1、高中数学试卷第 1页，共 15页一、选择题(本大题共 12小题，共 60.0分)1.已知 z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是（ ）A.（-3，1） B.（-1，3） C.（1，+） D.（-，-3）2.已知集合 A=1，2，3，B=x|（x+1） （x-2）0，xZ，则 AB=（ ）A.1 B.1，2C.0，1，2，3 D.-1，0，1，2，33.已知向量 =（1，m） ， =（3，-2） ，且（ + ） ，则 m=（ ）A.-8 B.-6 C.6 D.84.圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1，则 a=
2、（ ）A.- B.- C. D.25.如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） A.24 B.18 C.12 D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A.20 B.24 C.28 D.327.若将函数 y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）A.x= - （kZ） B.x= + （kZ） C.x= - （ kZ） D.x= + （kZ）高中数学试卷第 2页，共 15页8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该
3、算法的程序框图执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a为 2，2，5，则输出的 s=（ ）A.7 B.12 C.17 D.349.若 cos（ - ）= ，则 sin2=（ ）A. B. C.- D.-10.从区间0，1随机抽取 2n个数 x1，x 2，x n，y 1，y 2，y n构成 n个数对（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）（x n，y n） ，其中两数的平方和小于 1的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）A. B. C. D.11.已知 F1，F 2是双曲线 E： - =1的左、右焦点，点 M在 E上，MF 1与x轴垂直，sinMF
4、2F1= ，则 E的离心率为（ ）A. B. C. D.212.已知函数 f（x） （xR）满足 f（-x）=2-f（x） ，若函数 y= 与 y=f（x）图象的交点为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x m，y m） ，则 （x i+yi）=（ ）A.0 B.m C.2m D.4m二、填空题(本大题共 4小题，共 20.0分)13.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA= ，cosC= ，a=1，则 b= _ 14.， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么 如果 m，n，那么 mn 如果 ，m，那么 m 如果
5、mn，那么 m与 所成的角和 n与 所成的角相等 其中正确的命题是 _ （填序号）15.有三张卡片，分别写有 1和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 _ 16.若直线 y=kx+b是曲线 y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln（x+1）的切线，则 b= _ 高中数学试卷第 3页，共 15页三、解答题(本大题共 8小题，共 94.0分)17.Sn为等差数列a n的前 n项和，且 a1=1，S 7=
6、28，记 bn=lgan，其中x表示不超过 x的最大整数，如0.9=0，lg99=1 （）求 b1，b 11，b 101； （）求数列b n的前 1000项和18.某保险的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （）若一续保人本年
7、度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； （）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值19.如图，菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF= ，EF 交于 BD于点 M，将DEF 沿 EF折到DEF 的位置，OD= （）证明：DH平面 ABCD； （）求二面角 B-DA-C 的正弦值高中数学试卷第 4页，共 15页20.已知椭圆 E： + =1的焦点在 x轴上，A 是 E的左顶点，斜率为 k（k0）的直线交 E于A，M 两点，点 N在 E上，MANA （）当 t=4，|AM|=|AN|时，求AMN 的面
8、积； （）当 2|AM|=|AN|时，求 k的取值范围21.（）讨论函数 f（x）= ex的单调性，并证明当 x0 时， （x-2）e x+x+20； （）证明：当 a0，1）时，函数 g（x）= （x0）有最小值设 g（x）的最小值为 h（a） ，求函数 h（a）的值域22.如图，在正方形 ABCD中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合） ，且DE=DG，过 D点作 DFCE，垂足为 F （）证明：B，C，G，F 四点共圆； （）若 AB=1，E 为 DA的中点，求四边形 BCGF的面积23.在直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为（x+6） 2+y2=25 （）以坐标原点为极点，
