广东惠州第一次考试数学理.doc

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1、 惠州市 2015 届高三第一次调研考试数 学 (理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小

2、题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1复数 iz(其中为虚数单位)的虚部是 ( ).A2.Bi21 .C 21 .D i21 2已知集合 ,Rxy, xB,则下列结论正确的是( ).3.3 . A . AB3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 901、 、 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ).A15.B20 .C 25 .D 3 4已知等差数列 na的前项和为 nS,若 5418a,则 8S ( ).8.36 . . 72 5在二项式 52)1(x的展开式中,含 4x的

3、项的系数是( ).A10.B0 .C 5 .D 0 6若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于( ).3.12 . 24 . 7已知 yx,都是区间 ,0内任取的一个实数,则使得 xysin的取值的概率是( ) .A24.B .C 21 .D 28已知向量 a与 b的夹角为 ,定义 ba为 与 的“向量积” ,且 ba是一个向量,43233正视图 侧视图俯视图它的长度 sinba,若 (2,0)ur, (1,3)vr,则 )(vu( ).A34.B3 .C 6 .D 2二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分每小题 5 分,满分 30 分)(一)必做题:第 9 至 1

4、3 题为必做题,每道试题考生都必须作答9 函数 3log(2)yx的定义域是 .10以抛物线 4的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 .11用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有_个.12设变量 yx,满足 10,则 yx的最大值是 .13函数 )(f的定义域为, 2)(f,对任意 Rx, 2)(f,则 42)(xf的解集为 .(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。14 (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中, BA, 分别是直线05sinco和圆 2上的动点,则 , 两点之间距离的最小值是 .15(几

5、何证明选讲选做题)如图所示, O是等腰三角形,是底边 AB延长线上一点,且 3PO, 4,则腰长 A= . 三、解答题:(本大题共6小题,满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 )16 (本小题满分12分)已知 02cossinx. (1)求 ta的值; (2)求 xsin)4c(的值A POB17 (本小题满分 12 分)去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在05为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ,1,

6、 5,2, ,35, ,4,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.(1) 求的值;(2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值;(注:设样本数据第组的频率为 ip,第组区间的中点值为 ix1,23,n ,则样本数据的平均值为 123nXxxp .)(3) 如果空气质量指数不超过 5,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数据中随机抽取 3天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ,求 的分布列和数学期望.18.(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 1ABC中,平面 1ABC侧面 1,且 12AB(1) 求证: ;(2) 若直线 与平面 1所成的角为 6,求锐

7、二面角 1C的大小。19 (本小题满分 14 分)BA1CAB1C1空气质量指数频率组距0.0320.0200.018O 5 15 25 35 45a已知数列 na中, 13,前项和 1()12nnSa(1) 求数列 的通项公式;(2) 设数列 1na:的前项和为 nT,是否存在实数 M,使得 nT对一切正整数都成立?若存在,求出 M的最小值;若不存在,请说明理由20 (本小题满分 14 分)椭圆2:1xyCab(0)的离心率为 12,其左焦点到点 (2,1)P的距离为 0(1) 求椭圆 的标准方程;(2) 若直线 :lykxm与椭圆 C相交于 AB、 两点( 、 不是左右顶点),且以 AB为

8、直径的圆过椭圆 的右顶点,求证:直线 l过定点,并求出该定点的坐标21 (本小题满分 14 分)已知关于的函数 321()fxbxc,其导函数为 ()fx记函数()gxf在区间 ,上的最大值为 M(1) 如果函数 ()x在 1处有极值 43,试确定 bc、 的值;(2) 若 1b,证明对任意的,都有 2;(3) 若 Mk对任意的 bc、 恒成立,试求 k的最大值F2OxyPABF1 A2l惠州市 2015 届高三第一次调研考试数学 (理科)参考答案与评分标准一选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C B D A C A D1. 【解析

9、】化简得 iz2,则虚部为 21,故选2. 【解析】已知集合 ),3(A),B,故选3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 4:3,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人数为 204350人,故选4. 【解析 】由题意 1854a,等差数列中 8154aa,所以72)(854aS,故选5. 【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为 rrxC3105)(,则 r得 2,所以含 4x项的系数为 10)(25C,故选6. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,如图 34(34)2V,故选 C7. 【 解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 sinyx的图像在 0,

