2017年高考天津文科数学试题及答案解析版.docx

1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2017 年天津，文 1，5 分】设集合 ， ， ，则 （ ）1,26A,4B1,234C()ABC（A） （ B） （C） （D）2,4 1,2346【答案】B【解析】 ， ，故选 B,46(),3,C（2） 【2017 年天津，文 2，5 分】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）xR20x1（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 解得： ； 解得： ， ，故

2、选 B0xx120x（3） 【2017 年天津，文 3，5 分】有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A） （B） （C ） （D ）453515【答案】C【解析】 “从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔”基本事件总个数： ，而事件“ 取出的 2 支彩笔中含有红色2彩笔”包含基本事件个数： ； ，故选 C14C205P（4） 【2017 年天津，文 4，5 分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的 的值N为 19，则输出的 的值为（ ）N（A）0 （ B）

3、1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为 ，第一次循环： 19N，不满足 ；第二次循环： ，不满足 ；第三次循1836环： ，满足 ；此时跳出循环体，输出 ，故选 C23N3（5） 【2017 年天津，文 5，5 分】已知双曲线 的左焦点为 ，点 在21(0,)xyabFA双曲线的渐近线上， 是边长为 2 的等边三角形（ 为原点） ，则双曲线的方程为OAFO（ ）（A） （ B） （C） （D）214xy14xy213xy213yx【答案】D【解析】因为 是边长为 2 的等边三角形（ 为原点）所以 ， ，所F F60A以 直线 方程为 ，所以渐

4、近线方程 其中一条为 ，所以，OA3yxbyxa3yx，解之得： ，故选 D23cba1,2abc（6） 【2017 年天津，文 6，5 分】已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ，()fxR21(log)5af2(log4.1)bf， 则 的大小关系为（ ）0.8(2)cf,bc（A） （B） （C） （D）abaccbca2【答案】C【解析】因为 在 上是奇函数，所以有 ，即 ；又因为 在()fxR()(fxf21(log)5af2(l)f()fx上 是增函数，且 ，所以 ，故选 C0.812222log4l.1log5cb（7） 【2017 年天津，文 7，5 分】设函数 ，其中 ，若()

5、sin(),fxR0,，且 的最小正周期大于 ，则（ ）51()2,()8ff()fx（A） （B） （C） （D）321,31,32417,324【答案】A【解析】函数 ， ，振幅为 2，所以如图所示：()2sin(),fxxR5()2,()08ff若函数图象如图表 1 所示， ，解得 ，不满足最小正周期大于 ，14TT2所以函数图象如图表 2 所示， ，解得 ， ，又因为 ，35()8f所以 ，所以 ，故选 A25381（8） 【2017 年天津，文 8，5 分】已知函数 ，设 ，若关于 的不2,1()xfaRx等式 在 上恒成立，则 的取值范围是（ ）()2xfaRa（A） （B） （C

6、） （D）,23,2,323,【答案】A【解析】函数 的图象如下图（左） ，若关于 的不等式 在 上恒成 ()fxx()xfaR立，则不妨设 ， “ 在 上恒成立”表示 图 ()2xga()2faR()yfx象与 图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: 与y相()gx切时， ， ，解得 ， ，代入 ，解得1x21()fx0x03y(2)3g， （舍） ； 过点 ，代入 ， ，解得 （舍） ，故23a,4a()g(,2)a2,aa的取值范围在 与 2 之间，故选 A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9） 【2017 年天津，文 9，5 分】已知 ， 为虚数单位，若

7、为实数，则 的值为 aRi i2aa【答案】 2【解析】解法一： 为实数，所以 ， i(i)21(2)i5a 02解法二： 为实数 与 成比例，比例为 ，所以 2iiai1a（10） 【2017 年天津，文 10，5 分】已知 ，设函数 的图象在点 处的切线为 ，则R()lnfx(1,)fl在 轴上的截距为 ly【答案】13【解析】函数 的导函数 ，所以 ，切点 ，斜率为 ，所以代入切线()fx1()fxa(),(1)faf(1,)a1点斜式： ， 在 轴上的截距为： ，所以答案为 1yaly0,xy（11） 【2017 年天津，文 11，5 分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正

8、方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【答案】 92【解析】球的表面积公式 ，所以棱长 ，计算得： ， ， 2618Sa3a23Ra323492VR（12） 【2017 年天津，文 12】设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，已知点 在 上，以 为圆心24yxFlCl的圆与 轴的正半轴相切于点 ，若 ，则圆的方程为 yA10C【答案】 22(1)(3)x【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，所以可设 ， ，4x(1,0)F:l(1,)bOA，0FAC所以 ， 在直角三角形 中， ，所以 ，所以圆的圆心 ，60FHO1F3(1,3)半径等于 1，所以圆 22:(1)(3)Cxy（13） 【2017

