1、幂函数【知识梳理】1幂函数的概念一般地，函数 y 叫做幂函数其中 x 是自变量， 是常数x2常见幂函数的图象与性质解析式 yx yx 2 yx 3y1xy12x图象定义域 R R R x|x0 0，)值域 R 0，) R y|y0 0，)奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数单调性在(， )上单调递增在(， 0上单调递减，在(0，)上单调递增在(， )上单调递增在(， 0)上单调递减，在(0，)上单调递减在0，) 上单调递增定点 (1,1)3幂函数的性质(1)所有的幂函数在区间(0， )上都有定义，并且图象都过点(1,1)(2)0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增
2、函数特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当 01)其中幂函数的个数为( )A1 B2C3 D4(2)已知幂函数 y ，求此幂函数的解析式，并指出定义域2231mx(1)解析 为指数函数，中系数不是 1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数，故选 B.答案 B(2)解 y 为幂函数，2231mxm 2m11，解得 m2 或 m1.当 m2 时，m 22m33，则 yx 3 ，且有 x0；当 m1 时，m 22m30，则 yx 0，且有 x0.故所求幂函数的解析式为 yx 3 ，x|x0或 yx 0，x|x0【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的
3、依据是该函数是否为 y ( 为常数)的形式，即函数的解x析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件【对点训练】函数 f(x) 是幂函数，且当 x(0，)时，f(x) 是增函数，求 f(x)的2231mx解析式解：根据幂函数的定义得m2m11.解得 m2 或 m1.当 m2 时，f(x)x 3 在(0， )上是增函数；当 m1 时，f(x)x 3 在(0 ，)上是减函数，不符合要求故 f(x) x3.题型二、幂函数的图象【例 2】 (1)如图，图中曲线是幂函数 y 在第一象
4、限的大致x图象，已知 取2， ， 2 四个值，则相应于曲线1212C1，C 2，C 3，C 4 的 的值依次为( )A2， ，2 B2， ，21212 12 12C ，2,2， D2，2，12 12 12 12(2)如图是幂函数 y 与 y 在第一象限内的图象，则( )mxnA11Dn1解析 (1)令 x2，则 222 2 22 ，12 12故相应于曲线 C1，C 2，C 3，C 4 的 值依次为 2， ，2.故选 B.12 12(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取 x0，作直线 xx 0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，00，b0.由幂函数的性质知，当 x1，幂指数大的幂函
5、数的函数值就大，则 ab.综上所述，可知c ， .2513 0.513(2)幂函数 y 在(，0)上是单调递减的，x又 .23 35 1215(3)函数 y1 为 R 上的减函数，又 ，x3423 .234又函数 y2 在(0，)上是增函数，且 ，3x3423 ， .2342344【类题通法】比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小【对点训练】比较下列各题中两个幂的值的大小：(1) ， ；342.(2) ， ； 32 (3) ， .650.165解：(1)y 为0，)上的增函数，且 2.3 .3 3 (3)y 为 R 上的偶函数， .65x650.3165又函数 y 为0，) 上的增函数，且 0.310 时，是增函数；幂函数 y 当 n0.9，12x .12.09(2)y 为(0，)上的减函数，又 1.10.9，12x . 09 (3) ，函数 y 为0 ，)上的增函数，且 ， ，即34 34134x1312 3412 .34 2
