1、三角函数【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.x逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为 360kZA轴上角：x18k轴上角：y90k3、第一象限角： 369036kkZAA第二象限角： 18 第三象限角： 180270kk 第四象限角： 273636Z AA4、区分第一象限角、锐角以及小于 的角90第一象限角： 0kk锐角： 小于 的角： 9090任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角图像和性质和角公式 倍角
2、公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用5、若 为第二象限角，那么 为第几象限角？2kk2 kk24,4,0 ,35,1所以 在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 弧度的圆心角，记作 .rad7、角度与弧度的转化： 01745.81815730.88、角度与弧度对应表：角度 0345692036弧度 63345629、弧长与面积计算公式弧长： ；面积： ，注意：这里的 均为弧度制.lR212SlR二、任意角的三角函数1、正弦： ；余弦 ；正切 sinyrcosxrtanyx其中 为角 终边上任意点坐标， .,x22、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号度 034
3、56091203510827036弧度 6346sin012213212010cos303tan0313无 3130无 0r y)(x,P口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全 s t c”）sintancos第一象限： sin 0,cos 0,tan 0,0,.yx第二象限： sin 0,cos 0,tan 0,第三象限： sin 0,cos 0,tan 0,.第四象限： sin 0,cos 0,tan 0,yx4、三角函数线设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与Ox P，(,)xy过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其
4、反向PM(1,0)A延长线交于点 T.由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 ，于是有,OMxPy， ，sin1yPrcos1rtaMATxO我们就分别称有向线段 为正弦线、余弦线、正切线。,oxToxyTAxyoMTPAxyoMA（）（） （）（）5、同角三角函数基本关系式 22sincos1itatancot1Asi2)cs(icon( ， ， ，三式之间可以互相表示)csiosinosin6、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是 中整数 的奇偶性，把 看作锐2n角)； .21()sin,sin(2co为 偶 数为 奇 数 21()s,s(incoco为 偶 数
5、为 奇 数.公式（一）： 与 ,kZ； ；sin)2sin(kcos)2c(ta)2tan(k.公式（二）： 与 ； ；iiott.公式（三）： 与 ； ；sinsinccostantan.公式（四）： 与 ； ；iiott.公式（五）： 与 2； ；sincos2sin.公式（六）： 与 2； ；sincos2sin.公式（七）： 与32； ；3sincos23sin2.公式（八）： 与； ；3sincos23sin23、三角函数的图像与性质1、将函数 的图象上所有的点，向左（右）平移 个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）isinyx到原来的 倍
6、（纵坐标不变） ，得到函数 的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得sinyx A到函数 的图象。iA2、函数 的性质：s0,yxA振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相：2T12fTx。3、周期函数：一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得定义域内的每一fxT个 值，都满足 ，那么函数 就叫做周期函数， 叫做该函数的周xfxTfx期.4、 对称轴：令 ，得)sin(xAy 2xk2kx对称中心： ，得 ， ； k)(0,(Z 对称轴：令 ，得 ；)cos(xy kxx对称中心： ，得 ， ；2k2)(0,2(Zk周期公式:函数 及 的周
7、期 (A、 为常数，且sin()yAxcos()yAxTA0).函数 的周期 (A、 为常数，且 A0).xytanT5、三角函数的图像与性质表格 siyxcosyxtanyx图像定义域RR,2xkZ值域 1,1,R最值当 时，2xkZ；maxy当 时，2kmin1y当 时，2xkZ；当ma1y时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性2奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,k上是增函数；Z在 32,k上是减函数Z在上2,kZ是增函数；在 ,上是减函数在 ,2k上是增函数Z函 数性质对称性对称中心 ,0kZ对称轴 2x对称中心 ,02kkZ对称轴 x对称中心 ,02kZ无对称轴6. 五点
8、法作 )sin(xAy的简图，设 t，取 0、 2、 、 3、 来求相应 x的值以及对应的 y 值再描点作图。7. 的的图像)si(8. 函数的变换：（1）函数的平移变换 )0()(axfyf 将 )(xfy图像沿 轴向左（右）平移 a个单位（左加右减） )()(bff 将 )(f图像沿 y轴向上（下）平移 b个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换： )0()(wxfyxfy 将 )(xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（ 缩短， 10伸长） )()(Axfyxfy 将 )(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（ 1伸长， 10A缩短）（3）函数的对称变换： )()(xfy
9、xfy) 将 )(xfy图像绕 y轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于 轴对称） )()(ff将 )(f图像绕 轴翻折 180（整体翻折）（对三角函数来说：图像关于 y轴对称） )()(xfyxfy 将 )(xf图像在 y轴右侧保留，并把右侧图像绕 y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） )()(ff保留 )(fy在 轴上方图像， x轴下方图像绕 x轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1） cosincsi)sin(2） (3） sicos)cos(4） n(5） ta1t)tan(tanta1tan(6） tnt)t(ttt(7) =
10、(其中,辅助角 所在象限由点 所在的象sincosab2si)ab(,)ab限决定, ，该法也叫合一变形).22,tanb(8) )4tan(t1)4t(t12. 二倍角公式（1） cosi2si （2） 1cos2sin1co2 aaa（3） a2tn1ta 3. 降幂公式：（1） 2coscs2 （2） 2cos1sin2a4. 升幂公式（1） （2）ssi（3） （4）2)co(insi 22coin1（5） s25. 半角公式（符号的选择由 所在的象限确定）2（1）cos12sinaa， （2） 2cos1cosaa ，（3） sin1cist 6. 万能公式: （1） , （2） ,
11、2tan1si 2tan1cos2（3） .tat27.三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：)sin(cossin2baba其中 22sin,cosbaba，比如： xy3i )cos3(1i)3(122222 xx)cos23sin1(x )3sincos(inx)3i(2x（3）注意“凑角”运用： ， ， 12例如：已知 , ， ，则)4
12、3(、 53)sin(132)4sin(?)cos(（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“ ”22cossin（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如： acos1常用升幂化为有理式。（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。（8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（9）思路变换：如果一种
13、思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： acosin ， acosinacosin，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）： bxysi（或 )cosbxa型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 an型：引进辅助角化成 )sin(2xbay再利用有界性 cxysii2型：配方后求二次函数的最值，应注意 1i的约束 dcbin型：反解出 sin，化归为 1six解决 cxxayo)os( 型：常用到换元法： xtcosin，但须注意 t的取值范围： 2t。9.三角形中常用的关系： )sin(iCBA， )cos(CBA， 2cosinCBA，
