1、1第 30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题一、（15分）一半径为 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水R平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为 ( ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率 . 重力0v加速度大小为 . g二、（20 分） 一长为 2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为 m 的小物块 D 和一质量为 （ 为常数）的小物块 B，杆可绕通过小物块 B 所在端的竖直固定转轴m无摩擦地转动. 一质量为 m 的小环 C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环 C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为 l，劲度系
2、数为 k，两端分别与小环 C 和物块 B 相连. 一质量为 m的小滑块 A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块 D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短 . 碰撞 时滑块 C 恰好静止在距轴为 （ ）处. rl1. 若碰前滑块 A 的速度为 ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；0v2. 若碰后物块 D、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块 A 的速度 应满足的条件. 0v0v2三、（25 分）一质量为 、长为 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴 在竖直平面内自由mL O转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，1. 令 表示细杆质量线密度 . 当杆以角速度 绕过其一端的光滑水平轴 在竖直平面内转动L
3、时，其转动动能可表示为kEL式中， 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相k等时才相等. 由此求出 、 和 的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数 的值. k3. 试求当杆摆至与水平方向成 角时在杆上距 点为 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加Or速度大小为 . g提示：如果 是 的函数，而 是 的函数，则 对 的导数为)(tX)(tXYt)(tXYddtt例如，函数 对自变量 的导数为cos()ttcos()csddtt四、（20 分）图中所示的静电
4、机由一个半径为 、与环境绝缘的开口（朝R上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器 G 组成. 质量为 、带电量为m的球形液滴从 G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在 G 和容器口之间总q是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为 . 设液滴很小，h容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响 .重力加速度大小为 . 若容器初始电势为g零，求容器可达到的最高电势 . maxV3五、（25 分）平行板电容器两极板分别位于 的平面2dz内，电容器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为 ，方向沿 轴负方向，如图所示.
5、Bx1. 在电容器参考系 中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的S恒定速度 （这里 表示为沿x、y、z轴正方向的(0,)v(0,)v速度分量分别为0、 、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系 中，可能既有电场 又有磁场 . 试在非相对论情形下，从伽利略速度S (,)xyzE(,)xyzB变换，求出在参考系 中电场 和磁场 的表达式. 已知电荷量和作用在物体上Sz z的合力在伽利略变换下不变. 2. 现在让介电常数为 的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为，方向沿 轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系） 中，由于液vy S体处在第1问所述的电场
6、 中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化(,)xyzE效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是 ，而是(,)xyzE，这里 是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系 中电场不再为零. 试求电容0(,)xyzE0 S器参考系 中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用 、 、 、 或（和）S 0vB表出. ）d4六、（15 分）温度开关用厚度均为 的钢片和青铜片作感温0.2 m元件；在温度为 时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长20C的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为 /度和51.0/度. 当温度升高到 时，双金属片将自
7、动弯成圆弧形，52011如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径 . (忽略加热时金属片厚度的变化. ) 七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为 ，高为 . 今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系h如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a) 中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行. 劈尖介质的折射率n随 而变化， ，其中常数x()1nxb. 一束波长为 的单色平行光沿 轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸0bx透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与 方向平行、沿 方向排列的透光狭缝，如图(b) 所示. zy入射光的波面（即与平行入
8、射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与 轴垂直，透镜主光轴x为 轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹. 已知第一条狭缝位于x处；物和像之间各光线的光程相等. y01. 求其余各狭缝的 坐标；y2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求. 图(a) 图(b)hxyzOhxyO5八、（20分） 光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射. 当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射. 已知电子静止质量为 ，真空中的光速为 . 若能量为 的电子与能量为 的em c eEE光子相
9、向对碰，1. 求散射后光子的能量； 2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为 ，电子能量为 ，求散射后光子的能量. 已知2.0 eV 1.0109 eV. 计算中有必要时可利用近似：如果 ，有 . me0.5106 eV/c2 x 1x12x6第 30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题答案1 参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度 分解成纬线切向 (水平方向)分量 及经线vv切向分量 . 设滑块质量为 ，在某中间状态时，滑块位于半球面内vm侧 处， 和球心 的连线与水平方向的夹角为 . 由机械能守恒得PO(1)222
10、011singRmvv这里已取球心 处为重力势能零点 . 以过 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为O零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故. (2)0cosv由 (1) 式，最大速率应与 的最大值相对应. (3)maxax()而由 (2) 式， 不可能达到 . 由(1)和(2)式， 的最大值应与 相对应，即2 0v. (4)ax()0v(4)式也可用下述方法得到：由 (1)、(2) 式得. 220sint0gRv若 ，由上式得sin0. 220icos实际上， 也满足上式。由上式可知si=. max220incsgRv由(3)式有.
