1、1第一章 随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20 世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.【教学目的与要求】通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。 知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理） ，会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进
2、行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。【教学重点】事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。【教学难点】古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用；【计划课时】8【教学内容】第一节 随机事件一. 随机现象从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到 20 世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现
3、象的数学学科.二. 随机现象的统计规律性由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为 . 例如, 观察某射手对固定目标进行E射击; 抛一枚硬币三次 ,观察出现正面的次数; 记录某市 120 急救电话一昼夜接到的呼叫次
4、数等均为随机试验.随机试验具有下列特点:1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行 ;2. 可观察性: 试验结果可观察 ,所有可能的结果是明确的;3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知 .2三. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为 （或 ） ；它们的全体称为样本空间, e记为 (或 ). S基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.四. 事件的集合表示按定义, 样本空间 是随
5、机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所S有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于 中具有相应特征的样本点(元素) 构成的S集合, 它是 的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用 的某一子集来表示,常用字母S等表示.BA五. 事件的关系与运算因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.六. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表 1.1 没 有 相 同 的 元 素与互 不 相 容和 事 件事 件
6、的 差 集与不 发 生发 生 而 事 件事 件 的 交 集与同 时 发 生与 事 件事 件 的 和 集与至 少 有 一 个 发 生与 事 件事 件 的 相 等与相 等与 事 件事 件 的 子 集是发 生发 生 导 致事 件 的 余 集的 对 立 事 件 子 集事 件 元 素基 本 事 件 空 集不 可 能 事 件 全 集必 然 事 件样 本 空 间 集 合 论概 率 论记 号 BABAAB BABABA,例题选讲：例 1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件 A 表示选出的是男生, 事件 B 表示选出的是三年级学生, 事件 C 表示该生是运动员 .(1)叙述事件 的意义; (2)在什么条件下
7、成立?CA(3)什么条件下 ? (4)什么条件下 成立?B例 2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用 A, B, C, D, P, F 表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围): ),109(优 秀A)908(良 好),807(中 等C),760(及 格D),6(通 过P),6(未 通 过则 是两两不相容事件 与 是互为对立事件，即有 均为 的FBA, F;FPBAP子事件，且有 .CBAP例 3 甲，乙，丙三人各射一次靶，记 “甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上ABC述三个事件的运算来分别表示下列各事件：3(1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶 ”： ;A;
8、BA(3) “三人中只有丙未中靶” (4) “三人中恰好有一人中靶”：CB;CBA(5)“三人中至少有一人中靶” (6)“三人中至少有一人未中靶” 或; ;C;(7)“三人中恰有兩人中靶” (8)“三人中至少兩人中靶”;A;(9)“三人均未中靶” (10)“三人中至多一人中靶;CBA ;BACBA(11)“三人中至多兩人中靶” 或 ;CB注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11) 实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例 4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由:(1) ; (
9、2) ;BA)( BA(3) ; (4) ;C )(5) 如果 , 则 (6) 如果 , 且 ,则 ; ACB(7) 如果 , 那么 ; (8) 如果 , 那么 .例 5 化簡下列事件：(1) (2) );(BA.思考题1. 设当事件 与 同时发生时 也发生, 则 ( ).ABC(A) 是 的子事件; (B) 或;CBA(C) 是 的子事件; (D) 是 的子事件.2. 设事件 甲种产品畅销 , 乙种产品滞销, 则 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销 ,乙种产品畅销 ; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.第二节 随机事件的概率对
