1、“用二分法求方程的近似解”教学设计与教学反思梁光挂 （南宁三中平果分校）【教学设计】一、内容与内容解析本节是人教 A 版普通高中标准试验教科书 数学 1（必修） 第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。本节内容是课标教材中新增的内容。在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。对于这类方程，我们只能根据
2、根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。二、目标和目标解析本节课要求学生懂得解决“如何求方程的近似解”这么一个问题，而二分法是解决这类问题的常用解法或通解法，既然是“近似解” ，那么引导学生的思维模式由“求”转变为“找”显得更加贴切，也更好理解。本节课的主要目标就是要求学生理解二分法的思想，真正理解怎么去“找”近似解。本节课的教学目标是：（1）理解二分法的基本思想，能够借助计算器用二分法求给定方程满足一定精确度的近似解；（2）引导学生通过观察和计算体会二分法，感受函数与方程的思想，使学生在学习过程中体
3、会近似思想、逼近思想、算法思想；（3）帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，形成正确的数学观，通过生活实例培养学生的数学应用意识，激发学生的学习兴趣。教学重点：理解二分法的基本思想，把找方程近似解转化为缩小函数零点所在区间，对函数与方程的关系及化归思想有更深入的认识。教学难点：对精确度的理解，用二分法求近似解中，在不断缩小区间时，对区间端点的循环迭代替换的理解.三、学生诊断分析学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点”这一环节的理解上相对比较困难，对精确的理解耶比较困难。同时在运算过程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻
4、碍，在课前应给学生提前预习，以做好思想准备。学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点” ，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论.四、教学支持条件分析将问题导学法、讨论法、游戏体验法等多种教学方法有机结合，并结合
5、多媒体手段，组织学生自主探究学习，合作交流完成本节的内容。学生的课前准备：1 复习前一节课的内容，熟悉连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；2 准备好科学计算器，熟悉科学计算器的使用；3 完成老师发给的导学案（附件中） 。教师的教学准备：将上课内容制作成课件。五、教学过程设计（一）复习引入上一节课我们学习了方程的根与函数的零点的关系，也学习了方程的根的存在性定理。我们一起来回忆一下：1. 方程的根与函数的零点有什么关系？答：方程的根是相应函数的零点，函数的零点是相应方程的根。求一个方程的解时，如果直接从方程角度入手难度较大时，我们可以尝试从“求函数的零点”入手。2.还记得根的存在性定理吗？答
6、：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且()yfx,ab有 ，那么函数 在区间 内有零点，这个零点也是方程()0fab()f(,)的根.x【设计意图】培养学生复习的习惯，对上节课的复习为本节的学习提供了知识保障。（二）新课讲授在数学学习中，解方程将是我们经常遇到的问题。问题 1：你会求下列方程的根吗？2().3;0.ln6.x【设计意图】从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认识冲突，激起进一步探究的欲望.对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，从方程角度入手不知如何下手，这时教师适时点拨引导：当从方程角度直接入手难以求
7、出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题。方程 ，由ln260()ln26xfx相 应 的 函 数 是课本 88 页例 1 我们知道函数 在区间（2,3）内有唯一零点，()lfx这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置。例 求方程 的近似解.（精确度为 0.01）ln260x教师引导分析：根据前面我们的分析，我们可以将“求方程的近似解”问题转变为“找函数 在区间ln260x()ln26fx（2,3）内的近似零点”问题。问题 2：那么怎么找出这个近似零点呢？【设计意图】进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找” ，这样一来问题更具有游戏的味道，激发学生的学习热情。在“找”
