1、数列专项之求和-4（一）等差等比数列前 n 项求和1、 等差数列求和公式： dnaSn2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn（二）非等差等比数列前 n 项求和 错位相减法 数列 为等差数列，数列 为等比数列，则数列 的求和就要采用此法.nanbnab将数列 的每一项分别乘以 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列b的前 项和.n此法是在推导等比数列的前 项和公式时所用的方法 .n例 23. 求和： 132)2(7531nn xxS 0例 24.求数列 前 n项的和.,624, 裂项相消法一般地，当数列的通项 时，往往可将12()ncaban12(,bc为 常 数 ）
2、变成两项的差，采用裂项相消法求和.na可用待定系数法进行裂项：设 ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得12nban，从而可得21c12112=().()canbbanb常见的拆项公式有： (1)nn； 11();(2)2nn 1();abab 1;mmnnC !()!.nn )2(1)(2)(1 n例 25. 求数列 的前 n项和.,32,1例 26. 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前11nan 12nnabn项的和. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通
3、向项公式由通项公式确定如何分组.例 27. 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n项和.例 28. 求数列的前 n项和： 231,7,412naa 倒序相加法如果一个数列 ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与na倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121.nna例 29.求证： nnnCC2)1()2(5320 例 30. 求 的值 89siisiisi2记住常见数列的前 项和： (1)13.;2n 5 222.(1).6nn 2333 1答案详解例 23. 解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比1)2(nx数列
4、 的通项之积。1nx. 132)(753nn xxS设 . （设制错x214位）得 （错位相nnn xxxSx )12(1)( 1432 减 ）再利用等比数列的求和公式得： nnnxS)(12)( 21)(1)2(xxnnS例 24. 解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的n n21通项之积。设 nnS26243 （设制错141位）得 （错位相1432 2)21( nnS减 ）1n 124nnS例 25. 解：设 （裂项） na1则 （裂项求和）1321Sn )()()( n 1n例 26. 解： 212nan （裂项）)(81nb 数列b n的前 n项和（裂项求和） )1(
5、)413()2()1(8 nSn 8例 27. 解：设 kkak 23)( nkS112)(23nk将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组） nknkk12131 )21()(3)(2223 nn （分组求和）()2nn 2)(1例 28. 解：设 )231()7()4()2naaSn将其每一项拆开再重新组合得（分组） )4()11(2 ann当 a1 时， （分组求和）3Sn2)1n当 时， )(1an)3(1an例 29. 证明： nnn CCS)12(53210 把式右边倒转过来得（反序） 0113)()2( nnnn 又由 可得mn nnn CCS 110)2()1(+得 （反序相nn2)1()2 加） nnS)1(例 30. 解：设 . 89sini3sin2isi 2222 将式右边反序得. 1iii8i9in 22222S（反序） 又因为 cosin),0cos(i 22xxx+得 （反序相加） 89 )89cos(i)(in)1cs(sin2 222222 S S44.5