10、一个随机事件 ，在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定. 但我们可以A问，在一次试验中，事件 发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小. 为此，本节首先引入频率，它描述了事件发生的频繁A程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数-概率.一. 频率及其性质定义 1 若在相同条件下进行 次试验, 其中事件 发生的次数为 , 则称nA)(Arn为事件 发生的频率.易见, 频率具有下述基本性质: 1. nArfn)( ;10f2. 3. 设 是两两互不相容的事件, 则;1)(Sf nA,21.)()()()22 nnn AfffAf 二. 概率
11、的统计定义4定义 2 在相同条件下重复进行 n 次试验，若事件 发生的频率 随着试验次数AnArfn)(n 的增大而稳定地在某个常数 ( 附近摆动，则称 为事件的概率，记为 . p)10p)(P频率的稳定值是概率的外在表现, 并非概率的本质. 据此确定某事件的概率是困难的，但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值, 因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够大的频率来估计概率的大小, 且随着试验次数的增加, 估计的精度会越来越高。三. 概率的公理化定义任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性. 概率的频率解释为概率提供了经验基础, 但是不能作为一个严格的数学定义, 从
12、概率论有关问题的研究算起, 经过近三个世纪的漫长探索历程, 人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义. 1933 年, 前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫, 在他的 “概率论的基本概念”一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系, 第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.定义 3 设 是随机试验, 是它的样本空间,对于 的每一个事件 赋于一个实数, 记为ESEA, 若 满足下列三个条件:)(AP)(1. 非负性：对每一个事件 ,有 ; 2. 完备性： ;A0)(P1)(SP3. 可列可加性：设 是两两互不相容的事件，则有,21 .)()(11iiiA则称 为事件 的概率.)(AP四. 概率的性质性
13、质 1-性质例题选讲：频率及其性质例 1 圆周率 是一个无限不循环小数 , 我国数学家祖冲之第一次把它145926.3计算到小数点后七位, 这个记录保持了 1000 多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873 年, 英国学者沈克士公布了一个 的数值, 它的数目在小数点后一共有 707 位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了 的 608 位小数, 得到了下表:67584625687260 9431出 现 次 数数 字你能说出他产生怀疑的理由吗?因为 是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于 0.1，但 7 出现的频
14、率过小.这就是费林产生怀疑的理由.概率的统计定义例 2 检查某工厂一批产品的质量, 从中分别抽取 10 件、20 件、50 件、100 件、150 件、200 件、300 件检查, 检查结果及次品频列入表 1-21 053.047.5.06.5.0/ 1631212n次 品 频 率次 品 数抽 取 产 品 总 件 数5由表 1 看出, 在抽出的 n 件产品中 , 次品数 随着 n 的不同而取不同值 , 从而次品频率仅在 0.05 附近有微小变化. 所以 0.05 是次品频率的稳定值.n例 3 从某鱼池中取 100 条鱼, 做上记号后再放入该鱼池中. 现从该池中任意捉来 40 条鱼, 发现其中两
15、条有记号, 问池内大约有多少条鱼?概率的性质例 4 已知 , 求 ,5.0)(AP,2.0)(B4.)(P(1) ; (2) ; (3) ; (4) .ABA)(BAP例 5 观察某地区未来 5 天的天气情况, 记 为事件: “有 天不下雨”, 已知i i求下列各事件的概率:),()(0i.43,21i(1) 天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (2) 至少一天不下雨;例 6 某城市中发行 2 种报纸 A, B. 经调查, 在这 2 种报纸的订户中, 订阅 A 报的有 45%,订阅 B 报的有 35%, 同时订阅 2 种报纸 A, B 的有 10%. 求只订一种报纸的概率 .a讲解注意：思考
16、题1.设 , 求事件 的逆事件的概率.,A,6.0)(P8.0)(B2.设 求 .4.)(36P)(AP3.设 都出现的概率与 都不出现的概率相等, 且 , 求 .B, BAp)(BP第三节 古典概型与几何概型引例 一个纸桶中装有 10 个大小、形状完全相同的球. 将球编号为 110.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这 10 个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这 10 个球中的任一个被抽取的可能性均为 .10这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象. 一、古典概型我们称具有
17、下列两个特征的随机试验模型为古典概型。1. 随机试验只有有限个可能的结果;2. 每一个结果发生的可能性大小相同.。因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为：在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件 包含其样本A空间 中 个基本事件, 即 则事件 发生的概率Sk ,21 kiii eeAA称此概率为古典概率.这种确定概率的)()()11 中 基 本 事 件 的 总 数包 含 的 基 本 事 件 数SnkPeAPkjijijj方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数
