1、1第七章 平行线的证明7.1 为什么要证明【教学目标】知识与技能目标：1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。 情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。【教学重点】 理解判断一个结论是否正确需要进行证明。【教学难点】理解数学证
2、明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结【教学过程】一、创设情境，引入新课内容 1.课件展示故事知人不易谈谈自己的感受.颜回是孔子最得意的门生。有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。 颜回赶快说：不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：所信者目也，而目犹不可信；所
3、恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！内容 2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：上图中的线是直的吗 ? 2下图中中心的两个圆哪个大? 【师】我们常说， “百闻不如一见 ”， “耳听为虚，眼见为实”，但“ 眼见真的全为实”吗？以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法引入新课，【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。二、活动探究课件展示内容：活动一：猜一猜，比一比1 、观察图 1 中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？请你先观察
4、，再度量一下2、观察图 2 并思考：图 2 中四边形是正方形吗？然后设法验证3、观察下列图形，回答下列问题：（1）线段 a， b 相等吗? （2）谁与线段 d 在一条直线上？通过观察四幅图使我们明白：眼见 （未必、一定）为实，只有实践才能出真知的道理。【设计意图】通过看一看，让学生明白视觉有可能产生错觉，了解生活中的错觉.然ab图 1 图 23后通过测量让他们知道仅仅靠观察得到的数学结论不一定正确，同时也锻炼了学生的语言表达能力。在活动 1 的基础上，问：所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？活动二：想一想，量一量如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE，DE
5、 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的 都成立吗?与同伴进行交流。ABC位置关系： 数量关系： 学生以小组为单位进行讨论交流。活动 2 让我们明确：毕竟是测量结果，测量有 ，结论难以令人信服，还需寻求更可信的方法。【设计意图】通过测量得到问题的结论，多次实验后认为结论的正确性，但毕竟是测量得出的，还得需要证明，让学生体会证明的必要性。活动三：做一做，推一推质数：就是在所有比 1 大的整数中，除了 1 和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数又叫做 数。如 2，3，5，7，11，13，17，19，23这样的数就是质数。合数：一个数的
6、约数除了 1 和它本身，还有其它的约数，叫做合数. 如 4、6、8、9、10、12、14、15、16这样的数就是合数。寻找质数：（1）不难发现，当 n=0，1，2，3 时，代数式 n2n+11 的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数 n， n2n+11 的值都是质数。你认为呢？与同伴交流。n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n2n+11是否为质数（2）你能否得到结论：对于所有自然数n， n2n+11的值都是质数？先猜测，后验证判断。答：猜测结果为 。验证如下：判断：猜测的结果与验证的结果 一样。举反例是一种常用验证数学结论不正确的方法。【设计意图】让学生进一步对归纳所得的结论
7、产生怀疑，且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算，用归纳的方法，仍不能判断数学结论的正确性，同时培养了学生的合作竞争意识。活动四：试一试，算一算设圆的半径为 r，则圆的周长 C= ；若圆的周长为 C，则圆的半径 r= 。一个圆环外圆周长比内圆周长多 6cm，则环宽为_cm如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长 1 的铁丝将地球赤道围起来，铁m丝与赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。别太相信你的眼睛和直觉呦！4答：猜测结果为 。 验证如下：解：设赤道周长为 c，铁丝与地球赤道之间的间
8、隙为： )_(2)(21mc= (cm)答：它们的间隙不仅 ，而且 。说明：猜测的结果与验证的结果 一样。进一步明确：要说明一个结论是否正确，光靠观察、猜测是不够的，必须经过有根有据的 才行学生先自己感觉，然后再分小组讨论交流，发表自己的见解，最后进行计算验证自己的所想。教师参与到学生中间去，对计算有所迷惑的小组，进行适当的引导。验证结束后，小组派代表回答.【设计意图】通过这个问题让学生感受凭直觉得到的结论不一定正确，需要通过计算进行推理.感受为什么要证明。三、归纳明晰活动一：读一读课本“费马的失误 ”【设计意图】通过阅读材料使学生认识到，仅由几个特殊情况归纳出来的结论并不可靠，即使如费马这样
9、的名家，归纳的结论也难免错误。活动二：议一议【师】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法是人们认识事物的重要手段。那么通过实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法得到的结论都正确吗？通过以上问题，你怎样才能判断一个结论是否正确?说说你的经验与困惑。学生讨论交流，教师参与其中，然后进行归纳。【生】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行有根有据的证明。【设计意图】本环节是本节课的重难点，从学生的实际情况出发，让学生理清判断一个数学结论的正确性必须进行有根有据的证明.利用小组
10、合作方式培养学生的合作意识。【实际效果】学生在自由愉快的环境中学习，在讨论中探索知识，最后得出结论。四、巩固提高1.随堂练习2.当 为正整数时， 的值一定是质数吗?n231n3.下列判断是否正确?（1）从书架上抽出 5 本书，5 本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书.（2）有一条线段 AB 长 3cm，另一条线段 BC 长 2cm，那么 AC 长为 5cm.4.此次数学考试七年级九班全班 65 名学生没有不及格的。李妙是七年级九班的一名学生，由此推断李妙考试 (填“及格” 或“不及格”)。（学生先独立完成，然后再交流自己的结果， 教师巡视，了解学生对知识的掌握情况。 ）【设计意图】在巩固提
