1、第 1 页,共 13 页南模中学 2015 届高三第一学期期中考试数学学科（理）试卷 一、填空题：(每题 4 分)1.函数 的反函数是 _.23)(0fx1()fx2. 已知 ，且 ，则 的值为 1sincos,2cos2in()43. 函数 ,方程 在33()si()cos()2fxxx0fk上有两个不等的实根,则实数 的取值范围为 .0k4.关于函数 有下列命题：()sincs2fxx函数 的最小正周期为 ；y直线 是 的一条对称轴；4x()fx点 是 的图象的一个对称中心；(,0)8y将 的图象向左平移 个单位，可得到 的图fx42sinyx象其中真命题的序号是 .5. 某船在 A 处看
2、灯塔 S 在北偏东 30方向，它以每小时 18 海里的速度向正北方向航行，经过 40 分钟航行到 B 处，看灯塔 S 在北偏东 75方向，则此时该船到灯塔 S 的距离约为 海里. 6. 设 是自然数集的一个非空子集，对于 ,如果 ，且kA2那么 是 A 的一个“酷元”,给定集合k,设集合 M 由集合 中的两个元素构成，2lg(36),SxyxNS第 2 页,共 13 页且集合 M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合 M 有 个7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是 和32. 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B. 设甲、乙两组的研发53相互独立. 若新产品
3、 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润 100 万元. 则该企业可获利润的数学期望为 万元. 8. .设函数 ,则()sinfxx.1240267()()0414f ffL9.对于函数 ,若在定义域内存在实数 ,满足 ,则称()fxx()(ffx为 “局部奇函数”若 是定义在 上的“ 局部奇函()f ()2fm1,数”，则实数 的取值范围是 .m10.若不等式 在 内恒成立，23log0ax1(,)3x则 的取值范围是 a11.设 ，则 的最大值为 .180,2yyx2y12. 已知偶函数 满足对任意的 均有 ,且()fxR(1)(3)fxf,
4、若方程 恰有 5 个实数解,则实数2101()(mxf3)f的取值范围是 .13.已知函数 , ,若对于任一实数2()(4)fxmx()gxx与 至少有一个为正数，则实数 的取值范围是 .()fg14.已知函数 ,且关于 的不等式()fxax()(fxaf第 3 页,共 13 页的解集为 ,若 ,则实数 的取值范围是 .A1,2Aa二、选择题: (每题 5 分)15. 如果对于任意实数 ， 表示不超过 的最大整数. 例如 xx， .那么“ ”是“ ”的（ ）3.270.6y1A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件16.下列函数中，既是偶函数，又在区间 内是增
5、函数的为 1,2（ ）A. B. 2logxycosyxC. D. x 2lg17. 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 a，b，c，给出下列命题：ABC ，则 sinAsinBsinC；必存在 A，B，C，使 tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC 成立；若 tanAtanB1，则ABC 一定是钝角三角形；若 a=40，b=20 ，B=25 ， ABC 必有两解其中真命题个数为（ ）A0 B1 C2 D318.已知函数21(1),),0,.36xxf函数 ,若存在 ,()sin()2()gxaxa12,0x使得 成立,则实数 a 的取值范围是（ ）1fA B C D4
6、,2310,24,3,12第 4 页,共 13 页南模中学 2015 届高三第一学期期中考试数学学科（理）答题卷 一、填空题（每题 4 分） 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、选择题（每题 5 分） 15. 16. 17. 18. 三、解答题：19. （本题 12 分） 函数 的定义域为集合 A,关于 的2()log1xfxx不等式 的解集为 B,求使 的实数 的取221()axxaRABa值范围. 得 分得 分第 5 页,共 13 页20、 （本题 14 分）已知函数 ,231()sincos2fxx（1）求函数 在 的最大值和最
7、小值,并给出取得最值时的 值;()fx0x（2）设 ABC的内角 、 B、 C的对边分别为 a， b， c，且 3，()0f，若 sin2i，求 a， b的值21、 （本题 14 分）已知函数 , 22()()6xxfeaxR(1)求 的最小值; (2)若函数 在 上存在零点,求实数 的取值范围.()fxRa第 6 页,共 13 页22. （本题 16 分）已知函数 ,()2fxaxR(1)若 ,判断函数 的奇偶性，并说明理由；0ay(2）若函数 在 上是增函数，求实数的取值 范围；()fxR(3）若存在实数 ,使得关于 的方程 有三个不2x()20fta相等的实数根，求实数 的取值范围t第
8、7 页,共 13 页23.（本题 18 分）已知函数 ， ，如果对于定义域 D 内的任意()yfxD实数 ，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数 T，恒有xm成立，则称函数 是 D 上的 级类增周期函数，()(fTffm周期为 T若恒有 成立，则称函数 是 D 上的 级类周)(xTf()fx期函数,周期为 T(1)已知函数 是 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数，2()fa3,)求实数 的取值范围；a(2)已知 T=1， 是 上 级类周期函数，且 是 yfx0,m()yfx上的单调递增函数 ,当 时, ，求实数 的取值范围；0,)1)(xfm(3)是否存在实数 ，使函数 是 R 上的周期为
9、 T 的 T 级类周期k(cosfk函数，若存在，求出实数 和 的值，若不存在，说明理由T南模中学 2015 届高三第一学期期中考试数学学科（理）答案 1. - 2. 3. 4. 32(0)x1423,)5. 6. 5 7. 140 8. 4027 69. 10. 11. 18 5,14,)712. 8341837(,(,)6613. 14. （-1,0）0,)15.A 16.D 17.C 18. A19.第 8 页,共 13 页20第 9 页,共 13 页第 10 页,共 13 页22. 考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： （1）若 a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论解答： 解：（1）函数 y=f（x）为奇函数当 a=0 时，f （ x）=x|x|+2x ，f（ x）= x|x|2x=f（x） ，函数 y=f（x）为奇函数；（2）f（x）= ，当 x2a 时，f（x）的对称轴为：x=a1；当 x2a 时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；当 a12aa+1 时，f （x）在 R 上是增函数，