8、这个零点之前，我们先来玩个小游戏：前两天我刚刚买了个手机，为了游戏更有趣，我暂且不能告诉大家是什么牌子，我只能告诉大家这个手机的价位是 20003000 元，如果我给大家 6 次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在 50 元以内的价钱？注意啊，你们的机会只有 6 次！第一次猜价：2500 元，教师提示少了，手机价钱范围缩小到 25003000 元，此时还不能确保误差小于 50 元（为什么？） ；第二次猜价：2750 元，教师提示多了，手机价钱范围缩小到 25002750 元，此时还不能确保误差小于 50 元（为什么？） ；一次类推到第五次的时候，
9、学生成功的猜出误差在 50 以内的价钱。游戏结束。问题引导总结：问题 3：大家如何猜误差在 50 元内的价格？问题 4：猜价过程当中，大家发现手机价钱的范围有什么变化？问题 5：我们为什么猜到第 5 次就停止？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，直到“猜值”与真实值的最大误差小于 50 元为止。这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】使学生更加轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的显示使用价值，借此培养学生的数学应用意识.回到“例求方程 的近似解
10、.（精确度为 0.01） ”。ln260x问题 6：利用刚才我们猜价格的方法，借助计算器，你能“找函数在区间（2,3）内的近似零点（精确度为 0.0.1） ”吗？()ln2fx【设计意图】从游戏把学生拉回本节主题，把游戏和本例的解决过程融合到一起对比分析比较，使学生真正的理解二分法的本质.模仿猜价格的方法，学生很快找出“寻找近似零点”的方法，注意鼓励学生用通俗的语言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本质内涵。给出教材上的规范的定义。（结论归纳）1.二分法的定义对于在区间 上连续不断，且 的函数 ，通过不断,ab()0fab()yfx地把函数 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点
11、逐步逼近零点，()yfx进而得到零点近似解（或对应方程的近似根）的方法叫做二分法.注：结合例题来理解二分法的定义。2.利用二分法求方程近似解的步骤：1.确定初始区间a,b ，验证 f(a)f(b)0，则令 a= x1 (此时零点 x0( x1,b)；4.判断是否达到精确度 ：即若最终区间长度小于 ，则得到零点近似值是(a,b) 区间内的一点；否则重复 24 步骤。3.口诀定区间，找中点， 中值计算两边看。同号去，异号算， 零点落在异号间。周而复始怎么办？ 精确度上来判断。【设计意图】让学生进一步总结用二分法求方程近似解的思维过程，归纳解题步骤，使学生由经验水平上升到理论水平。通过归纳总结形成二
12、分法的理论知识，训练学生数学表达能力，培养学生的概括能力。（三） 、课堂练习课堂练习 1：下列函数中能用二分法求零点的是 （ ）问题 7：根据练习，请思考用二分法求零点的条件是什么？【设计意图】让学生辨析什么情况下事宜用二分法求零点，辨析过程也是学生认识完善的过程。课堂练习 2：用二分法求函数 在 内零点近似值的过程中()yfx(1,2)得到 ，则零点落在区间 （ (1)0,.5),(1.)0fff）D.不能确定.(,2)A.(2,.5)B.(15,2)C【设计意图】进一步巩固如何判断零点所属区间的方法。课堂练习 3：计算函数 的一个正零点近似值，列表如32()fxx下：中点坐标 中点函数值
13、取区间 1,201.5x0()fx.521,.37x2()fx1.37145305,4.062x4()fx.062.若精确度为 0.1，结果是 。【设计意图】进一步理解二分法的定义及解题步骤，理解精确度的含义。（四） 、课堂小结问题 8：这节课你有哪些收获？（二分法的定义；用二分法求方程近似解的步骤）教师补充：（五） 、作业1.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条 10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km 长，大约有200 多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅至少经过几
