1、第四节 函数的微分前面已经介绍了函数的导数和偏导数及其有关的运算法则下面介绍与导数和偏导数密切相关的新概念微分，它是微积分学的重要组成部分一、一元函数的微分首先考虑研究函数的增量与其切线增量的关系 1 设 ，那么 在 点上的函数为 ，此时 在 的切线2xyy0x02xy2xy0为 即 这时 与 在 相切，切020020点为 若设自变量增量为 ，则函数增量为),(20x0x2020 xy切线 的增量记为20xyxxy02002)(显然，当 时， ，这是因为x 12limli0220xyxx一般情况下，设 在 可导，即)(f，xyxffxf 0000 lim)li即 是当 时的无穷小记为 即)(0
2、xfy)(，0xfxy所以)()(0of就是当自变量的增量为 时，函数的增量为 ，而 就是xxfy0xf)(0在 点的自变量 的增量为 时， 在 点的切线的增量，)(xfy0 x)(事实上，在点 ，函数 的切线方程为)(fy)()(00xfxfy而此增量为ff)()(002从这里我们可以看出，一元函数在一点如果可导，它的相对于自变量的增量 而产生的x增量与此点相对应的切线增量在 是等价的无穷小即x，fy)(0x即 是 在 点时 的线性的主要部分，这里对 的要求是可导。xf)(0)(fy0)(xfy对于一般的函数，可以有下面的定义定义 5.2 设函数 在 点的某个邻域中有定义，若 在 的增量为
3、时，)(xf0 0所得到的函数的增量为，)()(0xoAxfy其中 是 时 的高阶无穷小，则称 在点 可微，并称线性主xo0xfy0部 是 在点 的微分，记为 d ，即 或 A)(fy xxAd显然 ，当 时， y特别当函数 时，xd0x fy)(，即 ，因此以后记 一般地，若 在 点可xy0yxx0微，则 由此我们可以得到下面的定理A定理 5.9 一元函数 在 点可微的充分必要条件是 在 点可导)(xfy0 )(xfy0证明：先证明必要性设 在 点可微，则有)()(0xoAxfy其中 与 无关，再令 ，即得 ，所以极限Ax0x Ayxx limli存在，且等于 ，所以 在 点可导，其导数为
4、故 yx0limA)(fy0 dxfy0再证充分性设 在点 可导，则 ，由极限与无穷小的关系，)(xf0 )(li0fxy可以设 ，其中 ，所以)(0fxy，)()()(00 ofxfy所以 在 点可微， 就是 在点 的微分即)(fy0 xy，xfdy)(0即 一般情况下， 在 点可导，则它的微分为 分别是自)(xfydxfy)(y和变量与函数的微分，因此导数 也称为微商dy从前面知道，一元函数的微分是 在此点的切线的增量，由导数公式，我们可)(xf以得到一元函数的微分公式(1) ；（c 为常数） ；0(dxc(2) ；1(3) ；xcos)(sin(4) ；ddi(5) ；x2sec)(ta
5、(6) ；o(7) ；dxxd21)(arcsin(8) ；x2)(ro(9) ；dd21actn(10) xxr)o(11) ；)1,0la， （(12) (,ln1)(lgdxxda这是基本公式表，这些公式一定要熟记还要反过来记如；)(cos)cos(si xdx；3223dxxx adadln1ln1从中我们可以知道，对于任意常数 ，有 ，即常kdxfkff)()(数可以提出来，类似地，当 可导，则有)(,xvudvuxvdxuvudxvud )()()()(即和的微分等于微分的和同样可以得到下面的结论：；dxxvud)()(0)(,)(1)()(2 xuvud对于复合函数 在有意义的邻
6、域内也可导，, gfyxgufy则都 可 导且，dufxdfxfdfd )()()()( 即)()(gfgf这个性质叫做微分的形式不变性容易得到： ，xd2)(dxxx21cos)1(cos1sin 类似地，我们可以给出与导数相对应的微分公式二、多元函数的全微分类似于一元函数的微分，我们可以将它推广到多元函数定义 5.3 设 是 中的一个区域， ， 在DnRDxPn),.(010 ),.(21nxfy的某个邻域中有定义，对 ，当 即0P),.(21nxPUP时，函数增量为)0,.,.21nxiii ,.2,0，)(),.( 0121 nnxfxfy若存在 仅与 有关，与 无关的常数，使得nA,
7、.21,00x,.i，oxAxyn.21这里 ，则称 在 可微，并称2210.nxxP ),.(21nxfy0P为 在 的全微分，记为 或 df，即nAxA.21 ),.(21nfy0Pdy，nxAxd当 时， 与 是等价无穷小。)0,.(,.21nxyd特别，对于 在 可微就是存在仅与 有关的常数 、yfz,xP),(0yxPA，使得B，)(),(),( 20oBxAyff 其中 ，对于三元函数 ，它在 可微就00,yx ),zyfu,(00zyx是存在仅与 有关的常数 使得)(zPC, )(),(, 220 zyxozyBxAyxfyf 由此可得下面的定理：定理 5.10 若区域 上的多元
