1、 1 / 14数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法 或 。1(nad为 常 数 ） 11(2)nnaa如设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列na 2*N为等差数列。nb2、等差数列的通项： 或 。1()nad()nmad如(1)等差数列 中， ， ，则通项 （答： ）；03205n210n（2）首项为-24 的等差数列，从第 10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答： ）83d3、等差数列的前 和： ， 。n1()2nnaS1()2nSad如（1）数列 中， ， ，前 n项和 ，na*1,)N3n 152nS则 ， （答： ， ）；a30（2）已
2、知数列 的前 n项和 ，求数列 的前 项和 （答：na2nS|nanT）.2*1(6,)7nNT4、等差中项：若 成等差数列，则 A叫做 与 的等差中项，且 。,aAbab2abA提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、n1dn及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其naS1d余 2 个，即知 3 求 2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；偶数个数成等差，可设为，,aad,（公差为 2 ）,ad5、等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的01
3、1()nadnan一次函数，且斜率为公差 ；前 和 是关于 的dn2()S2 / 14二次函数且常数项为 0.（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差d0d，则为常数列。0d（3）当 时,则有 ，特别地，当 时，则有mnpqqpnmaa2mnp.2npa如（1）等差数列 中， ，则 _（答：27） ；n1238,1nnnSS(4) 若 、 是等差数列，则 、 ( 、 是非零常数)、nabnkanpbkp、 ，也成等差数列，而 成等比数列；若*(,)pnqaN232,nnSSna是等比数列，且 ，则 是等差数列. 0lg如等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和
4、为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225）（5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时，naSd偶 奇 21n， （这里 即 ） ； 。S奇 偶 中 21()S中 a中 n-:n偶奇 ：如（1）在等差数列中，S 1122，则 _（答：2） ；6（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中na间项与项数（答：5；31）.（6）若等差数列 、 的前 和分别为 、 ，且 ，则nbnAB()nf.如设 与 是两个等差数列，它们的前 项和21()()nnaAfbBnabn分别为 和 ，若 ，那么 _（答： ）nST34nn6287(7)“首正”
5、的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前 项是关0011nna或 n于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两*N种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？3 / 14如（1）等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大na125917S值。 （答：前 13 项和最大，最大值为 169） ；（2）若 是等差数列，首项 ， ，则使前 n 项和n10,a2304a2034a成立
6、的最大正整数 n 是 （答：4006）0nS（3）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则（ 101,10|nS）A、 都小于 0， 都大于 0 1210,S 12,SB、 都小于 0， 都大于 0 9 C、 都小于 0， 都大于 0 125, 67,D、 都小于 0， 都大于 0 （答：B）S 21S(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或1(nq为 常 数 ） 0,nqa
7、1na。(2)n如（1）一个等比数列 共有 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则na2为_（答： ） ；（2 ）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若na56nanS1a2n1a，求证：数列 是等比数列。nb1b2、等比数列的通项： 或 。1naqnm如等比数列 中， ， ，前 项和 126，求 和 .n16n218nanSq（答： ， 或 2）6q3、等比数列的前 和：当 时， ；当 时，n1q1nSaq1()nnaSq。1naq4 / 14如（1）等比数列中， 2，S 99=77，求 （答：44） ；q963aa（2） 的值为_（答：2046） ；)(01nknC特别提醒
8、：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先n要判断公比 是否为 1，再由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1qq q时，要对 分 和 两种情形讨论求解。4、等比中项：若 成等比数列，那么 A叫做 与 的等比中项。提醒：不是任何,aAbab两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A与 B的大小关系为_（答：AB）,()ab提醒：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、n1aqn及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求
9、出其nS1aq余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ） ；但偶数个数成等比时，不能设为,q，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。33,aq 2q如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当 时，则有 ，特别地，当 时，则有mnpqmnpqaA2mnp.2npaA如（1）在等比数列 中， ，公比 q 是整数，则n384712,512=_（答：
10、512） ；0（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则na569a（答：10） 。3132310loglloga(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若n|n*(,)pnqNnka5 / 14成等比数列，则 、 成等比数列； 若 是等比数列，且公比nab、 nabn na，则数列 ，也是等比数列。当 ，且 为偶数时，1q232,nnnSS1q数列 ，是常数数列 0，它不是等比数列. 23,n如（1）已知 且 ，设数列 满足 ，且0a1nx1loglogananxx(*)N，则 . （答： ） ；1210xx 10220x 10（2）在等比数列 中， 为其前 n 项和，若 ，则nnS
