1、第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 01802. 直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线 l 与 x 轴平行或重合时, = 0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在.当 90,时， ； 当 180,9时， k； 当 90时， k不存在。例.如右图，直线 l1 的倾斜角 =3
2、0，直线 l1l 2，求直线 l1 和 l2 的斜率.解：k 1=tan30= l 1l 2 k 1k2 =13k 2 =例：直线 的倾斜角是 ( )05yxA.120 B.150 C.60 D.30过两点 P1 (x1，y 1)、P 1(x1，y 1) 的直线的斜率公式： )(212xxyk 注意下面四点：(1)当 21x时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线 l1 经过点 A(m，1)、B(3，4) ，直线 l2
3、 经过点 C(1，m) 、D(1，m+1)，当(1) l 1/ / l2 (2) l1l 1 时分别求出 m 的值三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3. 直线方程点斜式： )(11xky直线斜率 k，且过点 1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标xyo12l1l2都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： y=kx+b，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式： 1122x（ 212,x）直线两点 P1 (x1，y
4、 1)、P 1(x1，y 1)截矩式： yab其中直线 l与 轴交于点(a，0) ，与 y 轴交于点(0，b), 即 l 与 x 轴、y 轴的截距分别为 a、b。注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为 0 或都为 0 ；但不可能一个为 0，另一个不为 0. 其方程可设为： 1xyab或 y=kx. 一般式： Ax+By+C=0（A，B 不全为 0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于 x 轴的直线： by（b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： ax（a 为常数） ； 例题：根据下
5、列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是 ，经过点 A(8，2) ； .12(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； .(3)在 轴和 轴上的截距分别是 ； .xy3,2(4)经过两点 P1(3，2)、P 2(5，4)； .例 1：直线 的方程为 Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）lAC=0，B0 BC =0，B0，A0 CC=0，AB0例 2：直线 的方程为 AxByC=0，若 A、B 、C 满足 AB.0 且 BC0，则 l 直线不经的象限是l（ ） A第一 B第二 C第三 D第四4. 两直线平行与垂直 当 11:bxkyl， 22:bxkyl时
6、，2,/； 11l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线 l1：A 1x+B1y+C1=0，l 2：A 2x+B2y+C2=0，(A1 与 B1 及 A2 与 B2 都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组 的一组解。0CB2211yx两条直线的交角：两条相交直线 与 的夹角：两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成的四个角中1l2 1l21l2最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围是 ，当 ，则有 .l ,09021tank若方程组无解 21/l ； 若方程组有无数解 1l与 2重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素 代
7、数表示点 P 坐标 P(xo，y o) 直线 l 方程 Ax+By+C=0点 P(xo，y o)在直线 l 上 坐标 满足方程：A x+By+C=0),(0点 P(xo，y o)是 l1、l 2 的交点 坐标(x o，y o)满足方程组 CB22117. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10 方程组有唯一解 两直线相交,C121或 A1C2A2C1 0无解 两直线平行B121或 A1C2A2C1 = 0有无数个解 两直线重合两条直线垂直的判定条件：当 A1、B 1、A 2、B 2 满足 时 l1l 2。答：A 1A2+B1B2=0经典例题；例 1.已知两直线 l1： x+(1+m)
8、y =2m 和 l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时 l1 与 l2相交平行解：例 2. 已知两直线 l1：(3a+2) x+(14a) y + 8=0 和 l2：(5a2)x+(a+4)y 7=0 垂直，求 a 值解：例 3.求两条垂直直线 l1：2x + y +2=0 和 l2： mx+4y2=0 的交点坐标解：例 4. 已知直线 l 的方程为 ，1(1)求过点（2，3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于 l 的直线方程。8. 两点间距离公式：设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|= 2(9. 点到直线距离公式：一点
9、P(xo，y o)到直线 l：A x+By+C=0 的距离 2oBACd|yx|10. 两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1：A x+By+C1=0，l 2：A x+By+C2=0，则 l1 与 l2 的距离为 2BACd例 1：求平行线 l1：3x + 4y 12=0 与 l2： ax+8y+11=0 之间的距离。例 2：已知平行线 l1：3x +2y 6=0 与 l2： 6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。11. 直线系方程已知两条直线 l1：A 1x+B1y+C1=0，l 2：A 2x+B2y+C2=0，(A 1 与 B1 及 A2
10、与 B2 都不同时为零)若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：l：A 1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2) =0 或者 (A 1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0 都可以例 1：直线 l：(2m+1)x+(m+1)y7m 4=0 所经过的定点为 。(mR)例 2：求满足下列条件的直线方程(1) 经过点 P(2，3) 及两条直线 l1： x+3y4=0 和 l2：5x+2y+1=0 的交点 Q；(2) 经过两条直线 l1： 2x+y8=0 和 l2：x 2y+1=0 的交点且与直线 4x3y7=0 平行；(3) 经过两条直线 l1： 2x3y+10=0 和 l2：
