1、1立体几何单元测试卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分)1设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列四个命题：若 ，m，则 m ；若 m，n，则 m n；若 ，m，则m；若 m，m，则 .其中为真命题的是( )A B C D2用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为( )A. B. C8 D.83 823 2 3233某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A4 B2 C. D822034. 如图所示，正四棱锥 PABCD 的底面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中点，则22PA 与 BE
2、所成的角为( )A. B. C. D.6 4 3 25如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S，那么圆柱的体积等于A. B. C. D. 2S2S44S6. 如图所示是一个直径等于 4 的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成 80角的截面，则截面的面积为( )2A. B C2 Dsin8027设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是A.若 lm，m ，则 l B.若 l，lm，则 mC.若 l， m ，则 lm D.若 l， m，则 lm 8二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD 8，
3、CD2 ，则该二面角的大小为 ( )17A150 B45 C60 D1209. 如图所示，已知ABC 为直角三角形，其中ACB90，M 为 AB 的中点，PM 垂直于ABC 所在平面，那么( )APAPBPC BPAPBPC CPA PBPC DPAPBPC10正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是棱 BB1 中点，G 是 DD1 中点，F 是 BC 上一点且 FB BC，则 GB 与 EF 所成的角为( )14A30 B120 C60 D9011已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 棱长为 1，点 P 在线段 BD1 上，当APC 最大时，三棱锥 PABC 的体积为( )A. B.
4、 C. D.124 118 19 11212. 已知正三棱锥 PABC 的高 PO 为 h，点 D 为侧棱 PC 的中点，PO 与 BD 所成角的余弦值为 ，则正三棱锥 PABC 的体积为( )23A. h3 B. h3 C. h3 D. h3338 238 38 334二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分)13已知 A、B、C、D 为空间四个点，且 A、B、C 、D 不共面，则直线 AB 与 CD 的位置关系是_14在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取点 E、F、G、H ，如果EH、FG 相交于一点 M，那么 M 一定在直线_上15一个几何体的三视图如图所
5、示，已知这个几何体的体积为 ，则 h=_ 103第 15 题图 316.判断下列命题的正确性，并把所有正确命题的序号都填在横线上_若直线 a直线 b，b 平面 ，则直线 a平面 在正方体内任意画一条线段 l，则该正方体的一个面上总存在直线与线段 l 垂直若平面 平面 ，平面 ，则平面 平面 若直线 a平面 ，直线 b平面 ，则直线 b直线 a三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分17 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN a，如图23(1)求证：MN面 BB1C1C；(2)求 MN 的长 18(本小题满分 10 分) 如
6、图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC45， ADAC1， O 为 AC 的中点，PO平面 ABCD，PO2，M 为 PD 的中点(1)证明：PB平面 ACM；(2)证明：AD 平面 PAC；(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值4ABCA1B1C119(本小题满分 12 分) 如图所示，在六面体 ABCDEFG 中，平面 ABC平面DEFG，AD 平面 DEFG，ED DG，EFDG.且 ABADDEDG2，AC EF 1.(1)求证：BF平面 ACGD；(2)求二面角 DCG F 的余弦值20.在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB 1BC
7、 1，AB=CC 1=1，BC=2.（1）求证：A 1C1AB；（2）求点 B1 到平面 ABC1 的距离.521(如图，DC平面 ABC，EBDC，ACBC EB2DC2，ACB 120 ，P，Q 分别为 AE，AB 的中点(1)证明：PQ 平面 ACD；(2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值22(22如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB 2EF2，EF AB ，EFFB，BFC90，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH 平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求四面体 BDEF 的体积6立体几何单元测试卷答案1.C 2.B 3.D4