11、 4,33010SS的值为_（答：40）0S(3)若 ，则 为递增数列；若 , 则 为递减数列；若1,aqna1aqna，则 为递减数列；若 , 则 为递增数列；若1,0,，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.0qn1qn(4) 当 时， ，这里 ，但 ，1baqaSnn 0a,0ab是等比数列前 项和公式的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。nSn如若 是等比数列，且 ，则 （答：1）na3nSr(5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，mmnmSqnaqnnS若 成等差数列，则 的值为_（答：2 ）12,nn(6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数
12、 时，naS偶 奇 21.1Saq奇 偶(7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数n na数列 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。n如设数列 的前 项和为 （ ） ， 关于数列 有下列三个命题：若nanSNna，则 既是等差数列又是等比数列；若 ，)(1Nan RbaS、26 / 14则 是等差数列；若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序nannS1na号是 （答：）三、数列通项公式的求法一、公式法 )2(1nSan（ ； 等差、等比数列 公式.a例 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。n123nn12ana评注：本题解题的关键是把
13、递推关系式 转化为 ，说明数13n132n列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数2na ()n列 的通项公式。n二、累加法例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而12n12n求出 ，即得数列 的通项公式。1231()()()()nnaaaa na例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11nn， n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，123nna1231nna进而求出 ，即得数列 的122()()()()nna na通项公式。三、累乘法例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1
14、12()53nna， na评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而1()nn 12()5nn7 / 14求出 ，即得数列 的通项公式。13212naa na四、取倒数法例 已知数列 na中，其中 ,1，且当 n2 时， 12na，求通项公式 na。解 将 12na两边取倒数得： 1na，这说明 n是一个等差数列，首项是 1，公差为 2，所以 2)(n ，即 12a.五、待定系数法例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1235na152()nna从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数
15、列5nan的通项公式。n例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa， na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为13524nn，从而可知数列 是等比数列，进而11523(52)nnnaana求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。n六、对数变换法例 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nn，从而可知数列1lg3lglglgl()5()4164464n naa 是等比数列，进而求出数列 的通2llg2164na8 / 14项公式，最后再求出数列 的通项公式。na七、迭
16、代法例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n3(1)25nn， na评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nna1lg3()2lgnna1l3()2nna由累乘法可推知 ，从而(1)23!13212lllgl5nnn aa 。1()3!25na八、数学归纳法例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得。 。 。 。 。 。1228()3n19由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2(1)na（1）当 时， ，所以等式成立。21()89（2）假设当 时等式成立，
17、即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk。 。 。 。 。 。1228(1)3kak由此可知，当 时等式也成立。n根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN九、换元法9 / 14例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则24nnb2(1)nb故 ，代入 得。 。 。 。 。 。即11()nna142)6nnnaa2214(3)nb因为 ，故 则 ，即 ，240nnb110nnb13nb1nn可化为 ，13()nn所以 是以 为首项，以 为公比的等比数nb112432413a21列，因此 ，则 ，即 ，得3()nn()nb4()3na。
18、2()4nna十、构造等差、等比数列法 qpnn1； nnqpa1； )(1nfpa；a12.例 已知数列 中， 32,1nn，求数列 的通项公式.n n【解析】 )(31 .32411naa【反思归纳】递推关系形如“ qpnn1” 适用于待定系数法或特征根法：令 )(1nnap； 在 qnn1中令 pxan11， )(1xapnn；由 pann1得 pn1， )(1nna.例 已知数列 中， a32,1，求数列 的通项公式.【解析】 nn321， nn)(1，令 nb12221)()( bbbnn )3( nna2310 / 14【反思归纳】递推关系形如“ nnqpa1”通过适当变形可转化为
19、：“ qpann1”或“ f)(求解.十一、不动点法例 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11723na， na解：令 ，得 ，则 是函数 的不动点。723x240xx31()47xf因为 ，所以1513nnna。2()343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化124nanb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公12nnb3b3nb式，最后再求出数列 的通项公式。na四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn前 个正整数的和 n 2)(32前 个正整数的平方和 6)12(1nn前 个正整数的立方和 333 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数 的值；（2）等比数列公比 未知时，运用前 项和公式要分类。qn例 已知 ，求 的前 n 项和.3logl23x nxx32
