1、文科数学试卷 第 1 页（共 10 页）2016 年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 24 题，共 150 分第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1 ） 已知集合 ， ，则3,21A92xBBA（A） （B） （C） （D）,0,2,103,21（2） 设复数 满足 ，则 zi3z（A） （B ） （C） （D）i2121i23i23（3 ） 函数 的部分图像如图所示，则)sn(xy（A） （B）62i )32sin(xy（C ） （D）)sin(xy )i(（4 ） 体积
2、为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为8（A） （B ） （C） （D）123284（5 ） 设 为抛物线 ： 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，则FCxy42)0(kxyPxFk（A） （B） （C） （D）21232（6 ） 圆 的圆心到直线 的距离为 ，则038yx 1ya1a（A） （B ） （C） （D）343（7 ） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20（B）24 （C ）28 4 4423yx 3- 6O-22文科数学试卷 第 2 页（共 10 页）（D）32（8 ） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为
3、40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（A） （B ） （C） （D）1078583103（9 ） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 ， ,依次输入的 为 2，2 ，5，则输出的2xnas（A）7 （B）12 （C）17 （D）34（10 ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的xylg10是（A） （B ） （C） （D）xyxylgxy2xy1（11 ）函数 的最大值为）（f 2 cos6 s)(（A）4 （B）5 （C ）6 （D）7（12 ）已知函数 满足 ，若函数 与
4、)(Rxf)()xff32xy图像的交点为 ，则)fy,21my ii1（A） （B ） （C） （D）0m4第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量 a ，b ，且 ab，则 ),(m)2,3(m（14）若 满足约束条件 则 的最小值为 yx,03,1xyyxz2（15） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ABC , cba, 1,35cos,4saCAb否是0,sknk输入 nx,输出 s开始结束输入 a1xs文科数学试卷 第 3 页（共
5、 10 页） OHDFAB CED（16）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）等差数列 中，且 ， na43a675a（）求 的通项公式；n（）记 ，求数列 的前 10 项和，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，bnbxx09.26.（18）（本小题满分 12 分）某险种的基本保费为 （
6、单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的a保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 012345保 费 a85. a5.1a7.2随机调查了设该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 012345概 数 650201（）记 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 的估计值；A )(AP（）记 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”求 的估计B )(BP值；（）求续保人本年度平均保费的估计值（19）（本小题满分 12 分）如图，菱形 的对角线 与 交于ABCDBD点 ，点 分别在 上，
7、，OFE,CFAE文科数学试卷 第 4 页（共 10 页）交 于点 .将 沿 折到 的位置.EFBDHEF EFD（）证明： ；AC（）若 ， ， ， ，求五棱锥 的体积56452OABCFE（20）（本小题满分 12 分）已知函数 )1( ln)1(xaxf（）当 时，求曲线 在 处的切线方程；4afy,f（）若当 时， ，求 的取值范围),(x0)(x（21）（本小题满分 12 分）已知 是椭圆 ： 的左顶点，斜率为 的直线交 于 两点，点 在AE1342yx )0(kEMA,N上， .NM（）当 时，求 的面积；A（）当 时，证明： .A223k请考生在第（22）（24）题中任选一题作答
8、，如果多做，则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在正方形 中， 分别在边 上（不与端点ABCDGE,DCA,重合） ，且 ,过 点作 ,垂足为 .EFFFEBCDAG文科数学试卷 第 5 页（共 10 页）（）证明： 四点共圆；FGCB,（）若 ， 为 的中点，求四边形 的面积.1AEDBCGF（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的方程为 .xOyC25)6(2yx（）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；C（）直线 的参数方程是 （ 为参数） ， 与 交于 两点， ，
