1、 知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 1 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导导数各种题型及解法总结基础知识梳理1. 常见题型一、 小题：1. 函数的图象2. 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3. 分段函数求函数值；4. 函数的定义域、值域（最值） ；5. 函数的零点；6. 抽象函数；二、大题：1. 求曲线 在某点处的切线的方程； ()yfx=2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间； 4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域； 6. 求参数的取值范围7.
2、 证明不等式； 8. 函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为 。()yfx0 0()fx 000()()yfxfx(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。x(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。()f()f（ ） ()f(4)函数 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ 不恒为 0）.fx xI0()fx(5)函数 （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程()f在区间 I 上有实根且为非二重根。 （若 为二次函数且 I=R，则有 ） 。(
3、)0 (6) 在区间 I 上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到 或f ()fx ()f0在 I 上恒成立x(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则“()fmin0xI()fmax()f(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则 .00xax()f00fxin0(9)设 与 的定义域的交集为 D，若 D 恒成立，则有()fgfg.minx(10)若对 、 ， 恒成立，则 .1I2xI12()fgminax()()fx若对 ， ，使得 ,则 .()xin若对 ， ，使得 ，则 .12faxaxfg（11）已知 在区间 上的值域为 A,， 在区间 上值域为 B，()f1I I若对
4、, ，使得 = 成立，则 。x21()f2gA(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于 0，极小值小于 0.0x12、(13)证题中常用的不等式: lnln+()x（ ） 1xe 1xe()x223. 解题方法规律总结1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：子区间法；分离参数法；构造函数法。知识改变命运 学习成就未来 知识
5、改变命运，学习成就未来第 2 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数 n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的 13）
6、 ，确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关） ，再对自变量 x 赋值，令 x 分别等于 1、2、. 、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。 ）5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；0)(xf其中不等式恒成立问题
7、的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D 上，()yfx()fxf ()gx恒成立，则称函数 在区间 D 上为“凸函数 ”，已知实数 m 是常数，()0gx()yfx4326mf（1）若 在区间 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；()yf0,（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数” ，求 的最大值.()fx,abba解:由函数
8、 得 432()16xxf32()f2()3gxm（1） 在区间 上为“凸函数” ，则 在区间0,3上恒成立 y0, 20解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 max()0()309g解法二：分离变量法： 当 时, 恒成立,0x2()3gxm当 时, 恒成立30等价于 的最大值（ ）恒成立，23x而 （ ）是增函数，则 ()hx03xma()2hm(2)当 时 在区间 上都为“凸函数” 则等价于当 时 恒成mf,ab2()30gx立 变更主元法知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 3 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活
9、力！培英堂教育个性化课外辅导再等价于 在 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）2()30Fmx2m2()0301Fxx 2ba例 2：设函数 ),1(3231)(2Rbaxaxf （）求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围. ,)f（二次函数区间最值的例子）解：（） 22()43faxa01a令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf)(xf令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3a，+ ）当 x=a 时， 极小值 = 当 x=3a 时， 极大值 =b. f;43b)(xf（）由| |a，得：对任意的 恒成立)(xf ,2,1x2243
10、a则等价于 这个二次函数 的对称轴 gmain()g 2()43gxa2xa（放缩法）01,即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。()x上是增函数. 22431,gaxa、 min()()4.于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于,241.(1)5gaa、又 ,0.15点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题型)(xgf0)()(xgfxh例 3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，32a1,Pb326()10tgxtt（）求 的值； （）当 时，求 的值域；