9、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程； （）直线 l的参数方程是 （t 为参数） ，l 与 C交与 A，B 两点，|AB|= ，求 l的斜率高中数学试卷第 5页，共 15页24.已知函数 f（x）=|x- |+|x+ |，M 为不等式 f（x）2 的解集 （）求 M； （）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab|2016年全国统一高考数学试卷（新课标） （理科）答案和解析【答案】1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B 13.14.15.1和 316.1-ln217.解：（）S n为等差数列a n的前 n项和，且 a
10、1=1，S 7=28，7a 4=28 可得 a4=4，则公差 d=1 an=n， bn=lgn，则 b1=lg1=0， b11=lg11=1， b101=lg101=2 （）由（）可知：b 1=b2=b3=b9=0，b 10=b11=b12=b99=1 b100=b101=b102=b103=b999=2，b 10，00 =3 数列b n的前 1000项和为：90+901+9002+3=189318.解：（）某保险的基本保费为 a（单位：元） ， 上年度出险次数大于等于 2时，续保人本年度的保费高于基本保费， 由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得： 一续保人本年度的保费高于基本保费
11、的概率： p1=1-0.30-0.15=0.55 （）设事件 A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，事件 B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”， 由题意 P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15， 由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费， 则其保费比基本保费高出 60%的概率： p2=P（B|A）= = = （）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为： =1.23， 续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.2319.（）证明：ABCD 是菱形， AD=DC，又 AE=CF= ， 高中数学试卷第 6页，共 15页 ，则 EFAC，
12、又由 ABCD是菱形，得 ACBD，则 EFBD， EFDH，则 EFDH， AC=6， AO=3， 又 AB=5，AOOB， OB=4， OH= ，则 DH=DH=3， |OD| 2=|OH|2+|DH| 2，则 DHOH， 又 OHEF=H， DH平面 ABCD； （）解：以 H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， AB=5，AC=6， B（5，0，0） ，C（1，3，0） ，D（0，0，3） ，A（1，-3，0） ， ， ， 设平面 ABD的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取 x=3，得 y=-4，z=5 同理可求得平面 ADC 的一个法向量 ， 设二面角二面角 B-DA-C 的平面角
13、为 ， 则|cos|= 二面角 B-DA-C 的正弦值为 sin= 20.解：（）t=4 时，椭圆 E的方程为 + =1，A（-2，0） ， 直线 AM的方程为 y=k（x+2） ，代入椭圆方程，整理可得（3+4k 2）x 2+16k2x+16k2-12=0， 解得 x=-2或 x=- ，则|AM|= |2- |= ， 由 ANAM，可得|AN|= = ， 由|AM|=|AN|，k0，可得 = ， 高中数学试卷第 7页，共 15页整理可得（k-1） （4k 2-k+4）=0，由 4k2-k+4=0无实根，可得 k=1， 即有AMN 的面积为 |AM|2= （ ） 2= ； （）直线 AM的方程
14、为 y=k（x+ ） ，代入椭圆方程， 可得（3+tk 2）x 2+2t k2x+t2k2-3t=0， 解得 x=- 或 x=- ， 即有|AM|= | - |= ， |AN| = ， 由 2|AM|=|AN|，可得 2 = ， 整理得 t= ， 由椭圆的焦点在 x轴上，则 t3，即有 3，即有 0， 可得 k2，即 k的取值范围是（ ，2） 21.解：（1）证明：f（x）= f（x）=e x（ ）= 当 x（-，-2）（-2，+）时，f（x）0 f（x）在（-，-2）和（-2，+）上单调递增 x0 时， f（0）=-1 即（x-2）e x+x+20 （2）g（x）= = a0，1 由（1）知
15、，当 x0 时，f（x）= 的值域为（-1，+） ，只有一解使得 ，t0，2 当 x（0，t）时，g（x）0，g（x）单调减； 当 x（t，+） ，g（x）0，g（x）单调增； h（a）= = = 记 k（t）= ，在 t（0，2时，k（t）= 0， 高中数学试卷第 8页，共 15页故 k（t）单调递增， 所以 h（a）=k（t）（ ， 22.（）证明：DFCE， RtDFCRtEDC， = ， DE=DG，CD=BC， = ， 又GDF=DEF=BCF， GDFBCF， CFB=DFG， GFB=GFC+CFB=GFC+DFG=DFC=90， GFB+GCB=180， B，C，G，F 四点共
