1、“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。 ”英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃 22 天，或者供给 16 头牛吃，可以吃 10 天，如果供给 25 头牛吃，可以吃几天？ 解题关键： 牛顿问题，俗称“牛吃草问题” ，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量4、最后求出可吃天数 想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把 10 头牛 22 天吃的总量与16 头牛 10 天吃的总量相比较，得到的 1022-1610=
2、60，是 60 头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是 5 头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把 25 头牛分成两部分来研究，用 5 头吃掉新长出的草，用 20 头吃掉原有的草，即可求出25 头牛吃的天数。 解：新长出的草供几头牛吃 1 天： （1022-161O）(22-1O） =（220-160）12 =6012 =5（头） 这片草供 25 头牛吃的天数： （10-5）22（25-5） =52220 =5.5（天） 答：供 25 头牛可以吃 5.5 天。 - “一堆草可供 10 头牛吃 3 天，这堆草可供 6 头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：31
3、065（天） 。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地” ，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 例 1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或者可供 15头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，
4、就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 设 1 头牛一天吃的草为 1 份。那么，10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 头牛 10 天吃 150 份，草也被吃完。前者的总草量是 200 份，后者的总草量是 150 份，前者是原有的草加 20 天新长出的草，后者是原有的草加 10 天新长出的草。 20015050（份） ，20 1010（天） ， 说明牧场 10 天长草 50 份，1 天长草 5 份。也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 （l0 5） 20100（份）或（15 5）10100（份
5、） 。 现在已经知道原有草 100 份，每天新长出草 5 份。当有 25 头牛时，其中的 5 头专吃新长出来的草，剩下的 20 头吃原有的草，吃完需 100205（天） 。 所以，这片草地可供 25 头牛吃 5 天。 在例 1 的解法中要注意三点： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。 （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。 例 1 小军家的一片牧场上长满了草
6、，每天草都在匀速生长，这片牧场可供 10 头牛吃 20天，可供 12 头牛吃 15 天。如果小军家养了 24 头牛，可以吃几天？ 草速：（10201215 ）（2015）=4 老草（路程差）： 根据：路程差=速度差追及时间 （104）20=120 或 （124）15=120 追及时间=路程差速度差： 120（244）=6（天） 例 2 一个牧场可供 58 头牛吃 7 天，或者可供 50 头牛吃 9 天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃 6 天？ 草速：（509587 ）（97）=22 老草（路程差）： (5022） 9=252 或 (58 22）7=252 求
7、几头牛就是求牛速,牛速=路程差追及时间草速 252622=64(头) 例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？分析与解：与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例 1 的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃 90 份，100-90=10（份） ，说明寒冷使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是说，寒冷相当于 10
8、 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天” ，再加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草（2010）5150（份） 。 由 1501015 知，牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天，寒冷占去 10 头牛，所以，可供 5 头牛吃 10 天。例 4 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空；如果同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 分析：虽然表面上没有“牛吃草” ，但因为总的水量在均匀变化， “水”相当于“草” 进水管进的水相
9、当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例 1 相似。 出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。 设出水管每分钟排出水池的水为 1 份，则 2 个出水管 8 分钟所排的水是2816（份） ，3 个出水管 5 分钟所排的水是 3515（份） ，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在 8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是 (16-15)/3=1/3(份
10、) 假设让 1/3 个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:(2-1/3)8=40/3(份)或(3-1/3)5=40/3(份) 解:设出水管每分钟排出得水为 1 份,每分钟进水量(28-35)/(8-5)=1/3(份) 进水管提前开了(2-1/3)81/3=40(分) 答：出水管比进水管晚开 40 分钟。 例 5 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4 个进水管时需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在需要在 2 小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？ 分
11、析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管. 解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管 1 小时注水量为 a，排水管 1 小时排水量为 b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b ）5=（2a-b）15，化简，得： 4a-b=6a-3b，即 a=b. 这就是说，每个进水管 1 小时的注水量等于排水管 1 小时的排水量. 再设 2 小时注满水池需要打开 x 个进水管，根据水池的容量列方程，得 （xa-a）2（2a-a）15， 化简，得 2ax-2a=15a， 即 2xa=17a. （a