9、年天津，文 13，5 分】若 ， ，则 的最小值为 ,abR04ab【答案】4【解析】 （ ） ，当且仅当“ ”、 “ ”同时成立时，等号成立，4214aba421ab解之得： 344,（14） 【2017 年天津，文 14，5 分】在 中， ， ， ，若 ，ABC603ABCBDCAECB，且 ，则 的值为 ()RADE【答案】 31【解析】 ，则0122cos63,3ABC123()()49343 1AEBC三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15） 【2017 年天津，文 15，13 分】在 中，内角 所对的边分别为 已知 ，,A,abcsi

10、n4iaAB225()acbc（1）求 的值；os（2）求 的值inBA解：（1） 可化为 ，解得： ，余弦定理： 4i24ab2ab22cosbcaA5cb（2）根据 ，解得 ，所以 ， ， ，5cos5sin5sinB54insioB，231B(2)BA4322co2sin()51025（16） 【2017 年天津，文 16，13 分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：4连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排

11、的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 表示每周计划播出的甲、乙两套电,xy视剧的次数（1）用 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；,xy（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数 ,xy7602,xyN（2）设总收视人次为 万，则目标函数为 考虑 ，将它变形为z6025zxy605zxy，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线 为直线在 轴上的截距，125yx1252当 取得最大值时， 的

12、值最大又因为 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线zz,经60zx过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大解方程组 ，得点 的坐标为 M25z760xyM6,3所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多（17） 【2017 年天津，文 17，13 分】如图，在四棱锥 中， 平面 ，PABCDPDC ， ， ， ， ， ADBCP1ADBC42（1）求异面直线 与 所成的角的余弦值；（2）求证： 平面 ；（3）求直线 与平面 所成角的正弦值解：（1）因为 ，所以 等于异面直线 与 所成的角， 平面APBA， P所以 ， ， 90PDA55cosD（2）因为

13、平面 ，所以 ，又因为 ，所以 ，CACPDBC， B且 ，所以 平面 BPBC（3）取 上三分点， ， ， ， 平面 ，所以3E/E1EP等于直线 与平面 所成角 ， ， ， ，A90D25A25E4P25sinD（18） 【2017 年天津，文 18，13 分】已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 2 的等比数nannS*()Nnb列，且公比大于 0， ， ， 231b3412b4Sb（1）求 和 的通项公式；na（2）求数列 的前 项和 2n*()N解：（1）已知 为等差数列， 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，所以 ，n 1()nad， ，解之得： （舍） ， ，解之得：

14、1nbq21q,3q183(5)6dABCDPE51,3ad所以 ， 1na2nb（2） ，不妨设数列 的前 项和为 ， ，2(6)b2nabnT214263212nnabab31406(8)(6)nT 2 1(42n-得： ，整理得： 123 1nn 21(4)nnT（19） 【2017 年天津，文 19，14 分】设 ， ，已知函数 ，,abR32()6fxaxb()()xgef（1）求 的单调区间；（2）已知函数 和函数 的图象在公共点 处有相同的切线()ygxxye0(,)xy（i）求证： 在 处的导数等于 0；f0（ii）若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围()x01,

15、b解：（1） ， ，32()6()4fxxa2()3(4)fxa，因为 ，所以 ，2134aa所以， 的单调增区间 ， 的单调减区间 f(,)f,（2） （i） 与 在公共点 处有相同的切线，首先， ；其次， ，()()xgexye0()xy 0()xge0()xge， ，所以 0f00)1fff（ii） 等价于 ， ， ，所以 极大值点，若关于 的不等式x(0f0(10xa在区间 上恒成立，等价于 在区间 上恒成立，等价于()e0,x()f01,x， ，当 ， 在 递增，在 递减， 为最大max1f0xa,a()fa值， ， ， ，令 ，()1fa326b32632()61hx， 在 递增，

16、在 递减，所以 ， 2()62hxh,0,177b（20） 【2017 年天津，文 20，14 分】已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的2()xya(,0)FcAE坐标为 ， 的面积为 (0,)cEFA2b（1）求椭圆的离心率；（2）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在轴上， ，Q3|2QcPQPMNPQN且直线 与直线 间的距离为，四边形 的面积为 ；PMNNM3c（i）求直线 的斜率；F（ii）求椭圆的方程解：（1） ，因为 ，所以 ，故 ， 12AESO21()2bac22acac2c12ea（2） （i） ，设 ，所以 ，45EQA(01)(1)FQEFA，

17、 Fc，因为 ，两边平方，解之得： ， （舍）3A32cF9032代入 ，得 ，直线 的斜率等于(1)EA6(,)51cFFP4yx（ii）直线 的方程： ；为求点 的坐标，联立方程解方程组：P30()4yx6，解之得： （舍） ，所以 ，因为 ，所以22431yxc 13,7cx3(,)2cP69(,)510cFQ， 9(,)510cQ即 ，而 ，且直线 与直线 间的距离为 ，所以直线 与直线 垂直于PcMQNPQNcPMN，PF由（i）直线 的斜率等于 ，可得 ， ，F34351428MF339428cQNF，所以 ，解之得 ，MNPQQNSS1()2c2c所以 ，所以 4,3ab26xy