1、 1立体几何分类复习一、球的相关知识考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径 2正方体的内切球其棱长为球的直径 3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线 4正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 5.性质的应用 ，构造直角三角形建立三者之间的关系。221rROd1.（2015 高考新课标 2，理 9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B.64 C.144 D.25623参考答案2. 3. 4.
2、 4类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。 （两题互换条件形成不同的题）1如图球 O 的半径为 2，圆 是一小圆， ，A 、B 是圆 上两点，若 A，B 两点间的球112O1O面距离为 ，则 = . 3AB2如图球 O 的半径为 2，圆 是一小圆， ，A 、B 是圆 上两点，若 = ，则11112A,B 两点间的球面距离为 （2009 年文科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 ，从而解决问题。rCc2sin3. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , 1AB 12ABC，则此球的表面积等于
3、 。120BAC4.正三棱柱 内接于半径为 的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积12,AB为 5.12已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB= ， ，则棱锥330BSCASABC 的体积为 A B C D13326.（11）已知 是球 表面上的点， ， ， ，,COSAB平 面 S，则球 表面积等于 2BC（A）4 （B）3 （C）2 （D）类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。7.15.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成 45角的平面截球 的表面得到OMOAOAO圆 。若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 .（200
4、9 年文科）C748.已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成二面角的平面 截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 5(A)7 (B)9 (C)11 (D)139.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬 纬线长和赤道长的比值为 06（A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。10.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm （2010 年理科）11.16长方体 的顶点均在同一个
5、球面上， ，1ABCD 1AB，则 ， 两点间的球面距离为 .212.体积为 的一个正方体，其全面积与球 的表面积相等，则球 的体积等于 8OO 13.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，316体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_ 14.如图，半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . 类型五：平面几何性质在球中的综合应用。15.已知球 的半径为 4，圆 M与圆 N为该球的两个小圆， AB为圆 M与圆 N的公共弦，4AB若 3O，则两圆圆心的距离 类型六：性
6、质的简单应用。16.已知 为球 的半径，过 的中点 且垂直于 的平面截球面得到圆 ，若圆 的面AO积为 ，则球 的表面积等于_ _.317.（15）已知矩形 的顶点都在半径为 4 的球 的球面上，且 ,则BCD6,23ABC棱锥 的体积为 。OA18.（9）高为 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为241 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 （2011 年理科）（A） （B ） (C)1 (D) 226BCDANMO参考答案：3、欲求球的表面积，归根结底求球半径 ，与 相关的是重要性质 。R22drRAA 1=2,
7、 。121AOd现将问题转化到O 2的半径之上。因为ABC 是O 2的内接三角形，又知 AB=AC=2，BAC=120，三角形可解。由余弦定理有 ，324cos22 BACACB由正弦定理有 2sinsinr 。.51422drR042RS4、8 5、C 6 A 7 问题的解决根本求球半径 。OB与 相关的重要性质 中， 可求（ ）22drr472r2r问题转化到求 上Od充分运用题目中未用的条件， ，OMC=45，2RM2Rd于是 求得 ，84722R284S8 D 9、 C 10、 4 11、 12、 13、1/3 14、3215、析：由 OM=ON 知，M 与No 为等圆，根据球中的重要
8、性质 79162dRr又 MHAB 得 H 为 AB 中点， BH=AH=2 32BHNMOMH=ONH=90MON=MHN由余弦定理有 MN2=OM2+ON22OMONcosMONMN2=MH2+NH22MHNHcos(MON)解得 cosMON= ，即MON=13三角形 OMN 为等边三角形， MN=3.16、16 17、24 18、C7二、二面角的求法：1、如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.2、如图，在平行六面体 中， 平面 ，且 ，1
9、BC1BD2A， .13A120D（1)求异面直线 与 所成角的余弦值；A（2）求二面角 的正弦值。1B81、 （1）由已知 ，得 ，90BAPCDABPCD由于 ，故 ， 从而 平面/又 平面 ，所以平面 平面（2）在平面 内作 ，垂足为FF由（1）可知， 平面 ，故 ，ABPDABP可得 平面PC以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为x|单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz由（1）及已知可得 222(,0)(,),(,10)(,10)APBC所以 (,1),(,)(,),(,)PCCAAB设 是平面 的法向量，则,)nxyzPB即0,nC20,xyz可取 (0,12)设 是平
10、面 的法向量，则mxyzPAB即0,20,xzy可取 (1,0)m则 3cos,|n所以二面角 的余弦值为APBC32、22.解：在平面 内，过点 作 ，交DAED9于点BCE因为 平面 ，1ABCD所以 1,A如图，以 为正交基底，,E建立空间直角坐标系 xyz因为 ，12,3,120ABDBAD则 11(0,)(0)()(,)(,3),(,3)EC（1） 1,3C则 11cos,|AB(3,)(3,)77因此异面直线 与 所成角的余弦值为1AB1C1（2）平面 的一个法向量为1D(3,0)E设 为平面 的一个法向量，(,)mxyz1又 13,(,)ABB则 即0,D30xyz不妨取 ，则 ，3x2，所以 为平面 的一个法向量，(,2)m1BAD从而 (3,0)(,2)3cos, 4|EmA设二面角 的大小为 ，则1|cos|因为 ，所以0,27sin1410因此二面角 的正弦值为1BAD74