11、,ab,4x()fx（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。4()fg解：（） ， 解得 /2()3fxa/13ba32ab-2 23aa()fa 3a2xa1,2知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 4 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减()fx1,00,22,4又 的值域是(1)4,0,24()6f f()fx16（）令 231,4thfgx思路 1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量()x()0h2()t思路 2：二
12、次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型)(0)(xff或解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与 “函数的单调减区间是（a,b ） ”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 ，函数 Raxaxxf )14(21)(3（）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；gf（）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围f),解： . 4()(41)(2 axxf（） 是偶函数， . 此时 ， ，
13、1xxf312)(341)(2xf令 ，解得： . 0)(xf 3x列表如下：(,2 ) 2 (2 ,2 ) 2 (2 ,+)f+ 0 0 +x递增 极大值 递减 极小值 递增可知： 的极大值为 ， 的极小值为 . (f 34)(f ()fx34)(f（）函数 是 上的单调函数，), ，在给定区间 R 上恒成立判别式法21104fxax则 解得： . 2()()a， 02a综上， 的取值范围是 . 例 5、已知函数 321()()(1).fxx（I）求 的单调区间； （II）若 在0 ，1上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想f（I） 2()()().faa1、 当且仅当 时取“=”号， 单
14、调递增。20,0,afx当 时 恒 成 立 1x(),)fx在2、 122(), ,x当 时 由 得 且单调增区间： (,)()a单调增区间： 1（II）当 则 是上述增区间的子集：)0,f在 上 单 调 递 增 0,11、 时， 单调递增 符合题意a()x在a-1-1 fx知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 5 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导2、 ， 0,1,a10a1a综上，a 的取值范围是0，1。 三、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方
15、程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围fg解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)1()(2 )(f),2( 在区间 上恒成立（分离变量法）0)(2f ,即 恒成立，又 ， ，
16、故 的取值范围为 k1k1k（2）设 ，32)(3)(xxgfxh1()(2 k令 得 或 由（1）知 ，0k1当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意k0)(2x)(xh当 时， ， 随 的变化情况如下表：)h,kk)1,(k),1( 0)x 极大值 3263 极小值 2由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，故021k)(fg 0)(xh需 ，即 ，解得3630)12kk212k31k综上，所求 的取值范围为k3根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数 321()fxaxc（1）若 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2(
17、)gbd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒有含 x的三个不同交点？若存在，求出实数 的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网解：（1） f的图像过原点，则 ，(0)fc2()3fa又 是 ()的极值点，则 3121aa2()332)fx 23-1()fx知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 6 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导3()12fxf、 2()37fxf、（2）设函数 g的图像与函数 的图像恒存在含 1x的三个不同
18、交点，等价于 有含 的三个根，即：()fx()(1)2fgdb整理得：32211()xb即： 恒有含 的三个不等实根()0x1x（计算难点来了：） 有含 的根，32()()()0hxbb1x则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解，()hx1、3221()()x1() 0xbb221()()x十字相乘法分解： ()10xb21()()2xb恒有含 的三个不等实根3211()()0xbxb等价于 有两个不等于-1 的不等实根。222(1)4(1)0b(,1)(,3,)b题 2：切线的条数问题=以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 7、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围为3
19、2()fxac ()0fx，求：（ 1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取(,3) (1,)Pmym值范围（1）由题意得： ()3,()fxbaxa在 上 ；在 上 ；在 上(,0(1,)(0f3(0fx因此 在 处取得极小值fx4 ， ， 4abc2fc()276fbc由联立得： ， 69abc32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,yftt23231()y t21(69txtt知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 7 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导过2
20、2(319)(6)txtt(1,)m3m32190gttm令 ，)60gttt求得： ，方程 有三个根。,()g需： (102)129461故： ；因此所求实数 的范围为：6m(,)题 3：已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数()fx解法：根分布或判别式法例 8、解：函数的定义域为 （）当 m4 时，f (x) x3 x210x ，R13 72x 27x10，令 ， 解得 或 .()f ()0fx5,令 ， 解得05可知函数 f(x)的单调递增区间为 和（5，） ，单调递减区间为 ,22,5（） x 2(m3)x m6, 要使函数 yf (x)在（1，）有两个极值点, x
