1、高中数学选修 2-2 知识点第一章 导数及其应用一导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数 在 处的瞬时变化率是()yfx0，00()(limxfxf我们称它为函数 在 处的导数，记作 或 ，)yf0x0()fx0|xy即 =0()f0()lixf2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 趋近于 时，直线 与曲线相切。容nPPT易知道，割线 的斜率是 ，当点 趋近于 时，函数 在 处nP0()nfxfkn ()yfx0的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 000()lim()nxffxf3. 导函数：当 x 变化时， 便是 x 的一个函数，我们称它为 的导函
2、数. 的导函数有()f f()yfx时也记作 ,即y0)(lixff二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:2 若 ,则 ;()fx1()fx3 若 ,则sincos4 若 ,则 ;()cofx()infx5 若 ,则ala6 若 ,则()xfe()xfe7 若 ,则loga1lna8 若 ,则()nfx()fx2）导数的运算法则2. ()()()fgfgfxg 3. 2()()()fxfgxfgxg 3）复合函数求导和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数()yfu()xyx()yfgxg三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下
3、关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(,)ab()0fx()yfx如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.0fxyPs： 二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数 y=f（x）的导数 y=f（x）仍然是 x 的函数，则 y=f（x）的导数叫做函数 y=f（x）的二阶导数。几何意义（1）切线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）2.函数的极值（局部概念）与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数 的极值的方法是:()yfx(1) 如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值;0()0fx()0fx0()
4、fx(2) 如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;x(3) 若 f（x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数 在 上的最大值与最小值的步骤()yf,ab（1） 求函数 在 内的极值；fx(,)（2） 将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的是一个最大值，最y ()fafb小的是最小值.可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数III. 求导的常见方法： 常用结论： x1|)(ln.形如 ).(21naaxy或 ).(21nbxbxaay两边同取自然对数，可转化求代数和形式
5、.无理函数或形如 xy这类函数，如 xy取自然对数之后可变形为 xylnl，对两边求导可得 xxxy lnln1ln .导数中的切线问题1：已知切点，求曲线的切线方程2：已知斜率，求曲线的切线方程3：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法4：已知过曲线外一点，求切线方程1. 函数 )(xf的定义域为开区间 ，导函数 )(xf在3(,)2内的图象如图所示，则函数 f的单调增区间是3,2_2. 如图为函数 32()fxabcxd的图象， ()fx为函数 ()fx的导函数，则不等式 ()0f的解集为_ _ 3. 若函数 的图象的顶点在第
6、四象限，则其导函数2()fxbc的图象是（ ）4. 函数 的图象过原点且它的导函数 的图象是如图所示的一条直()yfx()fx线，则 图象的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5. 定义在 R 上的函数 满足 为 的导函)(f(4)1f)(ff 数，已知函数 的图象如右图所示.若两正数 满足xfyba, 1)2(baf)(xfyoyx- 3 3 )(xfyxyO，则 的取值范围是 （ ）2baA B C D1(,)31(,)3,21(,3)2(,3)5.（2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ） 6. 函数 的图象大致是 （ ） 21ln)(xxf ABCD7. 设 是函数 的导函数，将 和 的图像画在同一个直角坐标系中，不可)(xf)(xf )(xfy)(xf能正确的是（ ）A B C D8. 如右图所示是某一容 器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间 t变化的可能图象是（ ）xxxxyyyyOOOOO thhtOhtOO th侧侧侧 侧侧侧侧侧侧