16、圆 （）E 为 AD中点，AB=1，DG=CG=DE= ， 在 RtDFC 中，GF= CD=GC，连接 GB，RtBCGRtBFG， S 四边形 BCGF=2SBCG =2 1 = 23.解：（）圆 C的方程为（x+6） 2+y2=25， x 2+y2+12x+11=0， 2=x2+y2，x=cos，y=sin， C 的极坐标方程为 2+12cos+11=0 （）直线 l的参数方程是 （t 为参数） ， 直线 l的一般方程 y=tanx， l 与 C交与 A，B 两点，|AB|= ，圆 C的圆心 C（-6，0） ，半径 r=5， 圆心 C（-6，0）到直线距离 d= = ， 解得 tan2=
17、 ，tan= = l 的斜率 k= 24.解：（I）当 x 时，不等式 f（x）2 可化为： -x-x- 2， 解得：x-1， 高中数学试卷第 9页，共 15页-1x ， 当 x 时，不等式 f（x）2 可化为： -x+x+ =12， 此时不等式恒成立， x ， 当 x 时，不等式 f（x）2 可化为：- +x+x+ 2， 解得：x1， x1， 综上可得：M=（-1，1） ； 证明：（）当 a，bM 时， （a 2-1） （b 2-1）0， 即 a2b2+1a 2+b2， 即 a2b2+1+2aba 2+b2+2ab， 即（ab+1） 2（a+b） 2， 即|a+b|1+ab|【解析】1. 解
18、：z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限， 可得： ，解得-3m1 故选：A 利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可 本题考查复数的几何意义，考查计算能力 2. 解：集合 A=1，2，3， B=x|（x+1） （x-2）0，xZ=0，1， AB=0，1，2，3 故选：C 先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用 3. 解：向量 =（1，m） ， =（3，-2） ， + =（4，m-2） ， 又（ + ） ， 12-2（m-2）=0， 解得：m=8， 故选：D 求出向量 + 的坐标，
19、根据向量垂直的充要条件，构造关于 m的方程，解得答案 本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题 4. 解：圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4） ， 故圆心到直线 ax+y-1=0的距离 d= =1， 高中数学试卷第 10页，共 15页解得：a= ， 故选：A 求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案 本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档 5. 解：从 E到 F，每条东西向的街道被分成 2段，每条南北向的街道被分成 2段， 从 E到 F最短的走法，无论怎样走，一定包括 4段，其中 2段方向相同，另 2段方向相同， 每种最短走法
20、，即是从 4段中选出 2段走东向的，选出 2段走北向的，故共有 C42=6种走法 同理从 F到 G，最短的走法，有 C31=3种走法 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 63=18种走法 故选：B 从 E到 F最短的走法，无论怎样走，一定包括 4段，其中 2段方向相同，另 2段方向相同，每种最短走法，即是从 4段中选出 2段走东向的，选出 2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从 F到 G，最短的走法，有 C31=3种走法，利用乘法原理可得结论 本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题 6. 解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个
21、圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2 ， 在轴截面中圆锥的母线长是 =4， 圆锥的侧面积是 24=8， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4， 圆柱表现出来的表面积是 2 2+224=20 空间组合体的表面积是 28， 故选：C 空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面 本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端 7. 解：将函数 y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度，得到 y=2sin2（x+ ）=2sin（2x+ ） ，由 2x+ =k+ （kZ）得： x= + （kZ） ， 即平移后的图象的对称轴方程为 x= + （kZ） ， 故选：B 利用函数 y= Asin（ x + ） （ A0， 0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案 本题考查函数 yy= Asin（ x + ） （ A0， 0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题 8. 解：输入的 x=2，n=2， 当输入的 a为 2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