18、问题.二、 计算古典概率的方法基本计数原理：1. 加法原理：设完成一件事有 种方式,其中第一种方式有 种方法，第二种方式有 种m1n2n方法，,第 种方式有 种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事mn6的方法总数为 .mn212. 乘法原理：设完成一件事有 个步骤,其中第一个步骤有 种方法，第二个步骤有 种1n2n方法，第 个步骤有 种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这mn件事的方法总数为 .213. 排列组合方法：排列公式：(2) 组合公式； (3) 二项式公式.三、几何概型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本空间为一线
19、段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型几何概型.（a）设样本空间 是平面上某个区域, 它的面积记为 ;（b）向区域 上随机投掷一点,S )(SS这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入 内任何部分区域 的可能性只与区域 的面AA积 成比例, 而与区域 的位置和形状无关. 向区域 上随机投掷一点, 该点落在区域)(AA的的事件仍记为 ，则 概率为 , 其中 为常数，而 ，于是得)()(AP)(SP，从而事件 的概率为 几何概率 )(1S S)(注: 若样本空间 为一线段或一空间立体 , 则向 “投点”的相应概率仍可用 式确定, )(但 应理解为长度或体积.)(例题选讲：例 1 一个袋子
20、中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个黑球, 7 个白球, 求(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.例 2 将标号为 1, 2, 3, 4 的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率:(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成 1, 2, 3, 4 的顺序;(2) 第 1 号球排在最右边或最左边;(3) 第 1 号球与第 2 号球相邻;(4) 第 1 号球排在第 2 号球的右边( 不一定相邻).例 3 将 3 个球随机放入 4 个杯子中, 问杯子中球的个数最多为 1, 2, 3 的概率各是多少?例 4
21、 将 15 名新生(其中有 3 名优秀生 )随机地分配到三个班级中 , 其中一班 4 名, 二班 5 名, 三班 6 名, 求:(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率;(2) 3 名优秀生被分配到一个班级的概率.例 5 在 12000 的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率是多少?例 6 一个袋子中装有 个球，其中 个黑球， 个白球，随意的每次从中取出一个球baab（不放回） ，求下列各事件的概率：7（1）第 次取到的是黑球；i（2）第 次才取到黑球;（3）前 次中能取到黑球.几何概型例 7 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报
22、时, 设电台每正点是报时一次, 求他(她) 等待时间短于 10 分钟的概率.例 8 会面问题) 甲、乙两人相约在 7 点到 8 点之间在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率.思考题1. 设有 件产品, 其中有 件次品, 现从中任取 件, 求其中有 件次品的概率.NMn)(Mk第四节 条件概率先由一个简单的例子引入条件概率的概念.一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件) 下求事件的概率. 如在事件发生的条件下,求事件 发生的条件概率,记作 .AB)|(ABP定义 1 设 是
23、两个事件, 且 , 则称 (1)为在事件 发生的条件下,0)(AP)(|A事件 的条件概率.相应地，把 称为无条件概率。一般地， .B)(B)|BP(注: 1. 用维恩图表达(1) 式.若事件 已发生,则为使 也发生,试验结果必须是既在 中又在中的样本点,即此点必属于 .因已知 已发生,故 成为计算条件概率 新的样本AA)|(A空间. 2. 计算条件概率有两种方法:：a) 在缩减的样本空间 中求事件 的概率，就得到；b) 在样本空间 中，先求事件 和 ，再按定义计算 。)|(ABPS)(BP)( )|(BP二、乘法公式由条件概率的定义立即得到: (2)0()|()( AA注意到 , 及 的对称
24、性可得到: (3)BA )0(|BPBP(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。定理 1 设 是一个完备事件组,且 则对任一事件 ,有 ,21nA,0)(iAP,21B )|()|()( nBPBP注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算 不)(P8易时,可根据具体情况构造一组完备事件 , 使事件 发生的概率是各事件iAB发生条件下引起事件 发生的概率的总和.),21(iAB
25、四、贝叶斯公式利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即,一事件已经发生,要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性. 例如,有三个放有不同数量和颜色的球的箱子,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自 1 号箱的概率.或问:该球取自哪号箱的可能性最大?定理 2 设 是一完备事件组,则对任一事件 , ,有 ,21nAB0)(P贝叶斯公式,21,)|()()|( iABPBPj jjiiii注: 公式中, 和 分别称为原因的验前概率和验后概率. 是在没)(iA)|(i ),21)(
26、iAP有进一步信息(不知道事件 是否发生) 的情况下诸事件发生的概率 .当获得新的信息(知道发生),人们对诸事件发生的概率 有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种B)|(BAPi变化. 特别地,若取 ,并记 , 则 ,于是公式成为2n12.)|()|(|)(|( ABPAPBAP例题选讲：条件概率例 1 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球, 7 个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率 ;(2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率 .例 2 袋中有 5 个球, 其中 3 个红球 2 个白球. 现从