11、 (4)2 2maxmax0max()sint 将 代入式(1)，并与式(2)联立，得max()0v. (5)2 20axaxaxsinsi1sigRv以 为未知量，方程(5)的一个根是 ，即 ，这表示初态，其速率为最小值，不axsinsin00是所求的解. 于是 . 约去 ，方程(5)变为maxsinmax. (6)220maxsisiggRvOP7其解为. (7)220max40sin1614gRvv注意到本题中 ， 方程(6)的另一解不合题意，舍去. 将(7)式代入(1) 式得，当 时，sin0 max, (8)2242016gv考虑到(4)式有. (9)2242max0Rv评分标准：本
12、题 15 分. (1)式 3 分， (2) 式 3 分，(3) 式 1 分，(4) 式 3 分， (5) 式 1 分，(6) 式 1 分，(7) 式 1 分， (9) 式 2 分. 2 参考解答：1. 由于碰撞时间 很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束 . 设碰后 A、C 、D 的速度分别为 、 、t AvC，显然有Dv. (1) DC2lrv以 A、B、C 、 D 为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒. (2)DCA022mlrlmlvv由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必
13、考虑弹性势能的变化. 故t. (3)2222DCA011vv由 (1)、(2)、(3) 式解得(4)22000248,88CDAlrlrrlv v代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点. (3)0DAv同样可解出(4). 设碰撞过程中 D 对 A 的作用力为 ，对 A 用动量定理有1F8, (5)21A0048lrFtmmvv方向与 方向相反. 于是，A 对 D 的作用力为 的冲量为0v 1(6)2048lrtv方向与 方向相同. 0v以 B、C、D 为系统，设其质心离转轴的距离为 ，则x. (7)2()mrlr质心在碰后瞬间的速度为. (8)C024()8lrxrvv轴与杆的作用时间也为 ，设
14、轴对杆的作用力为 ，由质心运动定理有tF. (9)21 024()8lrFtmvv由此得. (10)202()rlt方向与 方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为0v, (11)202()8rlFtmv方向与 方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程0v中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理. 21CDFtmv也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. 2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下
15、才成立的 . 如果弹簧的弹力恰好提供滑块 C 以速度 绕过 B 的轴做匀速圆周运动的向心力，即0248Clrv(12)222C016(8)lrkmrvv则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12) 式得碰前滑块 A 的速度 应满足的条0v件9(13)20(8)4krlmv可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块 A 的速度大小 应满足(13) 式. 0v评分标准：本题 20 分. 第 1 问 16 分，(1)式 1 分， (2) 式 2 分，(3) 式 2 分，(4) 式 2 分， (5) 式 2 分，(6) 式 1 分，(7) 式 1分，(8) 式 1 分，
16、(9) 式 2 分，(10) 式 1 分，(11) 式 1 分；第 2 问 4 分，(12) 式 2 分，(13) 式 2 分. 3 参考解答：1. 当杆以角速度 绕过其一端的光滑水平轴 在竖直平面内转动时，其动能是独立变量 、 和O的函数，按题意 可表示为L(1)kEL式中， 为待定常数（单位为 1）. 令长度、质量和时间的单位分别为 、 和 （它们可视k LMT为相互独立的基本单位），则 、 、 和 的单位分别为k(2)12,kMLTE在一般情形下，若 表示物理量 的单位，则物理量 可写为qqq(3)()式中， 表示物理量 在取单位 时的数值. 这样，(1) 式可写为()(4)()()()
17、kEL在由(2)表示的同一单位制下，上式即(5) ()()k(6)L将 (2)中第四 式代入 (6) 式得(7)2MTT(2)式并未规定基本单位 、 和 的绝对大小，因而 (7)式对于任意大小的 、 和 均L LMT成立，于是(8)1,2,3所以(9)23kEL102. 由题意，杆的动能为(10),c,rkkE其中，(11)22,cc1()k Lmv注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为 的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能 为,rkE(12)32,r2(,)kkLk将(9)、 (11)、 (12) 式代入(10)式得(13)2323 21LkLk由此解得(14)16k于是. (15)Ek162L33. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒(16)sin2kmg由(15)、(16)式得. (17)3gsinL以在杆上距 点为 处的横截面外侧长为 的那一段为研究对象，该段质量为 ，OrrLr其质心速度为. (18)2cLrrv设另一段对该段的切向力为 (以 增大的方向为正方向)， 法向( 即与截面相垂直的方向)力为T(以指向 点方向为正向)，由质心运动定理得NO(19)costLrgLra(20)innN式中， 为质心的切向加速度的大小ta
