1、对数的运算性质1例题分析：例 1用 ， ， 表示下列各式： （1） ； （2） logaxlaylogazlogaxyz23logaxyz解：（1） lazog()laxy；logaz例 2求下列各式的值：（1） ； （2） 75log45l10解：（1）原式= = ；7log224log7519（2）原式= 210l55例 3计算：（1）lg14 21g ； （2） ； （3） 18lg739lg42.1lg0l387l解：（1）解法一： ll214lg2(7)(l)gl()；7g32l0 解法二： = ；18l3l214lg4lg()l7g1818)37(4l2lg0说明：本例体现了对数运
2、算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。（2） ；253lgl9lg4325（3） = .1l0l87l113323(lg21)l()lgl03例 4已知 ， ，求 的值。lg2.3l.471l.4分析：此 题 应 注 意 已 知 条 件 中 的 真 数 2， 3， 与 所 求 中 的 真 数 有 内 在 联 系 ， 故 应 将 1.44 进 行 恰 当 变 形 ：， 然 后 应 用 对 数 的 运 算 性 质 即 可 出 现 已 知 条 件 的 形 式 。2211.(0)解： 2lg4l.lg(lg21)2(0.7.301).582说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。例
3、5已知 ，求 lolaaxcbx分析：由于 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式， 的存在使变形产生b（2）23la3og()logaxyz2la1llaa困难，故可考虑将 移到等式左端，或者将 变为对数形式。logacb解：（法一）由对数定义可知： bcaxloglogacb（法二）由已知移项可得 ，即 ，由对数定义知： ， l xbacxbxca（法三） ， ， logbaloglbaaaxclogbac说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。1对数的运算性质：如果 a 0 ， a 1， M 0 ，N 0，
4、 那么（1） ；（2）log()llogaaaMNN；logl-logMNN（3） ()naaR证明：（性质 1）设 ， ，lplogaq由对数的定义可得 ， ，N ，pqpMNa ，log()即证得 loglaaaN练习：证明性质 2说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”（简易表达以帮助记忆） ；（2）注意有时必须逆向运算：如 ；10251010logllog（3）注意定义域： 是不成立的，)()()(log53322 是不成立的；l10210（4）当心记忆错误： ，试举反例， NogM)N(l aaa，试举反例。llog例 6 （1）已知 ，用 a 表示 ；（2）已知 ， ，用
5、、 表示 32a33l4632a5bab30log解：（1） ， ， log 3 4 log 3 6 = 1logl（2） ， ， 5b3log5又 ， = 3loga031l253331l2ll5()2ab换底公式（性质 3）设 ，logaMp由对数的定义可得 ，pa ，n ，la即证得 oglna1换底公式： ( a 0 , a 1 ； )loglmaN0,1m证明：设 ，则 ，两边取以 为底的对数得： ， ，logaxx loglxmaNloglmxaN从而得： ， amlNallog说明：两个较为常用的推论：（1） ； （2） （ 、 且均不为 1） logl1abllmnaab0b证
6、明：（1） ；（2） 1lglol ba lgllologmnabam2例题分析：例 1计算：（1） ； （2） 0.21log35 4492l3l3解：（1）原式 = ；0.251llog3（2） 原式 = 23451l4ll122 例 2已知 ， ，求 （用 a, b 表示） 18log9a5b36og解： ， ， ，l128l818loga又 ， ， 185b18log5b ab2l5og936l45log181836例 3设 ，求证： 64tzyx yxz21证明： ， ，1tzyx 6lg4l3lgtztt， ytttxz 21llg3l61例 4若 ， ，求 8log3p35q解：
7、 ， ， )5lg1(3lllo2 pp又 ， ， q3lg5lo llg5lqpq3lpq315lg例 5计算： 4219384 3lo)l2)(lo( 解：原式 23254123(logl)(logl)log 45)2log1)(l3log1l2( 3245ll6532 例 6若 ，求 log8og43m解：由题意可得： ， ， 21ll 3lg21lm对数函数例 1求下列函数的定义域：（1） ； （2） ； （3） logxya)4(logxya)9(log2xya分析：此题主要利用对数函数 的定义域 求解。(0,)解：（1）由 0 得 ，函数 的定义域是 ；2x02lxya0x（2）由
8、 得 ，函数 的定义域是 ；44)4(og4（3）由 9- 得-3 ，函数 的定义域是 2x3x9l2xya 3x说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。例 2求函数 和函数 的反函数。51xy212x)0(解：（1） ；2x115()log()fx(-2)x（2） 1-xy-112()l(-)f5()例 4比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， ； （2） ， ； （3） ， .2log3.2l8.50.3log80.3l7log.1al59a解：（1）对数函数 在 上是增函数，yx(,)于是 ；2l.42l.（2）对数函数 在 上是减函数，0.3ogyx(,)于是
