1、空间向量与立体几何经典题型与答案1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 ，且PABCD/ABDCPA,90BCD， ， 是 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12AMP（）证明：面 面 ；（）求 与 所成的角；PB（）求面 与面 所成二面角的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C证明：以 为坐标原点 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为AD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (0,)(,20)(1,)(,0)(,)(0,)PM（）证明：因 ., DCAPDCAP所
2、以故由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又 在面AC PADC上，故面 面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j PDD（）解：因 ),0(),(B.51|,cos|2|PAC所 以故（）解：在 上取一点 ，则存在 使M(,)Nxyz,R,MCN.211201),1,( zyzyxNC要使 40,5ACxzA只 需 即 解 得 0),521(),521(, .,4MCBNBNA有此 时 能 使点 坐 标 为时可 知 当 为ANBMCAN 所 以得由 .,0,0所求二面角的平面角 头htp:/w.xjkygcom
3、126t:/.j 304|,|,.552cos(,).3|arcos().ANBANB故 所 求 的 二 面 角 为2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形,VABCDABVAD平面 底面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （）证明： 平面 ；（）求面 与面 所成的二面角的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明：以 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D（）证明：不防设作 ，(1,0)A则 ， ， (1,0)B23,V),01(),(A由 得
4、 ，又 ，因而 与平面 内两条相交直线 ， 都垂直 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,VBVABDABVDVAD 平面 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D（）解：设 为 中点，则 ，E)43,01(E).2,(),43(),0,43( DVBA由 .,EADVE 又得因此， 是所求二面角的平面角，,721|),cos(BA解得所求二面角的大小为 .arcos3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱PABCDABD CBAV底面 ， ， ， ， 为 的中点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j P
5、ABCD3A1BC2PAEPD（）求直线 与 所成角的余弦值；P（）在侧面 内找一点 ，使 面 ，N并求出点 到 和 的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 的坐标为 、,ABCDPE(0,)A、 、 、(3,0)(3,1),、 ，2从而 ).2,0(),(PBAC设 的夹角为 ，则与 ,14732|cosPBA 与 所成角的余弦值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C（）由于 点在侧面 内，故可设 点坐标为 ，则NN(,0)xz，由 面 可得，)1,2(zxEEPAC .0213,.0),13(,(2.0, xzz
6、xACNP化 简 得即 163zx即 点的坐标为 ，从而 点到 和 的距离分别为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ),63NABP3,4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所CD1ECF截面而得到的，其中 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 14,2,3,ABB（）求 的长； （ ）求点 到平面 的距离 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j FA解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，(0,)D(,40)B设 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1(2,0)(,4)(2,
7、)(0,43)ACEC(,0)Fz 为平行四边形，1F.62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzzA（II）设 为平面 的法向量，1n1AEC)1,(,1yxnD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 02240,1 yxAFn得由 .41,024xy即的夹角为 ，则11),3(nC与设又 .346|cos1 到平面 的距离为C1AEF.1343cos|1d5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，在长方体 ，中， ，点 在棱 上移动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）证明：1ABCD1,2
8、ADBEAD；1DE（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离；E1C（3） 等于何值时，二面角 的大小为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A1D4解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则D,A,zAEx11(,0)(,)(,0)(1,)(0,2)ADExAC（1） ., 1EDA所 以因 为（2）因为 为 的中点，则 ，从而 ，B(10) )0,21(),(1C，设平面 的法向量为 ，则)1,0(1AD1ACD,cban,1An也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为2cabcab2)2,1(ED.31|1nEh（3）设平面 的法向量 ，1D
9、C),(cban ),10(),120(),2,1(1CxCE由 令 ， .0)2(,0xEn ,cax ).21(x依题意 .25)(2|4cos 21 xDn （不合，舍去）， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 321x 3 时，二面角 的大小为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j AE1EC46 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，在三棱柱 中， 侧面 ， 为棱 上异于 的一点，1ABAB1CE11,C，已知 ，求：1EAB112,3C（）异面直线 与 的距离；E（）二面角 的平面角的正切值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.
10、j 1A解：（I）以 为原点， 、 分别为 轴建立空间直角坐标系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j BB,z由于， 112,3C在三棱柱 中有A,1(0,)(,2),(0)BAB)0,23(),021,3(C设 即得由 ,),3( 11EAEa)0,23(),2(0a,443a .,043)023()0,213( ),21(),(,) 11 EBEBa 即故舍 去或即得又 侧面 ，故 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因此 是异面直线 的公垂线，A1CABE,A则 ，故异面直线 的距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 43|1,（II）由已知
11、有 故二面角 的平面角 的大小为向量 的,11EBAE1AEBEAB与1夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j .2tan,32|cos ),2,(),0,(11即故因 ABE7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， 是 上PABCDABPDABCE一点， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知FE,21,2E求（）异面直线 与 的距离；（）二面角 的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解：（）以 为原点， 、 、 分别为DACDP轴建立空间直角坐标系 头htp:/w.xjkygcom
12、126t:/.j ,xyz由已知可得 (0,)(,),(0,)P设 ),02(),(0,xBxA则由 ，).,3(1)21( CEPE 0CEPE得即 由 ，.23,043xx故 DD 得),23(0,12又 ，故 是异面直线 与 的公垂线，易得 ，故异面直线PDEPE1|E, 的距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C（）作 ，可设 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由 得G(0,)z0CDG0)2,(),zy即 作 于 ，设 ，,yz故 可 取 EFPFmn则 31(,).2EFmn由 ，0(,)(02,),210PC n得 即又由 在 上得F 32,1,(,).nmnEF故因 故 的平面角 的大小为向量 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,EPCDGEPCDDG与故 即二面角 的大小为2cos,4|FPC.4
