1、高中数学必修 4 习题和复习参考题及对应答案A 组1、在 0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）265 ；（ 2）1000；（3）84310；（4）3900答案：（1）95，第二象限；（2）80，第一象限；（3）23650，第三象限；（4）300 ，第四象限说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角2、写出终边在 x 轴上的角的集合答案：S=|=k180，kZ说明：将终边相同的角用集合表示3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360 360的元素 写出来：（1）60；（2 ）75 ；（3 ）82430；（4）47
2、5；（ 5）90；（6）270；（7）180；（ 8）0答案：（1）|=60k360，kZ，300，60；（2）|=75k360，kZ，75，285；（3）|=82430k360，kZ，10430，25530；（4）|=475k360，kZ，245，115；（5）|=90k360，kZ，270，90；（6）|=270k360，kZ，90，270；（7）|=180k360，kZ，180，180；（8）|=k360，kZ， 360，0说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合答案：象限 角
3、度制 弧度制一 |k36090k360， kZ |22,kkZ二 |90k360180k360，kZ |三 |180k360270k360，kZ 3| ,2kk四 |270k360360k360，kZ 3|2Z说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合5、选择题：（1）已知 是锐角，那么 2是（ ）A第一象限角 B第二象限角C小于 180的正角 D第一或第二象限角（2）已知 是第一象限角，那么 是（ ） 、2A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D第一或第三象限角答案：（1）C说明：因为 090 ，所以 02 180（2）D说明：因为 k36090 k360，kZ ，所以 ，180451
4、802kkAAkZ当 k 为奇数时， 是第三象限角；当 k 为偶数时， 是第一象限角26、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于 1 弧度吗？为什么？答案：不等于 1 弧度这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为 1 弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长说明：了解弧度的概念7、把下列各角度化成弧度：（1）36；（2 ）150 ；（ 3）1095；（4）1440答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4）856712说明：能进行度与弧度的换算8、把下列各弧度化成度：（1） ；（2） ；（3）1.4；（4） 76103答案：（1）210；（2）600 ；（3）80.21；（4）38.2说明：能进行
5、弧度与度的换算9、要在半径 OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 AB 的长为112cm，求圆心角 AOB 是多少度（可用计算器，精确到 1） 答案：64说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式10、已知弧长 50cm 的弧所对圆心角为 200，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到 1cm） 答案：14cm说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的
6、面积 S1（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 S2，求 S1 与 S2 的比值；（2）要使 S1 与 S2 的比值为 0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到 10）？答案：（1） （略）（2）设扇子的圆心角为 ，由 ，可得 =0.618（2 ） ，2120.618()rS则 =0.764140说明：本题是一个数学实践活动题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：（黄金分割比）的道理120.68S2、 （1）时间经过 4 h（时） ，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，
7、钟的时针和分针一天内会重合 24 次、你认为这种说法是否正确？请说明理由（提示：从午夜零时算起，假设分针走了 t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合 n 次，建立 t 关于 n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间 ）答案：（1）时针转了120，等于 弧度；分针转了1440，等于8 弧度23（2）设经过 t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数因为分针旋转的角速度为 ，(rad/min)60时针旋转的角速度为 ，213所以 ，()30tn即 721t用计算机或计算器作出函数 的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到7201t时针与分针每次重合所需的时间n u
8、115 981.8216 1047.317 1112.718 1178.219 1243.620 1309.121 1374.522 1440.因为时针旋转一天所需的时间为 2460=1440（min） ，所以 ，于是72014nn22故时针与分针一天内只会重合 22 次说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是_度，即_ra
9、d如果大轮的转速为 180r/min（转/分） ，小轮的半径为 10.5cm，那么小轮周上一点每 1s 转过的弧长是_答案：864 ， ，151.2 cm245说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是 824360rad.5由于大齿轮的转速为 3r/s，所以小齿轮周上一点每 1s 转过的弧长是483210.5.2(cm)P20习题 1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1） ；（2） ；（3） ；（4）1500731426答案：（1） ；sin,cos,tan3（2） ；22i,t1（3） ；13sin,cos
10、,tan（4） i,t2说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求2、已知角 的终边上有一点的坐标是 P（3a，4a ） ，其中 a0，求 sin，cos ，tan 的三角函数值答案：当 a0 时， ；当 a0 时，434sin,cos,tan543sin,co,t5说明：根据定义求三角函数值3、计算：（1）6sin（90 ）3sin0 8sin27012cos180；（2）10cos2704sin0 9tan015cos360；（3） ；223costantsincosin4663（4） 2i答案：（1）10；（2）15；（3） ；（4） 29说明：求特殊角的三角