9、；0.3l18.l7（3）当 时，对数函数 在 上是增函数，alayx(0,)于是 ，log5.l.9a当 时，对数函数 在 上是减函数，1logayx(,)于是 log5.1al.9a例 5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， ； （2） ， ； 6l7l 3log2l0.8（3） ， ， ； （4） ， ， 0.91.og0.7l8567log3解：（1） ， ， ；66l77log6l1l（2） ， ， 3322.032l0.8（3） ， ， ，0.911.1.l09l0.7.70.7loglog1 .0.7log8.（4） ， 33356l5l36l7l3例 6已知 ，比较
10、 ， 的大小。l4lmnn解： ， ，当 ， 时，得 ，logln441loglm1n4410loglmn ， 当 ， 时，得 ，44lln0440ll ， 当 ， 时，得 ， ，44logln011noglogn ， ， 01mmn综上所述， ， 的大小关系为 或 或 001m例 7求下列函数的值域：（1） ；（2） ；（3） （ 且 ） 2log(3)yx2log()yx2log(47)ayx0a1解：（1）令 ，则 ， ， ，即函数值域为 t2t0tRR（2）令 ，则 ， ， 即函数值域为 2x02ly2(,log3（3）令 ， 当 时， ， 即值域为 ，247()3t1aayl,)a当
11、 时， ， 即值域为 01alogay(,log3例 8判断函数 的奇偶性。2()(1)fxx解： 恒成立，故 的定义域为 ， 21f(,)2()log(1)fxx，所以， 为奇函数。2logx22log(1)x2lf()f例 9求函数 的单调区间。213log()yx解：令 在 上递增，在 上递减，24ux3,)23(,2又 ， 或 ，0x1故 在 上递增，在 上递减， 又 为减函数，23x(,)(,)13logyu所以，函数 在 上递增，在 上递减。213logy2,(,1)说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。例 10
12、若函数 在区间 上是增函数， 的取值范围。2log()yxa(,13)a解：令 ， 函数 为减函数，()u 2logyu 在区间 上递减，且满足 ， ，解得 ，2()gxa(,13)0132()0g232a所以， 的取值范围为 2,对数函数1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )（A） （B） （C） （D） 2.函数 y=logx1 (3x)的定义域是 如果对数 有意义，求 x 的取值范围；)56(log27解：要使原函数有意义，则 265071x解之得： -原函数的定义域为-7，-6) (-6，-5) (-1，+ )函数 的定义域为一切实数，求 k
13、 的取值范围。4)2(lg2ky52k利用图像判断方程根的个数3已知关于 的的方程 ，讨论 的值来确定方程根的个数。xax3log解：因为 在同一直角坐标系中)10(ll33y 作出函数与 的图象，ay如图可知：当 时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的0a 个数为 0 个；当 时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个 数为 1 个；当 时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个 数为 2 个。4若关于 的方程 的所有解都大于 1，求 的x4)lg(2axa取值范围解：由原方程可化为，变形整理有)(l(ga（*）0l322xx， ，由于方程（*）的根为正根，则10l解之得 ，从而0
14、)4(lg213)(l8l922a2lga10a5求函数 的单调区间)32(lo1xy解：设 ， ，由 得 ，知定义域为u2g0u032x又 ，则当 时， 是减函数；当 时， 是增函数，而),3()1,(4)1(2x)1,(u),3(xu在 上是减函数y2loR的单调增区间为 ，单调减区间为)3(1gx ),(),3(题目 2】求函数 的单调区间。12lyx5（ -+）正解】由 得 x1 或 x5，即函数 的定义域为x| x1 或 x5 ，05-312logy5（ -3+）当 x1 时， 是减函数， 是减函数，所以 是增函数；t2-+12t 12ly5（ -3+）当 x5 时， 是增函数， 是
15、减函数，所以 是减函数；tx25-312lyt12x（ ）所以 的增区间是（-，1） ；减区间是（5， ） 。12logyx5（ -3+）6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集则有 或，解得 已知函数 f(x)=lg( a21) x2+(a+1)x+1.(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围.解：(1)( a21) x2+(a+1)x+10 对 xR 恒成立.a21=0 时， a
