:直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径;(
13、3)圆内接四边形:若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补; 6 确定圆的条件:(1)理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.(2)经过三点作圆要分两种情况:经过同一直线上的三点不能作圆.经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. (尺规作图)7.三角形的外接圆、三角形的外心。(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.(2)三角形的
14、外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.8.直线与圆的位置关系(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.(4)直线与圆的位置关系的数量特征:设O 的半径为 r,圆心 O到直线的距离为 d;d 直线 L和O 相交.d=r 直线 L和O 相切.dr 直线 L和O 相离.(5)切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定
15、理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.(6)三角形的内切圆、内心.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)9切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式.10.圆内接正多边形(1)定义:顶点都在同一圆
16、上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.第 7 页(2)中心角、边心距:中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角,边心距是正多边形的边到圆心的距离.11.弧长及扇形的面积(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数 )180Rl(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.(3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3602S扇 形扇形的面积 S 扇形 =LR212.与圆有关的辅助线(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.(圆心向弦作垂线)(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.(直径添线成直角)(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.(切点圆心要相连)