8、函数 在 可微，D),.(21nf DPn),.(010其微分为 ，则 在 点的所有一阶偏nxxAdy.21 ,.xy导数都存在，且0001 PnPP xfAxfAxf ， ， 反过来不一定成立证 仅考虑三元函数 ，设它在 可微，则),(zyfu),(00zy)(,),( 220 zyxoCBxAxzyf 当令 时， ，从而0,yz，xuzy10100 )(limli0 Aoxxxzx 同样可以证明： 00PPzfCyfB，定理 5.11 若 在 可微，则 在),(yxfu),(00zyx),(zyxfu连续),(00zyxP证 在 可微，所以可设,(fu),(00zyxP )(,), 22z
9、yxozCyBxAfzyx ，),( )(lim,),(lim0 00000 zyxf PffPP所以 在 连续),(zyxfu,0例 5.24 证明二元函数 在 不可微)0,(,),(2yxyxf ,证 因为当点 沿直线 趋近原点时，),(Pk220,0, 1)(lim),(li kxkyxfxkkxy 对于 的不同取值，极限是不相同的，所以函数在原点的极限不存在， 在原点k ),(yxf也就不连续更谈不上可微了从上面例题可以得到 在原点不可微，但是),(yxf0),(),0(lim),(00lim),0( yffff yyxx ；这表明多元函数与一元函数有很大的差别一元函数可微的充分必要条
10、件是函数可导对于多元函数偏导数存在，函数不一定可微对于多元函数 ， ，即当),.(1nxfu nxdxd,.,21在 可微时，有),.(1nxfunxxx dfdffdu.21例 5.25 ，求 yexu2)si(解：dyexdxeyudyx 22 )cos()cos(反过来，需要加一个条件，有下面的结论：定理 5.12 设 在点 的某个邻域中有定义，在 的偏导数存),(yxfu),(0 ),(0yx在且连续，则 在点 可微0这个结论对于多元函数同样成立，我们将在以后证明（见定理 6.9） 下面将给出复合函数的偏导数的计算方法我们以二元函数为例说明，对一般 元函n数也有相应结果。定理 5.13
11、 设 在 可微， 在 可导，则复合函数),(yxfu, )(),(tytx在 可导，且)(,tyxfudtyftxfdtu证明：由于 在 可微，所以),(yxfu,， （其中 ） 2),0(yxdtyftxf tyfxftudt ttttt000limlilim这里要注意到当 时，由于 在 可导，所以 ，从t )(),(t0,yx而 0定理 5.14 设 在点 可微， 在点 偏导数),(yxfu),( ),(),(tsytsx， ),(t存在，则 点 偏导数存在，且有tsfttyftxftuss事实上，对 求偏导时，可以把 t 看成常数s例 5.26 设 ，求 xyvxuvez,in2z,解
12、由上面的定理知， )cos()sin(2xyxevezuxzyu)cos()sin(2xyyevezuzxu例 5.27 设 有连续偏导数，若设 ，证明：),(yxfz in,rr22221 yzxzrz证 ；sincoyxyrxz)cos()i(rzrzyx所以22221 yzxzrz注意有的书上采用的是这样的记号，用 表示函数 对括号中的第1f ),.(21nxfu一个变量求偏导数一般地，用 表示函数 对括号中的第 i 个变量求if ),.(21nx偏导数由此可以得到复合函数的微分性质以二元函数为例设 都可微，则 也可微，事实),(),(),(vuyxyfz ),(,(vuyfz上，设 ，
13、由它们产生的 的增量为 ，相应的有 的增vu，的 增 量 分 别 为, yx,xz量 ，由于 可微，所以z),(yxf)()()( 2222 yxovuovyfvxfuyfxf vuyfovyxyfxfz 由于 时， 所以 也是 的高0,vu)0,(, 2yx2v阶无穷小而 的前面部分是 的线性表示，所以 可微且zvu ),(,(uvfz其微分为dvyfxfduyfxfdz 注意到 所以 这个性质就,vvux ,yzxz叫做微分的形式不变性作为一个应用，如果 都可微，那么 是 的)(,),(,( tztytxzyfut一元函数，所以 ，这个表示是唯一的，另一方面：dtxtdu),，dtzfty
14、fdtxfzfyf 所以dtzftfdtfzxfdt),(这就是前面的一个结论例 5.28 已知 ，其中 具有连续的二阶偏导数，求 ),sin,2(xyfzf yxz2解 令 ，则 。我们有vyxui, ,(vufzvfxyfxyf cos2cos2于是vfxvfxyvufxyuf uf yvfvfxyvfxvuffyyxz cossinco)cossin2( )i(cscs)(os2 22 2222 22三、高阶微分1、一元函数类似高阶导数，我们也有函数 的高阶微分。)(xfy的 阶微分为)(xfyn,32),(1nydn于是一阶微分 xf)(二阶微分 22 )(.)( dxfddxfdy 其中， 表示 ； 是 的二阶微分，等于零； 。2dx)( 2类推下去，我们可以得到阶微分 nnnndxfyd)()(1即 ，这也就是前面 阶导数的记号。)(xfdyn我们前面得出了一阶微分形式不变性，而高阶微分是没有这个性质的。我们下面以二阶微分为例来说明，对函数 有)(xfy22)(dxfy引入中间变量 ： 。这时，一阶微分具有不变性u)(),(xgufyufdy)(