12、0 ） 所以 x=8.5 因此至少要打开 9 个进水管，才能在 2 小时内将水池注满. 注意：x=8.5，这里若开 8 个水管达不到 2 小时内将水池注满的要求；开 8.5 个水管不切实际.因此至少开 9 个进水管才行. 以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的. 把进水管看成“牛“, 排水管看成 “草“,满池水就是“老草” 排水管速：（21545 ）（155）=1 满池水（路程差）： (21） 15=15 或 (4 1）5=15 几个进水管：1521=8.5（个) 我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，那么，可不可以用工程
13、问题的解法来做呢？之后在课堂上当时做了尝试，结果答案是肯定的！ 当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池，那么 4 个进水管和 1 个排水管的效率就是 1/5。 当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池，那么 2 个进水管和 1 个排水管的效率就是 1/15。 两者之间差了（42=）2 个进水管的效率，于是 1 个进水管的效率是： （1/51/15）（42）=1/15 1 个排水管的效率是： 41/151/5=1/15 或者 21/151/15=1/15 现在需要在 2 小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？ （1/21/15）1/15=8.5 （个) 例 6 自
14、动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 分析：与例 3 比较， “总的草量”变成了“扶梯的梯级总数” ， “草”变成了“梯级” ，“牛”变成了“速度” ，也可以看成牛吃草问题。 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩 5 分钟走了 205 100（级） ，女孩 6 分钟走了 15690（级） ，女孩比男孩少走了 1009010（级） ，多用了 651（分） ，说明电梯 1 分钟走 10
15、级。由男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有 （2010）5150（级） 。 解：自动扶梯每分钟走 （205156）（6 5）10（级） ， 自动扶梯共有（2010）5150（级） 。 答：扶梯共有 150 级。 例 7 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草” ， “检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 旅客总数由
16、两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为 1 份。因为 4 个检票口 30 分钟通过（430）份，5 个检票口 20 分钟通过（520）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（430-520）份，所以每分钟新来旅客 （430-520）（30-20）=2（份） 。 假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为 （4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份） 。 同时打开 7 个检票口时，让 2 个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要
17、 60（7-2）=12（分） 。 例 8 有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问：第三块草地可供19 头牛吃多少天？ 分析与解：例 1 是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 5，6，8120。 因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天， 120524，所以 120 公顷草地可供1124264（头）牛吃 10 天。 因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120620，所以 120 公顷草地可供12202
18、40（头）牛吃 14 天。 120815，问题变为： 120 公顷草地可供 1915285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为： “一块匀速生长的草地，可供 264 头牛吃 10 天，或供 240 头牛吃 14 天，那么可供285 头牛吃几天？” 这与例 1 完全一样。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。每天新长出的草有 （2401426410）（1410）180（份） 。草地原有草（264 180）10840（份） 。可供 285 头牛吃 840（285 180）8（天） 。 所以，第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。 例 9 牧场上有一片牧草，供 24
19、头牛 6 周吃完，供 18 头牛 10 周吃完假定草的生长速度不变，那么供 19 头牛需要几周吃完？分析：这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随时间的增加而增加但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天（或每周）新长的草量是不变的，因此必须先设法找出这两个量来我们可以先画线段图（如图 51）从上面图对比可以看出，18 头牛吃 10 周的草量比 24 头牛吃 6 周的草量多，多出的部分恰好相当于 4 周新生长的草量这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长的草量，就可以用 24 头牛吃 6 周的草量减去 6 周新长的草量，或用 18 头牛吃 10 周的草量减去 10周新
20、长的草量，得到牧场原有的草量有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了解：设 1 头牛吃一周的草量的为一份（1）24 头牛吃 6 周的草量246=144 （份）（2）18 头牛吃 10 周的草量1810=180（份）（3）（10-6 ）周新长的草量180-144=36（份）（4）每周新长的草量36（10-6）=9（份）（5）原有草量246-96=90（份）或 1810-910=90（份）（6）全部牧草吃完所用时间不妨让 19 头牛中的 9 头牛去吃新长的草量，剩下的 10 头牛吃原有草量，有90（19-9）=9（周）答：供 19 头牛吃 9 周例 10 20 匹马 72 天可吃完 32
21、公顷牧草，16 匹马 54 天可吃完 24 公顷的草假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同那么多少匹马 36 天可吃完 40 公顷的牧草？分析：同例 1 一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可设 1 匹马吃一天的草量为一份20 匹马 72 天吃 32 公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上 72 天新长的草量，可供 207232=45 匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上 72天新长的草量为 45 份同样，由 16 匹马 54 天吃 24 公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54 天新长的草量为 165424=36 份这两者的差正好对应了每公顷 72-54
22、=18 天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决解：（1）每公顷每天新长的草量（207232-165424）（72-54 ）=0.5（份）（2）每公顷原有草量207232-0.572=9（份）或 165424-0.554=9（份）（3）40 公顷原有草量940=360 （份）（4）40 公顷 36 天新长的草量0.53640=720（份）（5）40 公顷的牧草 36 天吃完所需马匹数（360+720）36=30（匹）答：30 匹马 36 天可吃完 40 公顷的牧草例 11 有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这三