11、函数值4、化简：（1）asin0bcos90ctan180；（2）p 2cos180q 2sin90 2pqcos0；（3） ；3cosincosin2abab（4） 13t0is2mpqr答案：（1）0；（2） （pq） 2；（3） （ab） 2；（4）0说明：利用特殊角的三角函数值化简5、根据下列条件求函数的值3()sin)2sin()4cos2()44fxxx（1） ； （2） 3答案：（1）2；（2）2说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186； （2）tan505 ； （3）sin7.6；（4） ； （5）cos940； （6） 23tan
12、() 59cos()17答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号7、确定下列式子的符号：（1）tan125sin273；（2） ；tan08cos35（3） ；41itan6A（4） st62i3答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1） ；67sin()2（2） ；5ta4（3）cos39813 ；（4）tan76615答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求
13、出三角函数值9、求证：（1）角 为第二或第三象限角当且仅当 sintan0；（2）角 为第三或第四象限角当且仅当 costan0；（3）角 为第一或第四象限角当且仅当 ；sinta（4）角 为第一或第三象限角当且仅当 sincos0答案：（1）先证如果角 为第二或第三象限角，那么 sintan0当角 为第二象限角时，sin0，tan0，则 sintan0；当角 为第三象限角时，sin0，tan0，则 sintan0，所以如果角 为第二或第三象限角，那么 sintan0再证如果 sintan0，那么角 为第二或第三象限角因为 sintan0，即 sin0 且 tan0，或 sin0 且 tan0
14、，当 sin0 且 tan0 时，角 为第二象限角；当 sin0 且 tan0 时，角 为第三象限角，所以如果 sintan0，那么角 为第二或第三象限角综上所述，原命题成立（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号10、 （1）已知 ，且 为第四象限角，求 cos，tan 的值；3sin2（2）已知 ，且 为第二象限角，求 sin，tan 的值；5co1（3）已知 ，求 sin，cos 的值；3tan4（4）已知 cos=0.68，求 sin，tan 的值（计算结果保留两个有效数字） 答案：（1） ；,2（2） ；35（3）当 为第二象限角时， ，34s
15、in,cos5当 为第四象限角时， ；（4）当 为第一象限角时，sin=0.73，tan=1.1，当 为第四象限角时，sin=0.73，tan=1.1说明：要注意角 是第几象限角11、已知 ，求 cosx，tanx 的值1sin3x答案：当 x 为第三象限角时， ；22cos,tan34xx当 x 为第四象限角时， .,t说明：要分别对 x 是第三象限角和第四象限角进行讨论12、已知 ，求 cossin 的值3tan,2答案： 1(3)2说明：角 是特殊角13、求证：（1） ；2sinco1tanxx（2）tan 2sin 2=tan2sin2；（3） （cos1 ） 2sin 2=22cos
16、；（4）sin 4xcos 4x=12sin 2xcos2x答案：（1） ；(cosin)cosin1tasxx左 边（2） ；2222 211isin()i sitncococoxxxAAA左 边（3）左边=12coscos 2sin 2=22cos ；（4）左边=（sin 2xcos 2x） 22sin 2xcos2x=12sin 2xcos2x说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法B 组1、化简（1tan 2）cos 2答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式2、化简 ，其中 为第二象限角sin1si答
17、案：2tan说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简3、已知 tan=2，求 的值sinco答案：3说明：先转化为正切函数式4、从本节的例 7 可以看出， 就是 sin2xcos 2x=1 的一个变形你cos1inisx能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如 sin4xcos 4x=12sin 2xcos2x 也是 sin2xcos 2x=1 的一个变形；是 sin2x cos2x=1 和 的变形；等等21tancossintaco说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形P29习题 1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：
18、（1）cos210=_；（2）sin26342=_ ；（3） _；cos()6（4） =_；5in（5） _；1cs()9（6）cos（10426）=_；（7）tan63224=_；（8） _tan答案：（1）cos30；（2）sin8342（3） ；cos6（4） ；in（5） ；2cs9（6）cos7534 ；（7）tan8736；（8） tan说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数2、用诱导公式求下列三角函数值：（1） ；7cos()4（2）sin（1574 ） ；（3）sin（216052 ） ；（4）cos（175136） ；（5）cos16158 ；（6） 2sin()3答案：（1）
19、 ；（2）0.7193；（3）0.0151；（4）0.6639；（5）0.9964；（6） 2说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值3、化简：（1）sin（1071 ）sin99sin（171 ）sin（261） ；（2）1sin（2）sin（ ）2cos 2（ ） 答案：（1）0；（2）cos 2说明：先利用诱导公式转化为角 的三角函数，再进一步化简4、求证：（1）sin（360 ）=sin；（2）cos（360）=cos；（3）tan（360）=tan 答案：（1）sin（360 ）=sin（ ）=sin；（2）略；（3）略说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式B 组1、计算：（1）sin420cos750sin （ 330）cos（660） ；（2）tan675tan765tan（330 ）tan（690） ；（3） 525sincostan()634答案：（1）1；（2）0；（3）0说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值2、已知 ，计算：1sin()2（1）sin（5 ） ；