11、高过程中，让学生进一步体会证明的必要性，明白数学来源于生活，又服务于生活，联系生活.五、课堂小结【师】通过本节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！5【生 1】我知道了眼睛看见的未必是真实的.【生 2】实验得到的结论也不一定是真实的.【生 3】归纳得到的结论同样不一定真实.【生 4】要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠观察、测量、经验或实验是不能确定的，必须是一步一步有根有据的证明。学生畅所欲言，相互进行补充，用自己的语言进行归纳【设计意图】引导学生自己小结本节课的的知识点，使学生再次回顾探索的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，在整个过程中，体会证明的必要性.五、布置作业习题 7.1
12、 板书设计：7.1 为什么要证明活动探究：活动一：猜一猜，比一比 巩固提高：活动二：想一想，量一量活动三：做一做，推一推 活动四：试一试，算一算活动五：读一读活动六：议一议 例题：结论： 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验。观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行。有根有据的证明。7.2 定义与命题（一）【教学目标】知识与技能：1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义。2.了解命题的结构，会区分命题的条件和结论；会把一个命题写成“如果那么”的形式；会判断命题的真假。3.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。过程与方法：1.经历感受定义的含义，体验命题的含义，感悟
13、数学术语的科学性和严密性.2.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性，通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯。3.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法。 情感态度价值观：1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立6统一体。2.通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。3.在合作交流的过程中，鼓励学生大胆尝试，获得成功的体验，培养学生合作意识和团队精神。【教学重点】理解命题的组成：条件和结论；会判断命题的真假。【教学难点】找出命题的条件和结论【教学方法】引导发现、合作探究 【教学过程】第一环节：情景引入
14、（由学生表演）活动内容： 小亮和小刚正在津津有味地阅读我们爱科学.小亮说：小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但”小亮说：“”小刚说：“”小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“ 可能是喜欢穿黑衣服的贼。 ”一人说：“那因特网肯定是一张很大的网。 ”另一人说：“ 估计可能是英国造的特殊的网。 ”（表演结束）教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义。引入新课 关于“黑客”
15、对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行； 对定义含义的解释； 举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好） 。活动目的：让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客” 、 “因特网”的不同理解，从而使学生了解定义的含义，由此产生了对定义的兴趣。第二环节：了解定义、命题含义活动内容 1：定义的含义（师生互动）师在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义.如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民” 是“中华人民共和7国公民”的定义。大家还能举出一些例子吗？生 “两
16、点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义。生 “在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫做一元一次方程” 是“ 一元一次方程 ”的定义。生 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是“平行四边形”的定义。生 “角是由两条具有公共端点的射线组成的图形” 是“角”的定义。师同学们举出了这么多例子。说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定。设计意图：兴趣是最好的老师。根据学生的年龄特点，安排趣味情境，提出问题，设置悬念，激发学生学习兴趣。而且从身边的生活实例引出数学问题，学生更熟悉。同时在这个设计的这个环节，培养了学生的自学能
17、力，独立思考解决问题的能力。活动内容 2：命题含义（投影展示情景）如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C 、D、E、F 、G、 H、I 、J、K 处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染。如果 B 处工厂排放污水，那么_处便会受到污染；如果 C 处受到污染，那么_处便受到污染；如果 E 处受到污染，那么_处便受到污染；如果环保人员在 h 处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流。生如果 B 处工厂排放污水，那么 a、b、c、d 处便会受到污染.生如果 B 处工厂排放污水，那么 e、f、g 处也会受到污染的.生如
18、果 C 处受到污染，那么 a、b、c 处便受到污染.生如果 C 处受到污染，那么 d 处也会受到污染的.生如果 E 处受到污染，那么 a、b 处便会受到污染.生如果 h 处受到污染，我认为是 A 处的那个工厂或 B 处的那个工厂排放了污水.因为 A 处工厂的水向下游排放，B 处工厂的污水也向下游排放。学生讨论交流互动，老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。如：熊猫没有翅膀；对顶角相等。大家能举出这样的例子吗？师很好。大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，8不能同时既否定又肯