9、求 的斜率.l,sincotytlBA,10l（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， 为不等式 的解集.21)(xxf M2)(xf（）求 ；M（）证明：当 时， .ba, ab1文科数学试卷 第 6 页（共 10 页）2016 年全国卷高考数学（文科）答案一. 选择题（1 ） D （2）C （3 ） A （4 ） A （5） D （6 ） A（7 ） C （8） B （9 ） C （10） D （11） B （12） B二填空题(13) (14) （15 ）（16 ）1 和 36523三、解答题（17 ）(本小题满分 12 分)()设数列 的公差为 d，由题意有
10、 ，解得 ，na11254,3ad12,5ad所以 的通项公式为 .35n（）由()知 ，2nb当 n=1,2,3 时， ；31,15nb当 n=4,5 时， ；22当 n=6,7,8 时， ；34,3n当 n=9,10 时， ，5b所以数列 的前 10 项和为 .nb1242（18 ）(本小题满分 12 分)()事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为，605.2故 P(A)的估计值为 0.55.文科数学试卷 第 7 页（共 10 页）（）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由是给数据知，一年内出险次数大于 1且小于 4
11、 的频率为 ，30.2故 P(B)的估计值为 0.3.()由题所求分布列为：保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查 200 名续保人的平均保费为，0.85.30.2510.51.750.32.10925aaaa因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.（19 ） （本小题满分 12 分）（I）由已知得， ,.ACBD又由 得 ，故EF/EF由此得 ，所以 .,HACHD（II）由 得/AC1.4OD由 得5,6B24.BO所以 13.H于是 故222()19, OH.D由（I）知 ，又 ，ACD
12、,B所以 平面 于是,BH.AO又由 ，所以， 平面D.ABC又由 得EFACDO9.2五边形 的面积B196683.24S所以五棱锥 EF体积 .V（20 ） （本小题满分 12 分）（I） 的定义域为 .当 时，()fx(0,)4a文科数学试卷 第 8 页（共 10 页）， 曲线 在 处1()1ln4(1),(ln3fxxfx()2,(1)0.ff()yfx1,()f的切线方程为 20.y（II）当 时， 等价于(,)x()fx()l.1ax令 ，则1)lnag，22()( ,()0() xaxx g（i）当 ， 时， ，故 在a1,2110x()0,()gx上单调递增，因此 ；(1,)x
13、()0gx（ii）当 时，令 得2，21 2(1),1()1xaxa由 和 得 ，故当 时， ， 在 单调递减，因此222,x()0g()x2(1,).()0gx综上， 的取值范围是a,.（21 ） （本小题满分 12 分）（）设 ，则由题意知 .1(,)Mxy10y由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ，AM4又 ，因此直线 的方程为 .(2,0)A2yx将 代入 得 ，xy2143xy270解得 或 ，所以 .01因此 的面积 .AMN21479AMNS（II）将直线 的方程 代入 得()0ykx213xy.222(34)161kx文科数学试卷 第 9 页（共 10 页）由 得 ，故
14、.2161()34kx2(34)kx 221|34kAMkx由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 .AN()yk2|N由 得 ，即 .2|M22343324680k设 ，则 是 的零点， ，32()468fttk()ft22()13(1)0fttt所以 在 单调递增，又 ，0,)15,6f因此 在 有唯一的零点，且零点 在 内，所以 .()ftk(32)2k（22 ） （本小题满分 10 分）（I）因为 ,所以DFEC,FCD则有 ,EGGBB所以 由此可得,由此 所以 四点共圆.018,CF,CF（II）由 四点共圆， 知 ，连结 ，,BGBGB由 为 斜边 的中点，知 ,故RtD,F因此四
15、边形 的面积 是 面积 的 2 倍，即BCSCBGCBS12.2GS（23 ） （本小题满分 10 分）（I）由 可得 的极坐标方程cos,inxyC21cos0.（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为l()R由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得,AB12,C21cos0.于是 212,文科数学试卷 第 10 页（共 10 页）2212112|()4cos4,AB由 得 ，|035cos,tan83所以 的斜率为 或 .l15（24 ） （本小题满分 10 分）（I）先去掉绝对值，再分 ， 和 三种情况解不等式，即可得 ；（II）采12x12x用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 ， 时， ab1ab试题解析：（I ）12,(),12,.xfx当 时，由 得 解得 ；12x()f,x当 时， ；()2fx当 时，由 得 解得 .12x()f,1x所以 的解集 .()f|Mx（II）由（I）知，当 时， ，从而,ab1,1ab，22222()(1)()0ab因此 |.