23、辆车分别用 3 分钟，5 分钟，8 分钟分别追上骑车人已知快速车每小时 54 千米，中车速每小时 396 千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？分析 根据题意先画出线段图，如图 52从图 52 可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行 8 分钟的路程. 慢车 8 分钟的路程等于路程 ab 加上路程 beab 表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行 3 分钟的路程 ac 减去骑车人行 3 分钟的路程 bc 得到，骑车人 3 分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行 5 分钟的路程 ad 减去快车行 3分钟的路程 ac 恰好为路程 cd，路程
24、 cd 是骑车人 5-3=2 分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度be 表示骑车人 8 分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了解：快车速度 54 千米小时=900 米分钟中速车速度 396 千米小时=660 米分钟（1）骑车人的速度（6605-9003 ）（5-3）=300（米分钟）（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离9003-3003=1800（米）（3）慢车 8 分钟行的路程1800+3008=4200（米）（4）慢车的车速42008=525（米分）=31.5 千米小时答：慢车的车速为每小时 31.5 千米练习 1：有一片牧场，已知饲牛 27 头，6 天把草吃尽。饲
25、牛 23 头，则 9 天吃尽。如果饲牛21 头，问几天吃尽？ 解：假设 1 头牛 1 天吃的草为 1. 每天新长的草：（239-276）（9-6）=15 牧场原有的牧草：276-156=72 21 头牛几天把草吃尽：72（21-15）=12 计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一点考虑进去。 （江苏人民出版社小学数学袖珍手册 ） 牛顿问题是牛顿在 1707 年提出的著名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。 没看吧主的解，试做了一下： 设原有草 X，每天长草 Y，每天每牛吃草 Z， 得方程组：1、X+6Y=Z*27*6 2、X+9Y=
26、Z*23*9 3、X+?Y=Z*21*? 由 1、2 得 Y=15Z，X=72Z，代入 3， 得到:72Z+15?Z=21?Z 得到:?=12. 练习 2:小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48 分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后 16 分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？ 试解：根据题意，设李速度为 X，小明速度为 Y，得到： 16*（X-Y）=2*48Y，得：X=7Y，即李的速度是小明的 7 倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会 7 次，其
27、中“追上”3 次， 习题 1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供21 头牛吃几周？ 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 假设一头牛一周吃草一份 则 23 头牛 9 周吃的总草量：1239=207 份 27 头牛 6 周吃的总草量：1276=162 份 所以每周新生长的草量：（207-162）（9-6）=15 份 牧场上原有草量：1276-156=72
28、 份， （或 1239-159=72 份） 牧场上的草 21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把 21 头牛分成两部分：一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草. 假设有 15 头牛专吃新生长的草，另一部分 21-15=6 头牛专去吃原有的草 则牧场上原有的的草够吃 726=12 周 即这个牧场上的草够 21 头牛吃 12 周.2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。已知某草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或供 15 头牛吃 6 天。那么它可供多少头牛吃 10 天？ 假设一头牛一天吃草一份 则 20 头牛 5 天吃的总草量：1205=100 份 15 头
29、牛 6 天吃的总草量：1156=90 份 所以每天枯草量：（100-90）（6-5）=10 份 牧场上原有草量：1205+105=150 份 牧场上的草可供多少头牛吃 10 天？ （150-1010）10=5 头牛 3.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者供 80 只羊吃12 天.如果一头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 由于 1 头牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量，故 60 只羊每天的吃草量和 15 头牛每天吃草量相等，80 只羊每天吃草量与 20 头牛每天吃草量相等。 所以问题可转化
30、为：这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者供 20 头牛吃 12 天.那么（10+15）=25 头牛可以吃多少天 设一牛一天吃草一份 则每天长草（11620-12012）（20-12）=10 份 原有草 11620-1020=120 份 假设 25 头牛中，10 头牛专吃每天新长的 10 份草，另外的 25-10=15 头牛专吃原有草 则 12015=8 天 即这块草场可供 10 头牛和 60 只羊吃 8 天。 4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 12 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水，10 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 设 1 人 1
31、小时的淘水量为“1 份” 则 12 人 3 小时淘水：1123=36 份 5 人 10 小时淘水：1510=50 份 所以每小时漏进水：（50-36）（10-3）=2 份 淘水时已漏进的水：36-23=30 份 所以如果要求 2 小时淘完，要安排（30+22）2=17 人淘水 5.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干.若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 设 1 台抽水机连 1 天抽水 1 份 则 5 台抽水机连续 20 天抽水 520=100 份 6 台抽水机连续 15 天抽水 615=90 份 每天进水（1
32、00-90）（20-15）=2 份 原有的水 100-220=60 份 所以若 6 天抽完，共需抽水机（60+26）6=12 台 6.有三块草地，面积分别为 5、6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 将三块草地的面积统一起来： 即5，6，8=120 第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，120/5=24，变为 120 公顷草地可供 1124=264 头牛吃10 天 第二块草地可供 12 头牛吃 14 天，120/6=20，变为 120 公顷草地可供 1220=240 头牛吃14 天
