1、1圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程 22()()xaybr这个方程叫做圆的标准方程。 新 疆学 案王 新 敞说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时 0ab，则圆的方程就是 22xyr。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 ,三个量确定了且 r0，圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 新 疆学 案王 新 敞确定 ,abr，可以根据条件，利用待定系数法来解决。（二）圆的一般方程将圆的标准方程 22)()(byax,展开可
2、得 0222 rbayxyx 。可见，任何一个圆的方程都可以写成 : 0DxEF问题：形如 2y的方程的曲线是不是圆？将方程 0Ex左边配方得：224()EDFx（1）当 FD420 时，方程（1）与标准方程比较，方程 0Eyxy表示以 (,)2DE为圆心，以 为半径的圆。 ,（3）当 FE420 时，方程 02FEyDxy没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当 2D0 时，方程 2 称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1） x和 2y的系数相同，不等于零；（2）没有 xy 这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离- 求距离； (2)相
3、切-求切线； （3）相交- 求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当 dr 时，直线与圆相离；当 dr 时，直线与圆相切;当 d0 时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系变式 1：求过两点 、 且被直线 0平分的圆的标准方程.2变式 2：求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆上所有的点均关于直线 0y对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标
4、准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 0y上，故 b 圆的方程为 22)(ryax又 该圆过 4,1A、 ,3B两点 224)3(16ra解之得： 1a， 02r所以所求圆的方程为 0)(2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 )4,1(A、 ),3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为 1324ABk，故l的斜率为 1，又 的中点为
5、 2，故 AB的垂直平分线 l的方程为： 23xy即 0y又知圆心在直线 0y上，故圆心坐标为 )0,1(半径 4)1(r故所求圆的方程为 )1(2x又点 42P到圆心 0,C的距离为rPCd54)2(2点 在圆外例 2：求过三点 O（0，0） ， M（1，1） ，N （4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解：设圆的方程为：x 2 y2 Dx Ey F 0，将三个点的坐标代入方程024FED F 0， D 8， E 6 圆方程为：x 2 y2 8x 6y 0配方：（ x 4 ） 2 （ y 3 ） 2 25 圆心：（ 4， 3 ） ， 半径 r 5例 3 求经过点 )5,(A，且与直
6、线 x和 0yx都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线 02yx与 yx相切，圆心 C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 和 0的距离相等 52yx两直线交角的平分线方程是03yx或 yx又圆过点 )5,(A，圆心 只能在直线 03上设圆心 ),(tC 到直线 02yx的距离等于 AC， 22)5(5tt化简整理得 562t解得： 1t或 5圆心是 )3,1(，半径为 或圆心是 )1,(，半径为 53所求圆的方程为 5)3()1(22yx或 125)()(2yx
7、说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 4 已知圆 42yxO： ，求过点 42，P与圆 O相切的切线解：点 ，P不在圆 上，切线 T的直线方程可设为 42xky根据 rd 21k.解得 43k，所以 xy，即 013y因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 2x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）
8、还可以运用20ryx，求出切点坐标 0x、 y的值来解决，此时没有漏解例 5 两圆 111 FEDxC： 与 222FyExDyxC： 相交于 A、 B两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程分析：首先求 、 两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆 1、 2的任一交点坐标为 ),(0yx，则有：01020FyExDyx 020202 FyExDyx 得： )()( 21221 A、 B的坐标满足方程 )(211FyEx方程 0)()( 2221FyExD是过 A、 B两点的直线方程又过 A、 B两点的直线是唯一
9、的两圆 C、 的公共弦 AB所在直线的方程为 0)()( 212121 FyExD说明：上述解法中，巧妙地避开了求 、 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 6、求过点 ，且与圆 相切的直线 的方程(3,1)M2(1)4xyl解：设切线方程为 ，即 ，圆心 到切线 的距离等于半径 ，3yk310k(1,)l2 ，解得 ， 切线方程为 ，即 ，2|k 34x4130y当过点 的直线的斜率不存在时，
10、其方程为 ，圆心 到此直线的距离等于半径 ，故直线 也适合x(,) 3x题意。 所以，所求的直线 的方程是 或 l3410y类型三：弦长、弧问题4例 7、求直线 被圆 截得的弦 的长.063:yxl 042:2yxCAB例 8、直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 032yx42yx解：依题意得，弦心距 ，故弦长 ，从而OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的d22drAB圆心角为 .3AOB例 9、求两圆 和 的公共弦长022yx52yx类型四：直线与圆的位置关系例 10、已知直线 和圆 ，判断此直线与已知圆的位置关系.032yx42yx例 11、若直线 与曲线 有且只有一个公共点，求实数 的
11、取值范围.mxy24xym解： 曲线 表示半圆 ，利用数形结合法，可得实数 的取值范围是24)0(2y或 .2例 12、圆 9)3()(22yx上到直线 143yx的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线 l、 2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆 )()(22yx的圆心为 ),(1O，半径 3r设圆心 1O到直线0143y的距离为 d，则 2432如图，在圆心 1同侧，与直线 x平行且距离为 1 的直线 1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又 123dr与直线 0yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直
12、线 14，且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为5043myx，则 1432d， 5m，即 6，或 1m，也即61l：，或 06yxl： 设圆 9)()3(22yxO： 的圆心到直线 1l、 2的距离为 1d、 2，则 3421d， 43622d 1l与 相切，与圆 1有一个公共点； l与圆 1O相交，与圆 1有两个公共点即符合题意的点共 3 个类型五：圆与圆的位置关系例 13、判断圆 与圆 的位置关系，026:21 yxC 042:22 yxC例 14：圆 和圆 的公切线共有 条。022xy042y解： 圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，1)(x),1(O1r4)2(2
13、yx)2,0(O2r . ，两圆相交.共有 2 条公切线。,3,52121rrO222类型六：圆中的最值问题例 15：圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 0142yx 014yx解： 圆 的圆心为（2，2） ，半径 ，圆心到直线的距离 ，8)()(2x 23r rd2510直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 .62)()(rd例 16 (1)已知圆 1)4()3(221yxO： ， ),(yxP为圆 O上的动点，求 yx的最大、最小值(2)已知圆 2： ， ,为圆上任一点求 12x的最大、最小值，求 的最大、最小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可
14、考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)圆上点到原点距离的最大值 1d等于圆心到原点的距离 1d加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离 1减去半径 1所以 6432 4322所以 36max mind6(2)设 kxy12，则 02kyx由于 ),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值由 2kd，得 43所以 12x的最大值为 43，最小值为 43令 tyx，同理两条切线在 轴上的截距分别是最大、最小值由 152md，得 52所以 yx2的最大值为 52，最小值为 52例 17：已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小值是 .)0,(A),(BP4)()3(x 2PBA解：设 ，则 .设圆心为 ，则yxP 8)(22222 Oyxy )4,3(C， 的最小值为 .35minrOCA68