27、袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率.乘法公式例 3 一袋中装 10 个球, 其中 3 个黑球、7 个白球, 先后两次从中随意各取一球 (不放回), 求两次取到的均为黑球的概率.分析：这一概率, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.例 4 设袋中装有 只红球, 只白球.每次自袋中任取一只球 , 观察其颜色然后放回, 并再放rt入 只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一
28、, 二次取到红球且第a三, 四次取到白球的概率.例 5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为 9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.9例 6)已知 ， 试求,3.0)(AP4.)(B,5.0)|(BAP ).|(),|(BAPBA例 7 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球、7 个白球，从中先后随意各取一球（不放回） ，求第二次取到的是黑球的概率.全概率公式例 8 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利
29、率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为 60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为 80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为 40%, 求该支股票将上涨的概率.例 9 某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂每箱装 100 个，废品率为 0.06, 乙厂每箱装 120 个, 废品率为 0.05, 求: (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率 .例 10 在例 7 中，我们将“第二次取到的球为黑球”这一事件分解为两种情况下发生，那
30、里利用全概率公式算得“第二次取到的球为黑球”的概率. 现在的问题是,假设我们已经观察到“第二次取到的球为黑球” ，但我们不知道是在第一次取到的球为黑球的情况下第二次取的是黑球的可能性大，还是在第一次取到的球为白球的情况下第二次取到的是黑球的可能性大，现求“第一次取到的是黑球”这种“情况”发生的概率.例 11 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?例 12 设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产
31、的产品分别占 45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为 4%, 2%, 5%, 现从中任取一件 ,(1) 求取到的是次品的概率 ;(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.例 13 根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以 表示事件“试验A反应为阳性” ，以 表示事件“被诊断者患有癌症” ，则有C 95.0)|(,95.0)|(CP现在对自然人群进行普查, 设备试验的人患有癌症的概率为 0.005, 即 , 试求.).|(AP思考题1.设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 0.8, 活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 2
32、0 岁的这种动物, 它能活到 25 岁以上的概率是多少?第五节 事件的独立性一、 两个事件的独立性定义 若两事件 , 满足 (1)则称 , 独立, 或称 , 相互独立.AB)()(BPAABAB注: 当 , 时, , 相互独立与 , 互不相容不能同时成立 . 但 与 既相0)(P)( S互独立又互不相容(自证).定理 1 设 , 是两事件, 且 ,若 , 相互独立, 则 . 反之亦然.AB0)(APB)(|(APB10定理 2 设事件 , 相互独立,则下列各对事件也相互独立: 与 , 与 , 与 .ABABAB二、有限个事件的独立性定义： 为三个事件, 若满足等式 则称事件 相互独立. C )
33、,()(,),(CPBACPC,对 个事件的独立性, 可类似写出其定义:n定义 设 是 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称nA,21两两独立.nA,21三、 相互独立性的性质性质 1 若事件 相互独立, 则其中任意 个事件也相互独立;nA,21 )()1(nk由独立性定义可直接推出.性质 2 若 个事件 相互独立, 则将 中任意 个nn,21 )2( nA,21 )1(nm事件换成它们的对立事件, 所得的 个事件仍相互独立; 对 时，定理 2 已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.性质 3 设 是 个随机事件，则 相互独立 nA,21 )2(nA,21 两两独立。
34、即相互独立性是比两两独立性更强的性质, nA,21四、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件 发生( 记为 ) 或 事件 不发生(记为 ), 则称这AA样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设 将伯努利试验),10,1(,) pPp独立地重复进行 次, 称这一串重复的独立试验为 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.nn注: 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用 .其特点是: 事件 在每次试验中发生的概率均为 ,且不受其他各次试验中 是否发生的影响.ApA定理 3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件 发生的概率为 则在 重贝努里),10(pn试验中,事件 恰好发生 次的概率为k .,)1(kpCkXPnkn推论 设在一次试验中,事件 发生的概率为 则在 重贝努里试验中, 事件A,0在第 次试验中的才首次发生的概率为Ak ).,1(,)1(nkp注意到“事件 第 次试验才首次发生”等价于在前 次试验组成的 重伯努利试验中k k“事件 在前 次试验中均不发生而第 次试验中事件 发生”,再由伯努利定理即推得.1kA例题选讲：两个事件的独立性