16、=1，经检验 a=1 时恒成立；a210 时， a1 或 a ， a1 或 a .(2)a21=0，即 a=1 时满足值域为 R；a210 时， 1 a .1 a .7 的定义域为 R，求 a 的取值范围。2logyx（ +1）【正解】当 a=0 时，y=0 ，满足条件，即函数 y=0 的定义域为 R；当 a 0 时，由题意得： ；2044a由得 a 的取值范围为 0，4） 。【评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式 不一定是一元二次不等式。xc2+b08.函数 y=log (1 x)(x+3)的递减区间是( )21A.(3,1) B.(,1) C.(,3) D.(1，)【解析】设 t(1
17、 x)(x3) x22 x3( x1) 24 由(1 x)(x3)0 得3 x1 当 x(3，1)时， t(1 x)(x3)递增 ylog (1 x)(x3)的递减区间是(3，1)219.已知函数 ylog a(2 ax)在0，1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是( )A.0 a1 B.a1 C.1 a2 D.1 a2【解析】若 0 a1，则函数在定义域上是增函数；若 a1，则当 0 x1 时，2 ax0 恒成立即 x ，因此 11 a2a210.求函数 y=loga(2-ax-a2x)的值域。【解】由于 2-ax-a2x0，得-21 时，y=log at 递增，ylog a2。故当 a
18、1 时，所求的值域为（-，log a2） ；当 0a1 时，所求的值域为（log a2,+） 。11.求函数 y=log2 log2 (x1,8)的最大值和最小值.4【解】 令 t=log2x,x1,8,则 0log 2xlog 28 即 t0,3 y=(log2x1)(log 2x2)=( t1)( t2)= t23 t+2=(t )2 t0,341当 t= ,即 log2x= ,x=2 =2 时， y 有最小值= .33当 t=0 或 t=3，即 log2x=0 或 log2x=3,也即 x=1 或 x=8 时， y 有最大值=2.12.设函数 y=f(x),且 lg(lgy)=lg(3x
19、)+lg(3-x),（1）求 f(x)的表达式及定义域；（2）求 f(x)的值域。【解】 （1）若 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)有意义，则 又lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),lgy=3x(3-x)。y=10 3x(3-x)(0x3)。.1,30,lg3,yxx即（2）3x(3-x)=-3x 2+9x=-3(x- )2+ (0x3),0-3x 2+9x 。1y10 。4747427y=f(x)的定义域为（0，3） ，值域为（1，10 ） 。2713 函数 在区间 上的最大值比最小值大 2，则实数 =_ 或 ； 14 已知函数 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的
20、单调性； 当 时，求 的最大值，最小值及相应的 值在 上单调递减，在 上单调递增当 时， ，当 时， 15、已知函数y=log a(1a x)(a0且a1)。(1)求函数的定义域和值域；(2)证明函数图象关于直线y=x对称。(1)当a 1时，函数的定义域和值域均为(，0) ；当0a1时，函数的定义域和值域均为(0，+)。(2)由y=log a(1a x)，得1a x=ay，即a x=1a y，x=log a(1a y)，f 1 (x)=loga(1a x)=f(x)。f(x) 与f 1 的图象关于直线y=x 对称， 函数y=loga(1a x)的图象关于直线y=x对称。16、.设 ，求函数 的
21、最大值。9,27x 3(log27l)(3xf、 1217、已知函数 。)(log)1(llog)( 222 xpxxf (1)求函数f(x)的定义域；(2) 求函数f(x)的值域。(1)函数的定义域为(1 ，p)。(2)当p3时，f(x) 的值域为(，2log 2(p+1)2) ；当1p= 时，f(x)的值域为( ，1+log2(p+1) 。18、已知 ， 求函数)4(log)2(l21xy的最大值和最小值 、0log7)l22121xx 41,219：已知 的减函数，则 的取值范围是（ ）yal(在 ， 上 是 aA （0，1） B （1 ，2） C （0，2） D 答案：B。， 解析：本
22、题作为选择题，用排除法求解较简，由于这里虽然有 ，故 在0，1 上定为减函数，依题设必01， uax2有 ，故应排除 A 和 C，在 B、D 中要作选择，可取 ，则已知函数为 ，但是此函数的定义域为aa3ylog()3，它当然不可能在区间0，1 上是减函数，故又排除了 D，从而决定选 B。， 2320函数 （ ）图象的对称轴方程为 ，求 的值解：解法一：由于函数图象关于 对称，则 ，即，解得 ， 或 又 ， 解法二： 函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 轴对称，则它为偶函数，即 ，21 已知 f(x)= 3( x1) 2，求 f(x)的值域及单调区间.分析：分清内层与外层函数.解：
23、令 u(x)=( x1) 2+33，则 f(x) 3=1， f(x)值域为1，+).f(x)的定义域 u(x)0，即( x1) 2+30， x(1 ，1+ ).u(x)在(1 ，1上递增，在(1，1+ )上递减.0 1， f(x)在(1 ，1上递减，在(1，1+ )上递增.22 已知 y=log0.5(x2 ax a)在区间(， )上是增函数，求实数 a 的取值范围.解：函数 y=log0.5(x2 ax a)由 y=log0.5t 与 t=x2 ax a 复合而成，其中 y=log0.5t 为减函数，又 y=log0.5(x2 ax a)在(， )上是增函数，故 t=x2 ax a 在区间(， )上是减函数.从而 a1， .
