1、1 函数解析式的特殊求法例 1 已知 f(x)是一次函数, 且 ff(x)=4x1, 求 f(x)的解析式 奎 屯王 新 敞新 疆例 2 若 ,求 f(x) 奎 屯王 新 敞新 疆xxf21(）例 3 已知 ，求xxf)( )1(f例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg例 5 已知 f(x)满足 ，求xf3)1(2)(f2 函数值域的特殊求法例 1. 求函数 2,1x,52y的值域。例 2. 求函数 2x1的值域。例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域例 4. 求 函 数 1eyx的 值 域 。例 1 下列各组中的两个函数是否为相同
2、的函数？ 3)5(xy52xy 11 )1(2 21)5()xf 5(xf2 若函数 的图象经过 ，那么 的反函数图象经过点)(xf )1,0()4(xf(A) (B) (C) (D)1,441,)4,(例 3已知函数 对任意的 满足：)(xfabR、 ()()6,fabf； 。0,6a当 时 (2)1f（1）求： 的值；()f（2）求证： 是 上的减函数；xR（3）若 ，求实数 的取值范围。(2)(3fkfkk例 4 已知 Z，(,)|,AxynabZ， ，问是否存在实数 ，使得(1)2(,)|315Bm2(,)|Cxy14,ab，(2) 同时成立.(,)ab证明题1.已知二次函数 对于 1
3、、 2 R，且 1 2时2()fxabcxx，求证：方程 有不等实根，且必有一根属于区间（ 1， 2）.12()fxf()f()ff x答案1 解：设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x1则 或 321)(42bkk2bk 或xf 1)(xf2 换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一()fg ()fx样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令 t= 则 x=t 1, t1 代入原式有121)(2)1(2ttf （x1）x解法二（定义法）： )(2x 1 1)()1(2xf (x1)24 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时
4、，一般用代入法。解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(yxM)(xg),(yxM),(yx)3,2(则 ，解得： ，32yyx64点 在 上 ),(xM)(xgy2把 代入得：x64整理得 72y)(xxg例 5 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。已知 ，xf3)1(2将中 x 换成 得 ，1xf3)(22-得 .xf6)(312值域求法例 1 解 ： 将 函 数 配 方 得 ： 4)1(y2 2,x 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ： 当x=1时 ， 4ymin， 当 1x时 ， 8ymax 故
5、 函 数 的 值 域 是 ： 4， 82. 判 别 式 法 例 2. 解 ： 原 函 数 化 为 关 于 x的 一 元 二 次 方 程0x)1y()(（ 1） 当 时 ， R)(4)(2解 得 ：3y（ 2） 当 y=1时 ， 0x， 而 23,1故 函 数 的 值 域 为 23,1当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/（y1）,其定义域为 y1 的实数,故函数y 的值域为yy1,yR 。点评：利用反函数法求原函数
6、的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数 y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。 （答案：函数的值域为yy15. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ， 反 客 为 主 来 确 定 函 数 的 值 域 。例 4. 求 函 数 1eyx的 值 域 。 解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 1yex 0x y解 得 ： 1故 所 求 函 数 的 值 域 为 ),(例 1（定义域不同） （定义域不同） （定义域、值域都不同）例 3 解:
7、 （1） 令 ，得()()6,fabfb0ab()6f令 ，得 2,20（2）证明：设 是 上的任意两个实数，且 ，即 ，1,xR12x10x从而有 ， 2()6f则 1211)()()xfxfx211)(6()fxffx 即 是 上的减函数 21()60fx21()fxf()fxR（3） 令 ，得 ,abfb,ab3 ，又 ，()(3fkk()3()fkfk(1)f(2)0f即有 21)2f ()(6()6fkfkf 又 是 上的减函数 即()fxR(2)1()2kk3(A)实数 的取值范围是k3例 4 分析：假设存在 使得 (1)成立，得到 与 的关系后与 联立，然后讨论联立,abab2x
8、y14的不等式组.解：假设存在实数 ，使得 ， 同时成立，则集合,AB(,)CZ与集合 Z分别对应集合(,)|,Axynab2|,315,xymZ与 Z， 与 对应的直线 与抛物线1|x21(,)|315AByaxb至少有一个公共点，所以方程组 有解，即方程 必有解.235yx 2yaxb2315x因此 ，21()ab20a180又 4由相加， 得 ，即 . .2362()b6b将 代入得 ，6ba108再将 代入得 ，因此 ，2 3a将 ， 代入方程 得 ，3a235xb2690x解得 Z.x所以不存在实数 ，使得 (1)，(2)同时成立.,ab证明题 11 解：设 F（ ） ， x()f1
9、2()2fxf则方程 与方程 F（ ） 0 等价F（ 1） x1()f12()2fxf12()fxfF（ 2） F（ 1） F（ 2） ，又x 21()4fxf12()fxfF（ 1）F （ 2）0故方程必有一根在区间（ 1， 2）内.由于抛物线 yF（ ）在 轴上、下方均有分布，所以此x抛物线与 轴相交于两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，从而方程 有两个不等的实根，且必有一根属于区间（ 1， 2）.x点评：本题由于方程是 ，其中因为有 表达式，所以解题中有的学生不理()f12()fxf()f解函数图像与方程的根的联系，误认为证明 的图像与 轴相交于两个不同的点，从而证题中着()x眼于证 0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为 F（ ） 的1()fx2 ()fx12()2ffx图像与 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
