1、第 1 页（共 11 页）历届三角函数综合题中考真题训练1.(2017贵阳) 贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在 C 处的求救者后，发现在 C 处正上方 17 米的 B 处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点 A 与居民楼的水平距离是 15 米，且在 A 点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角CAD=60 ，求第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD 的度数（结果精确到 1） 2.（2017营口）如图，一艘船以每小时 30 海里的速度向北偏东 75方向航行，在点 A 处测得码头C 在船的东北方向，航行 40 分钟后到达 B 处，这时码头
2、C 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 C 的最近距离 （结果精确到 0.1 海里，参考数据1.41， 1.73）第 2 页（共 11 页）3.（2017黄冈）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌 ABCD（如图所示） ，已知标语牌的高 AB=5m，在地面的点 E 处，测得标语牌点 A 的仰角为 30，在地面的点 F 处，测得标语牌点 A 的仰角为 75，且点 E，F，B，C 在同一直线上，求点 E 与点 F 之间的距离 （计算结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.41，1.73）4. （2017随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源
3、，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图 1） ，图 2 是从图 1 引出的平面图假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55，沿HA 方向水平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 D（D、C、H 在同一直线上）的仰角是 45已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计） ，山高 BG 为 10 米，BGHG，CHAH，求塔杆 CH 的高 （参考数据：tan551.4，tan350.7，sin550.8，sin350.6）第 3 页（共 11 页）5.（2017桂林） “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的
4、兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中 ABCD，AM BNED，AE DE，请根据图中数据，求出线段 BE 和 CD 的长 （sin370.60，cos370.80 ，tan370.75 ，结果保留小数点后一位）6（2018青羊区模拟）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它经过了 200m，缆车行驶的路线与水平夹角 =16，当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面夹角=42 ，求缆车从点 A 到点 D 垂直上升的距离 （结果保留整数） （参考数据：
5、sin160.27，cos160.77 ，sin420.66，cos420.74 ）第 4 页（共 11 页）7. （2017呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有 A，B 两地，为了测量 A，B 两地的距离，让一热气球从小山西侧 A 地出发沿与 AB 成 30角的方向，以每分钟 40m 的速度直线飞行，10 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得 CB 与 AB 成 70角，请你用测得的数据求 A，B 两地的距离AB 长 （结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）8. （2017张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体AD 和底座 CD 两部分组成如图，在 R
6、tABC 中，ABC=70.5 ，在 RtDBC 中，DBC=45，且 CD=2.3 米，求像体 AD 的高度（最后结果精确到 0.1 米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334 ， tan70.52.824）第 5 页（共 11 页）9. （2017长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，AB 的长为 12 米，求大厅两层之间的距离 BC 的长 （结果精确到 0.1 米） （参考数据： sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.60）10（2016常德）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化
7、巡航，在 A 处测得北偏东 30方向上，距离为 20 海里的 B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东 75的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在 C 处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75=0.2588，sin75=0.9659 ，tan75=3.732， =1.732， =1.414）第 6 页（共 11 页）11.（2014黔东南州）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45，小军站在点 D 测得旗杆顶端 E
8、 点的仰角为 30，已知小明和小军相距（ BD）6 米，小明的身高（AB）1.5 米，小军的身高（CD）1.75 米，求旗杆的高 EF 的长 （结果精确到 0.1，参考数据： 1.41， 1.73）12.（2012黔东南州）如图，一艘货轮在 A 处发现其北偏东 45方向有一海盗船，立即向位于正东方向 B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮 200 海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西 60方向的 C 处（1）求海盗船所在 C 处距货轮航线 AB 的距离（2）若货轮以 45 海里/时的速度在 A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以 50 海里/时的速
9、度由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）第 7 页（共 11 页）参考答案及分析1. (2017贵阳)解：延长 AD 交 BC 所在直线于点 E由题意，得 BC=17 米， AE=15 米，CAE=60，AEB=90，在 RtACE 中，tanCAE= ，CE=AEtan60=15 米在 RtABE 中，tanBAE= = ，BAE71答：第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD 约为 71【点评】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键2.（2017 营口）【分析】过点