19、定。如：你喜欢数学吗？作线段 AB=a.平行用符号“ ” 表示.这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题。一般情况下：疑问句不是命题。图形的作法不是命题。小结：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整。从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句。活动目的：通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题。学生通过小组讨论交流、互相帮助，培养了合作学习团队精神。第三环节：探索命题的结构与真假活动内容：课本想一想1探讨命题的结构特征：
20、投影展示观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。（2）如果 a=b，那么 a2=b2。（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。（4）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。分小组交流讨论，教师引导进行归纳。2总结命题的结构特征学生活动探索命题的结构特征，学生观察、分组讨论，得出结论（1）上述命题都是“ 如果 ，那么” 的形式叙述的。（2）上述命题都是由已知得到结论。（3）上述个命题都有条件和结论。教师
21、活动归纳总结（1）一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项。（2）命题通常都可以写成“如果那么” 的形式，其中 “如果”引出部分是条件，“那么”引出部分是结论。每个命题都有条件和结论。活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论。应告诫学生当一个命题改写成“如果那么”的形式时，要注意改写时不要机械地添上“如果 ”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整。活动内容：课本做一做1探究命题的真与假：投影展示找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你又是如何知道的呢？（1）如果
22、两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果 ab，bc ，那么 ac；（3）全等三角形的面积相等。（4）等腰三角形的两个底角相等。（5）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。9分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识。2探究真假命题的验证结论：（1）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。（2）有的命题的描述没有用“如果那么”的形式，在分析时可以扩展成这种形式，以分清条件和结论。（3）说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了。使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性如何验证命题的正确性呢？活
23、动目的： 使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题。第四环节：展示生动活动内容 1：随堂练习活动内容 2：1.你能列举出一些命题吗？2.举出一些不是命题的语句。答案：如：画线段 AB=3 cm.两条直线相交，有几个交点？等于同一个角的两个角相等吗？在射线 OA 上，任取两点 B、C。等等。3.认真思考以下句子，并回答哪些是命题，并判断命题的真假。（1）动物都需要水 （是）（2）猴子是动物的一种（是）（3）美丽的天空（否）（4）负数都小于零（是）（5）你的作业做完了吗？（否）（6）如果 a=b，a=c，那么 b=c（是）（7）如果|a|=3，那么 a=3（是）（8）作线段 AB 的中
24、垂线（否）（9）两个锐角之和一定是钝角（假命题）活动目的：训练与反馈。让学生展示这节课的成果，培养了学生的自信心。第五环节：课堂小结活动内容：师生互动，归纳总结：1.本课时学习了什么内容？ 2.有哪些数学方法？ 3.你还有哪些困惑？ 设计意图：前后呼应，让整堂课成一整体。让学生进一步感受一方面数学来源于生活又实践于生活，感受学习数学知识的重要性. 同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识。同时对本节课中还存的困惑，及时的进行解决，不让学生留下残缺，争取达到透彻的目的。第六环节 课后作业习题 7.2 7.2 定义与命题（二）10【教学目标】知识与技能 1.理解公理、定理和证明的含义以及它们与命题
25、之间的联系与区别。2.理解本教科书上的八条基本事实，并通过实例感受证明的过程与格式。3.结合实例意识到证明的必要性，培养说理有据，有条理的表达自己想法的良好意识，体会证明的严密性。过程与方法 1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体。使学生学会反面思考问题的方法，培养学生的语言表达能力。2.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法。情感态度与价值观 阅读有关原本和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣。【教学重点】正确区分公理、定理和证明间的关系。【教学难点】如何证明一个定理，明确证明的过程
26、与格式。【教学方法】探讨发现、合作交流【教学过程】第一环节：回顾引入1.活动内容：投影展示阅读下面的句子： 三角形内角和等于 180。对顶角相等。今天天气好吗?连接 A，B 两点。正数大于负数。作线段 ABCD。能被 5 整除的数末位数字一定是 0。绝对值相等的两个数一定相等。天空是美丽的。（1）在上面的句子中，属于命题的是： （2）在上面的句子中，是命题的改写成“如果，那么” 的形式，并说出它们的条件和结论。（3）在上面的命题中，假命题的是 设计意图：学生举手发言，提问个别学生。回顾上节知识，为本节课的展开打好基础。2.引入新课想一想：举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？设计意图：由上节课的知识内容自然的过度到本节课的知识点，开门见山，直奔主题，为本节课的展开打好基础做好铺垫，自然地过渡到本节课的目标，从而出示目标。3.出示本课时教学目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标。设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。第二环节：介绍几何原本 、公理、定理等知识