21、2(m3)xm6=0 的根在（1，）)f根分布问题：则 ， 解得 m32(3)4(6)0;1.fm例 9、已知函数 ， （1）求 的单231)(xaxf)0,(aR)(xf调区间；（2）令 x4f （x） （x R）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围()g1解：（1） )(2 axf当 时，令 解得 ，令 解得 ，0a0)f 01、0)(xf 01x所以 的递增区间为 ，递减区间为 .)(f ),(,(a,a当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .)xf )(、 ),(),(a（2） 有且仅有 3 个极值点4321)(gx=0 有 3 个根，则 或 ，23(1)aa 0x210
22、x2方程 有两个非零实根，所以2024,a1知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 8 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导或2a而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点()ygx其它例题1、 （最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数 在R32()fxaxb）（ 0a区间 上的最大值是 5，最小值是11.2,（）求函数 的解析式；()fx（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.1,t 0(txf） x解：（） 32 2,()34(34)abfa令 =0,得 ()fx140,1因为
23、，所以可得下表：2,0 0,1()fx+ 0 - 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，)0(f 50）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 162aa.23x）（） ， 等价于 ， xxf43)(2 0(txf） 04t令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，tg)g,t x为此只需 ，即 ， 0)1（ 52解得 ，所以所求实数 的取值范围是0，1.0xx2、 （根分布与线性规划例子）（1）已知函数 32()fabc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求x1(0,1)30xy的解析式；xf() 当 在 取得极大值且在 取得极小值
24、时, 设点 所在平面区)(0,)(12)x(2,1)Mba域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.解： (). 由 , 函数 在 时有极值 , 2fxab)f20a 又 在 处的切线与直线 平行,()11c(0,)3xy 故 . 7 分03f231fx() 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()xaxb()f(,)(12)知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 9 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导 即 令 , 则 (0)12
25、ff0248ba()Mxy21xbya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 , , , , , (20)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 所求一条直线 L 的方程为: 3DEABES四 边 形 0x另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它与ykAC,BC 分别交于 F、G, 则 , 0k1四 边 形 GF由 得点 F 的横坐标为: 2ykx 2xk由 得点 G 的横坐标为: 460641G 即 OEFDSS四 边 形 DEGF13221kk265
26、0k解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 12k58kyx综上,所求直线方程为: 或 .12 分0xyx() 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()fab()f(0,1)(12) 即 令 , 则 0)1(2ff480Mxyxbya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx26xy易得 , , , , , (20)A(1)B(,2)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 所求一条直线 L 的方程为: 3DEABES四 边 形 0x另一种情况由于直线 BO 方程为 : , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 2yx由 得直线 L 与
27、AC 交点为: 120yx 1(,)2 , , ABCS12DECS12HABOHSS 所求直线方程为: 或 xyx知识改变命运 学习成就未来 知识改变命运，学习成就未来第 10 页 /共 11 页 胸中有了超越的目标，就会充满激情，学习就会充满动力，生活就会充满活力！培英堂教育个性化课外辅导3、 （根的个数问题）已知函数 的图象如图所示。32f(x)ab(c3ab)xd (a0)（）求 的值；cd、（）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，f),f23xy10求函数 f ( x )的解析式；（）若 方程 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。05,(8解：由题知： 23axb+c-3a（）
28、由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且 = 01f得 dd（）依题意 = 3 且 f ( 2 ) = 5f解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 312432865ab（）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 = 0 b = 9a f f若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3 a3 1所以 当 a3 时，方程 f ( x ) =
29、 8a 有三个不同的根。 12 分14、 （根的个数问题）已知函数 32()xR（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；()fx12,1a()fx（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数a()fx25()(216ga解：（1） 2()fa112,x2211244xx022()fxax令 得 令 得0f,或 ()f 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 5 分()(,), ,1（2）由题 得 即()fxg32215()6xaxax3211()06xa令 6 分31)(6令 得 或 7 分2()()()0a当 即 时aa1此时， ， ，有一个交点； 9802当 即 时，a1ax(2,)a2(2,1)a () 0x2(2,1)()98a
