1、一、填空题：1.若 ， 为同阶方阵，则 的充分必要条件是 AB2)(BABA。2. 若 阶方阵 ， ， 满足 , 为 阶单位矩阵，则 。nCIn1CAB3. 设 ， 都是 阶可逆矩阵，若 ,则 。AB0AB1014. 设 A ，则 。12125. 设 ， .则 。431BBA7316.设 ，则 3021A1A31027设矩阵 ， 为 的转置，则 = .1 - ,201BTABAT16028. ， 为秩等于 2 的三阶方阵，则 的秩等于 2 .103A二、判断题（每小题 2 分，共 12 分）1. 设 均为 阶方阵，则 （ k 为正整数） 。（ ）BA、 nkBA)(2. 设 为 阶方阵，若 ，
2、则 。（ ,CCI11 ） 3. 设 为 阶方阵，若 不可逆，则 都不可逆。 ( )、 n,4. 设 为 阶方阵，且 ，其中 ，则 。 ( BA、 n0AB0B )5. 设 都是 阶矩阵，且 ，则 。（ C、 IC,）6. 若 是 阶对角矩阵， 为 阶矩阵，且 ，则 也是 阶对角矩阵。（ AnBnABn ）7. 两个矩阵 与 ，如果秩（ ）等于秩（ ） ，那么 与 等价。 （ A）8. 矩阵 的秩与它的转置矩阵 的秩相等。 ( )AT三、选择题(每小题 3 分,共 12 分)1.设 为 34 矩阵，若矩阵 的秩为 2，则矩阵 的秩等于（ B ）ATA3(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)
3、 42.假定 、 、 为 阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的 （ C ） ABn（A） （B）)()(kBA（C） （D） C3. 已知 为 阶方阵，则下列性质不正确的是（ A ）、 n(A) (B) B)()(C) (D) C)( BA4. 设 ，其中 、 、 都是 阶方阵，则（ D ）IPQPn（A） （B） 1111PQ（C） （D） A5. 设 阶方阵 ，如果与所有的 阶方阵 都可以交换，即 ，那么 必定是（ nnBAB ）（A）可逆矩阵 （B）数量矩阵 （C）单位矩阵 （D）反对称矩阵6. 两个 阶初等矩阵的乘积为（ C ）n（A）初等矩阵 （B）单位矩阵（C）可逆矩阵 （D）
4、不可逆矩阵7. 有矩阵 ， ， ，下列哪一个运算 不不可行（ A ）233（A） （B） C（C） （D）ABCAB8. 设 与 为矩阵且 ， 为 的矩阵，则 与 分别是什么矩阵( D )CmnB(A) (B) nm(C) (D) 9.设 为 阶可逆矩阵，则下列不正确的是 ( B ) A(A) 可逆 (B) 可逆1 IA(C) 可逆 (D) 可逆2210. 均 阶为方阵，下面等式成立的是 （ B ） ,n（A） （B） TTB)(（C） （D）11)(A11A11.设 都是 阶矩阵，且 ，则下列一定成立的是（ C ）B,n0（A） 或 （B） 都不可逆 0,（C） 中至少有一个不可逆 （D）,
5、 0A12.设 是两个 阶可逆方阵，则 等于（ A ）B,n1T（A） (B) 1T B1T（C） （D）T)( 113.若 都是 阶方阵，且 都可逆，则下述错误的是（ A ）B,n,（A） 也可逆 （B） 也可逆（C） 也可逆 （D） 也可逆1 114. 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是 （ B ）,（A） （B） A（C） （D）15设 均为 阶方阵，下列情况下能推出 是单位矩阵的是 （ D ）,n（A） （B） A（C） （D） I I116.设 都是 阶方阵，则下列结论正确的是（ D ）B,（A）若 和 都是对称矩阵，则 也是对称矩阵（B）若 且 ，则00AB（C）若 是奇异矩阵，则
6、和 都是奇异矩阵 （D）若 是可逆矩阵，则 和 都是可逆矩阵ABAB17. 若 均为 阶非零矩阵，且 ，则（ A ）与 n0（A） （B） R)( nR)(（C） （D）0四、解答题：1. 给定矩阵 ， ，求 及4312A3412BABT1解：.（5 分684125943121BT）(5 分)215041A2. 求解矩阵方程 X105234解： 分21 分012 分310X3. 求解矩阵方程 ，其中 ，BXA01210B解：因为 所以 可逆 .(2 分)6(4 分)31621A故.(4 分)3465211BAX4. 求解下面矩阵方程中的矩阵 ：X 02134010X解： 令 ，则 均可逆，且
7、02134,01,10CBA BA, 1,11BA所以 201431BCX5. 设矩阵 ，求矩阵 ，使其满足矩阵方程 .3214ABBA2解： 即 分BAI)(而 分.461352103)2( 1IA所以 AIB1)( 3201= 分.912683五、证明题1. 若 是反对称阵，证明 是对称阵。A2A证明：因为 是反对称阵，所以 （3 分）T,所以 为对称阵。 （5 分）22 )()() ATT22.设矩阵 及 都可逆，证明 也可逆。,AB1B证明：因为 ， 可逆，故 ， 存在， 分,1()所以有 分1 11 1111()()()ABABIAI 故 可逆，其逆为 . 分1AB1BA3.已知 为 阶方阵，且 ，,n BA222)(,证明： 0BA证明： 4 分BA22)(所以 4 分04.设 为两个 阶方阵，试证明： 的充要条件是 。BA,n 2)(BABABA证明：充分性： 因为 所以 4 分222)(必要性：因为 ，即BABA 2BAA所以 8 分5. 是反对称矩阵， 是对称矩阵,A证明: 是反对称矩阵的充要条件是 。BBA证明： 充分性：因为 , , ATT所以 ,即 是反对称矩阵 4 分)(必要性：因为 是反对称矩阵，即BABT)(又 ATT)(所以 8 分