11、3x +4y2=0 的交点且与直线 3x2y+4=0 垂直；解：12. 中点坐标公式：已知两点 P1 (x1，y 1)、P 1(x1，y 1)，则线段的中点 M 坐标为( ， )21x21y例. 已知点 A(7，4) 、B( 5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。13、对称问题：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两
12、对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线 对称的解法：y 换 x， x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直bx线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 例 1：已知直线 l：2x 3y+1=0 和点 P(1，2). (1) 分别求：点 P(1，2) 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标(2) 分别求：直线 l：2x 3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程.(
13、3) 求直线 l 关于点 P(1，2)对称的直线方程。(4) 求 P(1， 2)关于直线 l 轴对称的直线方程。例 2：点 P(1，2)关于直线 l： x+y2=0 的对称点的坐标为 。例 3：已知圆 C1：(x+1) 2+(y1)2=1 与圆 C2 关于直线 xy1=0 对称，则圆 C2 的方程为： 。A. (x+2)2+(y2)2=1 B. (x2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x2)2+(y2)2=1基础训练 A 组一、选择题1设直线 的倾斜角为 ，且 ，0axbycsinco0则 满足（ ）,A B 1C D0ba0ba2过点 且垂直于直线 的直线
14、方程为（ ）(1,3)P32yxA Byx5C D05073已知过点 和 的直线与直线 平行，(2,)m(,4)01yx则 的值为（ ）A B C D84已知 ，则直线 通过（ ）0,abcaxbycA第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限5直线 的倾斜角和斜率分别是（ ）1xA B 04,035,1C ，不存在 D ，不存在9 086若方程 表示一条直线，则实数 满足（ ）14)()2(2myxmmA B 03C D ， ，1230二、填空题1点 到直线 的距离是_.(,)P10xy2已知直线 若 与 关于 轴对称，则 的方程为_;,32:1l2ly2l若
15、 与 关于 轴对称，则 的方程为_;3lx若 与 关于 对称，则 的方程为_;41y4l3 若原点在直线 上的射影为 ，则 的方程为_ 。l)1,2(l4点 在直线 上，则 的最小值是_.(,)Pxy0xy2xy5直线 过原点且平分 的面积，若平行四边形的两个顶点为lABCD，则直线 的方程为_。(1,4),0BDl三、解答题1已知直线 ，xy0（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与 x 轴相交；（4）系数满足什么条件时是 x 轴；（5）设 为直线 上一点，Pxy0， AByC0证明：这条直线的方程可以写成 y2求经过
16、直线 的交点且平行于直线32:,532:1xll 032yx的直线方程。3经过点 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？(,)A请求出这些直线的方程。4过点 作一直线 ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 (5,4)l 5（数学 2 必修）第三章 直线与方程综合训练 B 组一、选择题1已知点 ，则线段 的垂直平分线的方程是（ ）(,2)3,1ABAA B 54yx524yxC D2若 三点共线 则 的值为（ ）1(,3)(,)(,)2Cm 123直线 在 轴上的截距是（ ）xayb21A B C D2b4直线 ，当 变动时，所有直线都通过定点（ ）3kxykA B (0
17、,)(0,1)C D(3,1)(2,1)5直线 与 的位置关系是（ ）cosin0xyasincos0xybA平行 B垂直 C斜交 D与 的值有关,b6两直线 与 平行，则它们之间的距离为（ ）30xy610xmyA B C D 42153271027已知点 ，若直线 过点 与线段 相交，则直线 的(,3),)l(,)PABl斜率 的取值范围是（ ）kA B C D 42k324k或 2k二、填空题1方程 所表示的图形的面积为_。1yx2与直线 平行，并且距离等于 的直线方程是_。524733已知点 在直线 上，则 的最小值为 (,)Mab1543yx2ba4将一张坐标纸折叠一次，使点 与点
18、重合，且点 与点 重合，则(0,2)(,)(7,3)(,)mn的值是_ 。nm设 ，则直线 恒过定点 ),(为 常 数kba1byax三、解答题1求经过点 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 的直线方程。(2,)A2一直线被两直线 截得线段的中点是 点，当 点分0653:,064:21 yxlyxl P别为 ， 时，求此直线方程。(0,),3、把函数 在 及 之间的一段图象近似地看作直线，设 ，yfxaxbacb证明： 的近似值是： fcfcfa4直线 和 轴， 轴分别交于点 ，在线段 为边在第一象限内作等边31yxy,AB ，如果在第一象限内有一点 使得 和 的面积相等，ABC1(,)2P
19、mPC求 的值。m（数学 2 必修）第三章 直线与方程提高训练 C 组一、选择题1如果直线 沿 轴负方向平移 个单位再沿 轴正方向平移 个单位后，lx3y1又回到原来的位置，那么直线 的斜率是（ ）lA B C D1332若 都在直线 上，则 用 表示为（ ）PabQcd， 、 ， ymxkPQacm、 、A B C D m12ac12123直线 与两直线 和 分别交于 两点，若线段 的中点为ly70x,ABAB，则直线 的斜率为（ ）(1,)MlA B C D 23232234 中，点 , 的中点为 ,重心为 ，则边 的长为（ ）C(41)A()M(4,)PBCA B C D541085下列
20、说法的正确的是（ ）A经过定点 的直线都可以用方程 表示Pxy00， ykx00B经过定点 的直线都可以用方程 表示b， bC不经过原点的直线都可以用方程 表示xayb1D经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程21P，、，表示yxxy121126若动点 到点 和直线 的距离相等，则点 的轨迹方程为（ ）P(,)F340PA B 30xyxyC D22二、填空题1已知直线 与 关于直线 对称，直线 ，则 的斜率是_.,3:1xyl2l1xy3l23l2直线 上一点 的横坐标是 ，若该直线绕点 逆时针旋转 得直线 ，0xP3P09l则直线 的方程是 l3一直线过点 ，并且在两坐标轴上截距之和为 ，这条直线方程是_(3,4)M124若方程 表示两条直线，则 的取值是 022yxmx m5当 时，两条直线 、 的交点在 象限10k1kkxy三、解答题1经过点 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？(3,5)M2求经过点 的直线，且使 ， 到它的距离相等的直线方程(1,2)P(2,3)A(0,5)B3已知点 ， ，点 在直线 上，求 取得(,)A,)BPxy212PBA最小值时 点的坐标。P4求函数 的最小值。22()48fxxx
