1、 惠州市 2015 届高三第一次调研考试数 学 (理科） 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小
2、题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1复数 iz（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）.A2.Bi21 .C 21 .D i21 2已知集合 ,Rxy， xB，则下列结论正确的是（ ）.3.3 . A . AB3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 901、 、 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A15.B20 .C 25 .D 3 4已知等差数列 na的前项和为 nS，若 5418a，则 8S ( ).8.36 . . 72 5在二项式 52)1(x的展开式中，含 4x的
3、项的系数是（ ）.A10.B0 .C 5 .D 0 6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.3.12 . 24 . 7已知 yx,都是区间 ,0内任取的一个实数，则使得 xysin的取值的概率是（ ） .A24.B .C 21 .D 28已知向量 a与 b的夹角为 ，定义 ba为 与 的“向量积” ，且 ba是一个向量，43233正视图 侧视图俯视图它的长度 sinba，若 (2,0)ur， (1,3)vr，则 )(vu（ ）.A34.B3 .C 6 .D 2二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至 1
4、3 题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数 3log(2)yx的定义域是 .10以抛物线 4的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为 2 的双曲线方程是 .11用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量 yx,满足 10，则 yx的最大值是 .13函数 )(f的定义域为， 2)(f，对任意 Rx， 2)(f，则 42)(xf的解集为 .（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14 （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中， BA， 分别是直线05sinco和圆 2上的动点，则 ， 两点之间距离的最小值是 .15(几
5、何证明选讲选做题)如图所示， O是等腰三角形，是底边 AB延长线上一点，且 3PO， 4，则腰长 A= . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 ）16 （本小题满分12分）已知 02cossinx. (1)求 ta的值； (2)求 xsin)4c(的值A POB17 （本小题满分 12 分）去年 2 月 29 日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在05为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 ,1，
6、 5,2， ,35， ,4，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（注：设样本数据第组的频率为 ip，第组区间的中点值为 ix1,23,n ，则样本数据的平均值为 123nXxxp .）(3) 如果空气质量指数不超过 5，就认定空气质量为“特优等级” ，则从这一年的监测数据中随机抽取 3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布列和数学期望.18.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 1ABC中，平面 1ABC侧面 1，且 12AB(1) 求证： ；(2) 若直线 与平面 1所成的角为 6，求锐
7、二面角 1C的大小。19 （本小题满分 14 分）BA1CAB1C1空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O 5 15 25 35 45a已知数列 na中， 13，前项和 1()12nnSa(1) 求数列 的通项公式；(2) 设数列 1na:的前项和为 nT，是否存在实数 M，使得 nT对一切正整数都成立？若存在，求出 M的最小值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 14 分）椭圆2:1xyCab(0)的离心率为 12，其左焦点到点 (2,1)P的距离为 0(1) 求椭圆 的标准方程；(2) 若直线 :lykxm与椭圆 C相交于 AB、 两点( 、 不是左右顶点)，且以 AB为
8、直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标21 （本小题满分 14 分）已知关于的函数 321()fxbxc，其导函数为 ()fx记函数()gxf在区间 ,上的最大值为 M(1) 如果函数 ()x在 1处有极值 43，试确定 bc、 的值；(2) 若 1b，证明对任意的，都有 2；(3) 若 Mk对任意的 bc、 恒成立，试求 k的最大值F2OxyPABF1 A2l惠州市 2015 届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C B D A C A D1. 【解析