10、 C 作 CEAB 于点 E，过点 B 作 BDAC 于点 D，由题意可知：船在航行过程中与码头 C的最近距离是 CE，根据DAB=30，AB=20，从而可求出 BD、AD 的长度，进而可求出 CE 的长度【解答】解：过点 C 作 CEAB 于点 E，过点 B 作 BDAC 于点 D，由题意可知：船在航行过程中与码头 C 的最近距离是 CE，AB=30 =20，NAC=45，NAB=75 ，DAB=30，BD= AB=10，由勾股定理可知：AD=10BCAN，BCD=45，CD=BD=10，AC=10 +10DAB=30，CE= AC=5 +513.7答：船在航行过程中与码头 C 的最近距离是
11、 13.7 海里【点评】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾股定理，本题属于中等题型第 8 页（共 11 页）3.（2017 黄冈）【分析】如图作 FHAE 于 H由题意可知HAF=HFA=45，推出 AH=HF，设 AH=HF=x，则EF=2x， EH= x，在 Rt AEB 中，由E=30，AB=5 米，推出 AE=2AB=10 米，可得 x+ x=10，解方程即可【解答】解：如图作 FHAE 于 H由题意可知HAF=HFA=45，AH=HF，设 AH=HF=x，则 EF=2x，EH= x，在 Rt AEB 中，E=30，AB=5 米，AE=2AB=10 米，x+
12、 x=10，x=5 5，EF=2x=10 107.3 米，答：E 与点 F 之间的距离为 7.3 米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题4. （2017 随州）【分析】作 BEDH，知 GH=BE、BG=EH=10 ，设 AH=x，则 BE=GH=43+x，由CH=AHtan CAH=tan55x 知 CE=CHEH=tan55x 10，根据 BE=DE 可得关于 x 的方程，解之可得【解答】解：如图，作 BE DH 于点 E，则 GH=BE、BG=EH=10，设 AH=x，则
13、BE=GH=GA+AH=43+x，在 Rt ACH 中， CH=AHtanCAH=tan55x，CE=CHEH=tan55x10，DBE=45，BE=DE=CE+DC，即 43+x=tan55x10+35 ，解得：x45 ，CH=tan55x=1.445=63，答：塔杆 CH 的高为 63 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形5.（2017 桂林）【分析】在 RtBED 中可先求得 BE 的长，过 C 作 CFAE 于点 F，则可求得 AF 的长，从而可求得 EF的长，即可求得 CD 的长【解答】解：BNED ，NBD=BDE=37，A
14、EDE ，E=90 ，BE=DEtan BDE18.75（cm） ，如图，过 C 作 AE 的垂线，垂足为 F，FCA=CAM=45，AF=FC=25cm，CDAE，第 9 页（共 11 页）四边形 CDEF 为矩形，CD=EF，AE=AB+EB=35.75（cm） ，CD=EF=AEAF10.8（cm） ，答：线段 BE 的长约等于 18.8cm，线段 CD 的长约等于 10.8cm【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构造直角三角形是解题的关键，注意角度的应用6.（2018 青羊区模拟）【分析】本题要求的实际是 BC 和 DF 的长度，已知了 AB、BD 都是 200 米，可在
15、RtABC 和 RtBFD中用 、 的正切函数求出 BC、DF 的长【解答】解：RtABC 中，斜边 AB=200 米，=16，BC=ABsin=200sin1654（m） ，RtBDF 中，斜边 BD=200 米，=42 ，DF=BDsin=200sin42132，因此缆车垂直上升的距离应该是 BC+DF=186（米） 答：缆车垂直上升了 186 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键7. （2017 呼和浩特）【分析】过点 C 作 CMAB 交 AB 延长线于点 M，通过解直角ACM 得到 AM 的长度，通过解直角BCM 得
16、到 BM 的长度，则 AB=AMBM【解答】解：过点 C 作 CMAB 交 AB 延长线于点 M，由题意得：AC=4010=400（米） 在直角ACM 中，A=30，CM= AC=200 米，AM= AC=200 米在直角BCM 中，tan20= ，BM=200tan20，AB=AMBM=200 200tan20=200（ tan20） ，因此 A，B 两地的距离 AB 长为 200（ tan20）米【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型8. （2017 张家界）版权所有【分析】
17、根据等腰直角三角形的性质得出 BC 的长，再利用 tan70.5= 求出答案【解答】解：在 RtDBC 中，DBC=45，且 CD=2.3 米，BC=2.3m，在 RtABC 中，ABC=70.5，tan70.5= = 2.824，解得：AD4.2，答：像体 AD 的高度约为 4.2m【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键9. （2017 长春）【分析】过 B 作地平面的垂线段 BC，垂足为 C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出 BC 的第 10 页（共 11 页）长【解答】解：过 B 作地平面的垂线段 BC，垂足为 C在 Rt ABC 中，A
18、CB=90，BC=ABsin BAC=120.5156.2（米） 即大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.2 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角 叫做坡角在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题10.（2016 常德）【分析】过 B 作 BDAC，在直角三角形 ABD 中，利用勾股定理求出 BD 与 AD 的长，在直角三角形BCD 中，求出 CD 的长，由 AD+DC 求出 AC 的长即可【解答】解：过 B 作 BDAC，BAC=7530=45，
19、在 RtABD 中，BAD=ABD=45，ADB=90，由勾股定理得：BD=AD= 20=10 （海里） ，在 Rt BCD 中，C=15，CBD=75 ，tanCBD= ，即 CD=10 3.732=52.77048，则 AC=AD+DC=10 +10 3.732=66.9104867（海里） ，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了 67 海里【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键11.（2014 黔东南州）【分析】过点 A 作 AMEF 于 M，过点 C 作 CNEF 于 N，则 MN=0.25m由小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的
20、仰角为 45，可得AEM 是等腰直角三角形，继而得出得出 AM=ME，设 AM=ME=xm，则CN=（x+6 ）m，EN=（x0.25）m在 RtCEN 中，由 tanECN= = ，代入 CN、EN 解方程求出x 的值，继而可求得旗杆的高 EF【解答】解：过点 A 作 AMEF 于 M，过点 C 作 CNEF 于 N，MN=0.25m，EAM=45，AM=ME，设 AM=ME=xm，则 CN=（x+6 ）m ，EN=（x0.25）m，ECN=30，tanECN= = = ，解得：x8.8 ，则 EF=EM+MF8.8+1.5=10.3（m ） 答：旗杆的高 EF 为 10.3m【点评】本题考查了解直角三角形的问题该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些12.（2012 黔东南州）优网版权所有【分析】 （1）由条件可知ABC 为斜三角形，所以作 AC 上的高，转化为两个直角三角形求解 （2）求得海盗船到达 D 处的时间，用 BD 的长度除以求得的时间即可得到结论【解答】解：（1）作 CDAB 于点 D，
