1、- 1 -二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.2yy（2）函数 的图像与 的符号关系.2ax当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.a（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .2 khxay2 abckbh422，5.二次函数由特殊
2、到一般，可分为以下几种形式： ； ； ；2kaxy22hxy； .khxay2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x- 2 -7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，a只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线 .abcxacbaxy4222 ），（ abc422abx2（2）配方
3、法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直khxyhk线 .hx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线ba cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即x0b0y0ab、 异号）时，对称
4、轴在 轴右侧.aby（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxa2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcy2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0cycy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：- 3 -函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k2（ 轴） (0, )k2hxayhx( ,0)hk2( , )kcbxay2当 时0a开口向上当 时0a开口向下abx2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析
5、式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh2（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的cbay2x1x2 02cbxa两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
6、判定：x有两个交点 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x- 4 -没有交点 抛物线与 轴相离.0x（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则k横坐标是 的两个实数根.kcbxa2（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 0nyl 02acbxyG的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时cbxak2 l与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGlG（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线
7、 与 轴两交点为 ，由于 、x cbxay2 021， xBA1x是方程 的两个根，故202cbaaxx2121, acbacbxxAB 442221212121第二部分 典型习题.抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）cbxayab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0第,题图 第 4题图- 5 -.二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxay 2Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知
8、 中，BC=8，BC 上的高 ，D 为 BC上一点， ，交 AB于点 E，交 AC于点 F（EF 不过A、B） ，设 E到 BC的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ ）248,48EFxxyx.抛物线 与 x轴分别交于 A、B 两点，则 AB的长为 4 32y6.已知二次函数 与 x轴交点的横坐标为 、 （ ） ，则对于下列结论：当 x2 时，1)(k 1x221xy1；当 时，y0；方程 有两个不相等的实数根 、2x 0)(2 k 1； ， ； ，其中所有正确的结论是 （只需填写序号） 2x1 12 214x 7.已知直线 与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B；一抛物线的解析
9、式为 .0bxy cxbxy102（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P在直线 上，试确定这条抛物线的解析式；bx2（2）过点 B作直线 BCAB 交 x轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线 的解析式.bxy2解：（1） 或102xy642y将 代入，得 .顶点坐标为 ，由题意得)b（ ， cb210610(,)4bb- 6 -，解得 .21016024bb120,6b（2） xy8.有一个运算装置，当输入值为 x时，其输出值为 ，且 是 x的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的输出值y 21分别为 5, , 34（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画
10、出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为正数时输入值 的取值范围. yx解：（1）设所求二次函数的解析式为 ,cbxay2则 ,即 ,解得4305)2()(2cba1423bac321ca故所求的解析式为: .2xy（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 为正数时，y输入值 的取值范围是 或 x1x39.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天 12
11、时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式- 7 -解：第一天中，从 4时到 16时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12小时第三天 12时这头骆驼的体温是 39 2104216xxy10.已知抛物线 与 x轴交于 A、)3(aB两点，与 y轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出 a的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点 C的坐标为（0，4） 设点 A、B 的坐标分别为（ ，0） ， （ ，0） ，1x2由 ，解得 ， 4)3(2ax 31ax42 点 A、B 的坐标分别为（-3，
12、0） ， （ ，0） ， ，|34|a52OCA2CBO24|3|a ，98169916|34| 222 aaA， 52C2B当 时，ACB902CA- 8 -由 ，22BCA得 )169(5891622aa解得 4 当 时，点 B的坐标为（ ，0） ， ， ， 1a3169625AB2C9402B于是 22CA 当 时，ABC 为直角三角形41a当 时，ABC9022BA由 ，得 22C)169()8916(522aa解得 94a当 时， ，点 B（-3，0）与点 A重合，不合题意33当 时，BAC9022ACB由 ，得 22 )9816(591622aa解得 不合题意94a综合 、 、 ，
13、当 时，ABC 为直角三角形41a11.已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m的值；5（2）设 C为抛物线与 y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m的- 9 -值.解: (1)（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x1 ，x 2 是方程 x2 mxm20 的两根.x 1 x2 m , x 1x2 =m2 0 即 m2 ;又 ABx 1 x2 , 121245x（ +）m 24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，
14、b)，则 N(a，b) .M、N 是抛物线上的两点, 2,.amb 得：2a 22m40 . a 2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. .a这时 M、N 到 y轴的距离均为 , 2m又点 C坐标为（0，2m）,而 SM N C = 27 ,2 （2m） =27 .1解得 m=7 . 12.已知：抛物线 与 x轴的一个交点为 A（1，0） taxy 42（1）求抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标；（2）D 是抛物线与 y轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB为 一底的梯形 ABCD的面积为- 10 -9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x轴、y 轴的距离的
15、比为 52 的点，如果点 E在（2）中的抛物线上，且它与点 A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使APE 的周长最小?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x轴的一个交点为 A（1，0） ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标为（3，0） （2） 抛物线 与 x轴的一个交点为 A（1， 0） ，taxy 42 t3a 0)1()(2a axy342 D（0，3a） 梯形 ABCD中，ABCD，且点 C在抛物线 上，2 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD的面积为 9， 9)(1ODAB93)42(1 a a1 所求抛物线的解析式为 或 342 xy342axy（3）设点 E坐标为（ ， ）.依题意， ， ，0x0 且 250xy0025y 设点 E在抛物线 上， 34 x 020 xy