9、】化简得 iz2，则虚部为 21，故选2. 【解析】已知集合 ),3(A),B,故选3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 4:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为 204350人，故选4. 【解析 】由题意 1854a，等差数列中 8154aa，所以72)(854aS，故选5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为 rrxC3105)(，则 r得 2，所以含 4x项的系数为 10)(25C，故选6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图 34(34)2V，故选 C7. 【 解析】此题为几何概型，事件 A 的度量为函数 sinyx的图像在 0,
10、2内与轴围成的图形的面积，即 20sin1Sxd，则事件 A 的概率为 14Ps，故选8.【解析】由题意 ()1,3)vu，则 (3,)uv， 3cos,2uv，得 sin,2，由定义知 1()sin,232uvuv:，故选3243第 6 题图二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题9 ),32( 10213yx1112 12 3 13 (1,) 14115 59. 【解析】由 02x得 3，则定义域为： ),32( 10 【解析】抛物线焦点 (1,)，则双曲线中： 1a，且 cea，得 2，又22cab得 3，则双曲线的标准方程为：2
11、13yx11 【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是 2 或 4，当末位是时，前三位将， ，三个数字任意排列，则有 36A种排法，末位为时一样有 36A种，两类共有：321种，故共有没有重复数字的偶数 12个。12 【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数 zxy在点 (2,)B取得最大值， 代入得 3xy，故 xy的最大值为 3。13 【解析】设函数 ()4gfx，则 ()20gf，得函数 ()g在上为增函数，且 (1)2(1)0f，所以当 ()4fx时，有 ()x，得x，故不等式 ()4fx的解集为 (,)14 【解析】由题意，直线 :50ly，圆的标准方程 22(1)xy，
12、则圆心(0,1)到直线 l的距离为 2，且圆半径 1r，故 minABdr15 【解析】以 O为圆心，以 A为半径作圆，则圆 O经过点，即 ，设P与圆 交于点 C且延长 交圆 与点，由切割线定理知 PDC:，即(3)4r，OC BA11-1xyy=-x得 5r，所以 5OAr三、解答题：16 （本小题满分 12 分）解：（1） sin2cos0x，则 cos02x -1 分 ta -2 分 2ttn1ax-4分 243 -5分（2） 原式2cosin2sixx-7 分(cosin)(coin)sx -9 分 sinx-10 分 1ta -11 分 4-12 分17 （本小题满分 12 分）(1
13、) 解 ：由题意，得 0.230.18a， 1分解得 .a. 2分（2）解： 50个样本中空气质量指数的平均值为 .21.320.3.18402.6X3A B POCD分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6. 4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 5,1内为“特优等级” ，且指数达到“特优等级”的概率为 0.2，则 3,B:. 5分的取值为 0,123， 6分3046512PC， 21348515PC，235，32. 10 分 的分布列为：11 分 64812301255E. 12 分（或者 3）18 （本小题满分 14 分）解：（1）证明：如右图，
14、取 1AB的中点，连接 AD， 1 分因 ，则 1 2 分由平面 1C侧面 ，且平面 1BC侧面 1AB1，3 分得 1ADB、，又 平面 1A， 所以 C. 4 分因为三棱柱 1是直三棱柱，03648125BA1CAB1C1DE则 1ABC、，所以 .又 1=D，从而 侧面 1AB ，又 AB侧面 1，故 C. 7 分（2）解法一：连接 C，由（ 1）可知 1、，则 D是 在 1ABC、内的射影 AD即为直线 C与 1AB、所成的角，则 =6D 8 分在等腰直角 1B中， 12，且点是 1中点 2AD，且 =ADC， 6 2AC 9 分过点 A 作 1EC于点，连 DE由（1）知 AB、，则
15、 1AC，且 EDA 即为二面角 1B的一个平面角 10 分且直角 1AC中： 1263ACE:又 =2D， 23sin6AE，且二面角 1ACB为锐二面角 =3AED，即二面角 1的大小为 3 14 分解法二（向量法）：由（1）知 ABC且 1ABC、，所以以点为原点，以1BC、所在直线分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，且设 a，则(0,2)A， (0,)， (,0)a， 1(,)(,)BCa， 1(,2)BA， (,2)AC， 1(0,2)A9 分设平面 1A的一个法向量 1(,)nxyz由 BCn， 1 得：02xayz令 y ，得 0,1xz，则 (0,1)n10 分设直线 AC与 1B、所成的角为 ，则 6得 211sin64a:，解得 2a，即 (,20)AC12 分又设平面 1AC的一个法向量为 2n，同理可得， 2(1,)n设锐二面角 B的大小为，则 1212cos,n:，且 (0,)2，得 3 锐二面角 1ACB的大小为 。 14 分19 （本小题满分 14 分）解：（1） （解法一） 1()12nnSa 1 nna