10、2内与轴围成的图形的面积,即 20sin1Sxd,则事件 A 的概率为 14Ps,故选8.【解析】由题意 ()1,3)vu,则 (3,)uv, 3cos,2uv,得 sin,2,由定义知 1()sin,232uvuv:,故选3243第 6 题图二填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分其中 1415 题是选做题,考生只能选做一题9 ),32( 10213yx1112 12 3 13 (1,) 14115 59. 【解析】由 02x得 3,则定义域为: ),32( 10 【解析】抛物线焦点 (1,),则双曲线中: 1a,且 cea,得 2,又22cab得 3,则双曲线的标准方程为:2

11、13yx11 【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4,当末位是时,前三位将, ,三个数字任意排列,则有 36A种排法,末位为时一样有 36A种,两类共有:321种,故共有没有重复数字的偶数 12个。12 【解析】由约束条件画出可行域如图所示,则目标函数 zxy在点 (2,)B取得最大值, 代入得 3xy,故 xy的最大值为 3。13 【解析】设函数 ()4gfx,则 ()20gf,得函数 ()g在上为增函数,且 (1)2(1)0f,所以当 ()4fx时,有 ()x,得x,故不等式 ()4fx的解集为 (,)14 【解析】由题意,直线 :50ly,圆的标准方程 22(1)xy,

12、则圆心(0,1)到直线 l的距离为 2,且圆半径 1r,故 minABdr15 【解析】以 O为圆心,以 A为半径作圆,则圆 O经过点,即 ,设P与圆 交于点 C且延长 交圆 与点,由切割线定理知 PDC:,即(3)4r,OC BA11-1xyy=-x得 5r,所以 5OAr三、解答题:16 (本小题满分 12 分)解:(1) sin2cos0x,则 cos02x -1 分 ta -2 分 2ttn1ax-4分 243 -5分(2) 原式2cosin2sixx-7 分(cosin)(coin)sx -9 分 sinx-10 分 1ta -11 分 4-12 分17 (本小题满分 12 分)(1

13、) 解 :由题意,得 0.230.18a, 1分解得 .a. 2分(2)解: 50个样本中空气质量指数的平均值为 .21.320.3.18402.6X3A B POCD分由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6. 4分(3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 5,1内为“特优等级” ,且指数达到“特优等级”的概率为 0.2,则 3,B:. 5分的取值为 0,123, 6分3046512PC, 21348515PC,235,32. 10 分 的分布列为:11 分 64812301255E. 12 分(或者 3)18 (本小题满分 14 分)解:(1)证明:如右图,

14、取 1AB的中点,连接 AD, 1 分因 ,则 1 2 分由平面 1C侧面 ,且平面 1BC侧面 1AB1,3 分得 1ADB、,又 平面 1A, 所以 C. 4 分因为三棱柱 1是直三棱柱,03648125BA1CAB1C1DE则 1ABC、,所以 .又 1=D,从而 侧面 1AB ,又 AB侧面 1,故 C. 7 分(2)解法一:连接 C,由( 1)可知 1、,则 D是 在 1ABC、内的射影 AD即为直线 C与 1AB、所成的角,则 =6D 8 分在等腰直角 1B中, 12,且点是 1中点 2AD,且 =ADC, 6 2AC 9 分过点 A 作 1EC于点,连 DE由(1)知 AB、,则

15、 1AC,且 EDA 即为二面角 1B的一个平面角 10 分且直角 1AC中: 1263ACE:又 =2D, 23sin6AE,且二面角 1ACB为锐二面角 =3AED,即二面角 1的大小为 3 14 分解法二(向量法):由(1)知 ABC且 1ABC、,所以以点为原点,以1BC、所在直线分别为 ,xyz轴建立空间直角坐标系 xyz,如图所示,且设 a,则(0,2)A, (0,), (,0)a, 1(,)(,)BCa, 1(,2)BA, (,2)AC, 1(0,2)A9 分设平面 1A的一个法向量 1(,)nxyz由 BCn, 1 得:02xayz令 y ,得 0,1xz,则 (0,1)n10 分设直线 AC与 1B、所成的角为 ,则 6得 211sin64a:,解得 2a,即 (,20)AC12 分又设平面 1AC的一个法向量为 2n,同理可得, 2(1,)n设锐二面角 B的大小为,则 1212cos,n:,且 (0,)2,得 3 锐二面角 1ACB的大小为 。 14 分19 (本小题满分 14 分)解:(1) (解法一) 1()12nnSa 1 nna

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