14、次查找使故障范围缩小到 50100m 左右？2.新课程学习与测评活页二十三【教学反思】二分法是这次高中数学课改新增加的内容引入二分法的主要目的是加强函数与方程的联系，它是求方程近似解的一种方法由于二分法中逼近思想和算法思想非常明确，并且在大纲人教版中没有涉及这部分内容，设计利用二分法求函数零点的近似解教学内容时我遇到了很大的困难。如何安排本节的教学过程？如何达到良好教学效果？如何利用现有的素材？等等问题一直围绕着我。而我所追求的课堂风格是“让学生该学的都学到了，学的轻松，学的有趣，学的有意义” 。一、经过认真查阅资料和研究教材及与同事讨论后，我对本节课的初步理解1.本节地位。二分法是我们广西新
15、课程新增的知识，里边还蕴含着逼近思想、算法思想、数形思想等，因此应该是高考必考点；2.重点的把握。本节课的核心是理解二分法的本质思想，懂得用二分法就方程的近似解；3.难点的把握。本节课的难点是对精确度的理解、怎么取区间、理解步骤中蕴含的算法思想，除此之外，本节还有一个难点就是计算，学生计算能力也较大程度影响本节的各个环节；4.找好学习动机。二分法是学生很陌生的东西，学这东西有什么用，因此帮学生寻找学习的动机也很重要；5.教师角色要摆正。既然是一种方法，那就得让学生多动手多动脑，因此教师应该把课堂还给学生，把舞台让给学生，教师充当“导演”的角色，这样才能还原“一节真实的课堂” 。二、基于以上的理
16、解，我对本节的流程如下1.课前。由于本节计算较复杂，有些新概念需要学生理解，考虑到时间问题，故事先发一张导学案给学生课前复习前面所学知识和自主学习本节知识。先复习好“方程的根与函数的零点”和“根存在性定理” ，了解本节“预备概念”如精确度，后自主学习新课内容。为本节的学习打好铺垫；2.引入。本节采用复习引入，主要检查课前学生完成学案的情况；3.过渡。由游戏引出话题，并由游戏推向高潮；4.高潮。这个环节主要解决本节重点和突破难点，为了突破重难点，我把游戏和例题融合到一起，将游戏的规则和方法与解决例题方法步骤对比讲解，让学生通过比较游戏和例题解答来突破本节重难点；5.总结本节内容。充分利用例题和游
17、戏，让游戏和例题成为一条“线”贯穿整个新课讨论过程。结合游戏和例题总结二分法求方程近似解的步骤和注意事项，使经验水平上升到理论水平，让学生对二分法的理解由感性认识向理性认识发展。6.课堂巩固训练。7.教师引导学生对本节进行小结，补充学生的小结，最后布置作业。三、实践反馈在实际教学中，由教师通过游戏和实例混合讲授方法和过程，很容易使学生总结和掌握“ 二分法” 的基本算法和注意事项。经过对练习的跟踪检查，基本达到预想的效果。虽然，教学内容安排不是很多，但通过学生的亲历亲为，独立思考并在教师引导下总结出用二分法求方程近似解的步骤，在 40 分钟的课堂教学过程中，鼓励学生质疑，提倡独立思考、自主探索，
18、发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的“再发现 ”、 “再创造”过程。当然本节课还有很多需要改进的地方，比如1.板书问题。作为一个年轻教师，我的板书还存在很多问题，比如粉笔字不够工整，黑板安排还不够合理。2.语言表达方面。语言表达主要是我的语速有点偏快，有时普通话不够标准，还有在对学生回答问题或者发表看法的后的处理还不够巧妙。3.重难点处理上。在高潮环节，没能很好的利用“游戏”来突破重难点，在这块还不够灵活。4.课堂练习留下最大的遗憾。由于学生对计算器的使用还不熟悉，好多学生手头上还没有计算器，因此课堂练习只有选择和填空，应该设一个计算题，让学生由头到尾完整的解决一个问题，这
19、里反应了本节课学生动手上还不够。四、本节给我的启示1.数学是思维的体操。某种程度上数学教育可以看做思维的教育，因此在数学课堂中应注意培养学生的思维能力，体现出学科的特殊，实现学科教育价值。2.数学课要体现数学的应用价值。如果我们老师说学数学是有用的，但是没有具体事例佐证，这样的话变成空话，新课改要求数学课上要注重培养学生数学有用意识和数学文化。让学生“知其然和知所以然”还不够，因为学生没有意识到学习的重要性，就会认为这“知所以然”是可有可无的，在这种错误思想下学习，效果是很达到教学要求的。因此让学生知道“学数学是有用的”是非常重要的，个人认为这点才是维持学生长久学习动机的主要因素，也是学生有学
20、习动力的根本保障。3.数学课要尽量体现数学文化。把数学讲到文化，听起来很抽象很精奥，我仅仅是个年轻的教师，对“数学文化”这个词的理解很肤浅，按照我的理解：数学是来源于生活的，每个数学知识都是由人去发现或发明的，既然如此，它必然有它产生的根源或背景，这些就是所谓的数学文化。因此数学文化应该伴随有数学的应该价值，数学故事，数学笑话，数学名人等等一系列东西的出现。因此如果数学课上能尽量展现出数学文化，课堂应该更加精彩，更能展现数学的魅力。总之，新课程下的高中数学教学在不断的创新中不断完善，在这样的新的课程下，我应不断的思考与总结，作为一个年轻教师，虚心向老教师学习，使我真正掌握怎么去上课，怎么去辅导学生，怎么去处理教材。
