1、 - 1 -二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函cbaxy,(2)0ayx数.2.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbax2二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a 时，y 随 x 的增大而增大ab2（4）抛物线有最低点，当 x= 时，yab2有最小值， cy4最 小 值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是（ab2， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小ab2（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有ab2最大值， cy4最 大 值3.用待定系
2、数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy- 2 -（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.khxay2求抛物线的顶点、对称轴的方法： ，abcxacbaxy4222 顶点是 ，对称轴是直线 .），（ abc422（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x221xay抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故021， xBA1x20xacb1, acbacbxxxx 4422212121214.抛物线 中， 的作用cbaya
3、,（1） 决定开口方向及开口大小：0，开口向上； 0，开口向上，又y=x 2x+m=x 2x+（ 1） 2 4+m=（x 12） 2+ 4对称轴是直线 x= ，顶点坐标为（ ， ）（2）顶点在 x 轴上方，顶点的纵坐标大于 0，即 41m0m 14m 时，顶点在 x 轴上方（3）令 x=0，则 y=m即抛物线 y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是 A（0，m）ABx 轴B 点的纵坐标为 m当 x2x+m=m 时，解得 x1=0，x 2=1A（0，m），B（1，m）在 RtBAO 中，AB=1 ， OA=m S AOB = 2OAAB=4 1m1=4 ，m=8故所求二次函数的解析式为 y=x2
4、x+8 或 y=x2x8- 4 -【点评】正确理解并掌握二次函数中常数 a，b，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处例 2 已知：m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 m0，所以此函数的图像与 x 轴有两个不同的交点故图像经过 A，B 两点的二次函数为 y=x2mx 2m（2）将 A（1，0）代入 y=x2mx2得 1+m2m=0整理，得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时， y=x21令 y=0，得 x21=0解这个方程，得 x1=1，x 2=1此时，点 B 的坐标是 B（1，0）当 m=2 时， y=x22x3令 y=0，得 x22x3=0解这
5、个方程，得 x1=1，x 2=3此时，点 B 的坐标是 B（3，0）（3）当 m=0 时，二次函数为 y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为 x=0，所以当 x0 Ca+b+c0(第 9 题) (第 12 题) (第 15 题)10已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点M（2，y 1），N（1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（ ）- 8 -Ay 10）交 x 轴 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对
6、称轴及点 A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P，你能判断四边形 ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；- 9 -18如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn， 抛物线 y=x 2+bx+c的图像经过点 A（m，0），B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于点 H，若直线 BC 把 PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出点 P 的坐标19某地计
7、划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道， 其截面是抛物线拱形 ACB，而且能通过最宽 3m，最高 3.5m 的厢式货车按规定， 机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是 0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度 AB 和拱高 OC- 10 -20已知一个二次函数的图像过如图所示三点（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y= 254，抛物线与（3）x 轴交于 A，B 两点在抛物线的对称轴上找点 P，（4）使 BP 的长等于直线 L 与 x 轴间的距离求点 P 的坐标21如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与 x轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），点 C（0 ，5），D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB 的面积
