1、抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例 1如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那fx()37，么 在区间 上是( )fx()7，A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 5分析：画出满足题意的示意图，易知选 B。2、抽象函数的图像求不等式的解集例 2、已知定义在 上的偶函数 满足 ，并且Rf(x)f(2)0在 上为增函数。若 ，则实数 的取值范围 .f(x),0)1aa二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例 3已知函数 f(x)= ,且 f(x),g(x)定义域都是 R,且 g(x)1)(xg0, g(1)
2、 =2,g(x) 是增函数. .(m)n(n)m,)gR求证： f(x)是 R 上的增函数.解:设 x1x2因为，g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)0。故 g(x1) g(x2) 0。 g(x1)+1 g(x2)+1 0， 0 )(2xg)(1x- 0。)(2)(1gf(x1)- f(x2)= - =1- -(1- )(1x1)(2x1)(2xg1(2xgy 5 O -7 -3 3 7 x -5 = - 0。可以推出：f(x 1) f(x2)，所以 f(x)是 R 上1)(2xg)(的增函数。例 4已知 对一切 ，满足 ，且当fx()xy， ffxyfy()()()0，时， ，求证：（
3、1） 时， （2） 在 Rx01； fx(上为减函数。证明： 对一切 有 。且 ，令xyR， fxyfy()()f()0，得 ， 现设 ，则 ， ，而xy0f()1xxfx)1ffx()，设 且 ，ff)(101fx()xR12， x12则 021x， ff)221fffx()()211，即 为减函数。ff()1x()2.证明奇偶性例 5已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足fx()，求证： 是偶函数。fxyy()fx()分析：在 中，令 ，得ffx() y1f()(110令 ，得xyfff)()()10于是 ，故 是偶函数。fxx()( x三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的
4、运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不f等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例 6已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为fx()，增函数，满足 ，试确定 的取值范围。afa()242a解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， 在fx() fx()上是减函数，(，由 得 。214a35a（1）当 时， ，不等式不成立。fff()()(2402（2）当 时，3a23401)4()(222afff解 之 得 ，（3）当 时， 5fafa()()42，fa()2240145解 之 得 ，综上所述，所求 的取值范围是a()()325， ，
5、四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。f例 7已知函数 对任意 有 ，当fx()xyR， xfyfxy()()2时， ， ，求不等式 的解集。x0f235a)23解：设 且 ， 则 ， ，则xR12、 x12x210fx()21，f()210221()()ff211(2()fffx， 故 为增函数，xfx又 ff()()()3345211ffaf， 21a即 3a因此不等式 的解集为 。()|五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号” ，
6、三是利用函数单f调性去掉函数符号“ ”。f例 8.设函数 定义在 R 上，当 时， ，且对任意yx()x0fx()1，有 ，当 时 。 （1）证明mn， fnfmn()mn；f()01（2）证明： 在 R 上是增函数；（3）设fx()， Axyyf(| ()， 21，若 ，求BfabcabcRa)|( ， ， ， ， ， 0AB满足的条件。abc， ，解：（1）令 得 ， 或 。mn0ff()()f()f()01若 ，当 时，有 ，这与当 时，f()m0mn矛盾， 。ff()1（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ，x12x2fx()21x10，若 时， ，由fx()10fx110， ()f()
7、0，11()0)fxf2211()()fxfxffx(fR在 上 为 增 函 数 。（3）由 得fyf2y得 （2）faxbc()axbc0从（1） 、 （2）中消去 得 ，因为y()xacb20AB即 。()4222ccc例 9. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ,若 时，xf1,(1)f1,ab有 .（1）判断函数 在 上是增函数，还是减函数，()0fab(x)f,并证明你的结论；（2）解不等式： f(x+ ) f( ).21x解：（1）设任意 x1,x21,1,且 x10)12 f(x2)+f( x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数 f(x)在1，1上是增函数.（2）由不等式 f(x+ ) f( )得 ,解得21x12xx1 x0,即为所求. 例 10、已知设函数 定义在 的一切实数，对定义域的yfx()0x任意 都有 ，且当 时 ，12,x1212()fx1()0f，f()（1） 求证： ；(x)()ff（2） 在 上是增函数。(x)f0,)（3）解不等式 。22(3a4)xa84)2f