8、. C5.D6. C7.B8.C9. C10.D11.B12. C13异面 14BD 15 16 317解：(1)证明：作 NPAB 于 P，连接 MP.NPBC， ，MPAA 1BB 1，面 MPN面 BB1C1C.APAB ANAC A1MA1BMN面 MPN，MN面 BB1C1C.(2) ，NP a，同理 MP a.又 MPBB 1，NPBC ANAC 23a2a 13 13 23MP面 ABCD，MP PN.在 RtMPN 中 MN a.49a2 19a2 5318.解析 (1)连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O为 BD 的中点又 M 为
9、 PD 的中点，所以 PBMO.因为 PB平面 ACM，MO平面 ACM，所以 PB平面 ACM.(2)因为ADC45，且ADAC1，所以 DAC90，即 ADAC.又 PO平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 POAD.而 ACPOO，所以 AD平面 PAC.7(3)取 DO 中点 N，连接 MN，AN .因为 M 为 PD 的中点，所以 MNPO，且MN PO1.由 PO平面 ABCD，得 MN平面 ABCD，所以 MAN 是直线 AM 与平面12ABCD 所成的角在 RtDAO 中，AD 1，AO ，所以 DO .从而 AN DO .在12 52 12 54RtANM 中，tan M
10、AN ，即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .MNAN 154 455 45519 解析 方法一：(1)设 DG 的中点为 M，连接 AM， FM.则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形MFDE，且 MFDE.平面 ABC平面 DEFG，ABDE.AB DE，MFAB，且 MFAB ， 四边形 ABFM 是平行四边形BFAM.又 BF平面 ACGD，AM平面 ACGD，故 BF平面 ACGD.(2)由已知 AD平面 DEFG， DEAD.又 DEDG，且 ADDG =D,DE平面 ADGC.MFDE， MF平面 ADGC.在平面 ADGC 中，过 M 作 MNGC，垂足为
11、 N，连接 NF，则MNF 为所求二面角的平面角连接 CM.平面 ABC平面 DEFG， ACDM.又 ACDM 1，所以四边形 ACMD 为平行四边形，CMAD，且 CMAD 2.AD平面 DEFG， CM平面 DEFG，CMDG .在 RtCMG 中， CM2，MG1，MN .CMMGCG 25 2558在 RtCMG 中，MF2 ，MN ，FN .cosMNF .255 4 45 2305 MNFN2552305 66二面角 DCGF 的余弦值为 .66方法二：由题意可得，AD， DE，DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系则 A(0,0,2)，B(2,0,2) ，C(0,1,
12、2)，E(2,0,0)，G (0,2,0)，F(2,1,0)(1) (2,1,0) (2,0,2)(0,1，2)， (0,2,0) (0,1,2) (0,1，2)，BF CG .BFCG.BF CG 又 BF平面 ACGD，故 BF平面 ACGD.(2) (0,2,0)(2,1,0)(2,1,0)FG 设平面 BCGF 的法向量为 n1( x，y，z) ，则Error!令 y2，则 n1(1,2,1)则平面 ADGC 的法向量 n2(1,0,0)cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 1112 22 1212 02 02 66由于所求的二面角为锐二面角，二面角 DCGF 的余弦值为 .
13、6692017.证明：（1）连结 ，则BA111又 平面 1CC 4 分又 平面111AB 1（2）由（1）知 AB 2 3C11ABCS设所求距离为 d 111ABCABV 11133CASdBAB 23d2d21 解：(1)证明：因为 P，Q 分别为 AE，AB 的中点，所以 PQEB.又 DCEB ，因此 PQDC ，又 PQ平面 ACD，从而 PQ平面 ACD.(2)如图，连接 CQ，DP ，因为 Q 为 AB 的中点，且 ACBC ，所以 CQAB .因为 DC平面 ABC，EBDC ，所以 EB平面 ABC，因此 CQEB.故 CQ平面 ABE.由(1)有 PQDC ，又 PQ E
14、BDC，12所以四边形 CQPD 为平行四边形，故 DPCQ，因此 DP平面 ABE，DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角，在 Rt DPA 中，AD ，DP1，sin DAP ，555ABCA1B1C110因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 .5522 解：(1)证明：设 AC 与 BD 交于 G，则 G 为 AC 中点，连接 EG，GH，由于 H 为BC 中点，故 GH AB 且 G= AB12又EF 綊 AB，EF 綊 GH，四边形 EFHG 为平行四边形，12EGFH ，而 EG平面 EDB，FH平面 EDB，FH平面 EDB.(2)证明：由于四边形 ABCD 为正方形，ABBC ，EFAB，EFBC，而 EFFB，EF 平面 BFC，EFFH ，ABFH.BFFC ，H 为 BC 中点，FHBC，FH平面 ABCD，FH AC，FH EG，ACEG.ACBD，EGBD G，AC 平面 EDB.(3)EFFB，BFC90，BF平面 CDEF，BF 是四面体 BDEF 的高，BCAB2， BF FC .2 VB DEF 1 .13 12 2 2 13
