1、一元二次方程的代数应用与解析（中考数学知识点分类汇编）一元二次方程的代数应用一、选择题1. （2018 四川绵阳， 8，3 分） 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人【答案】C.【解析】解：设这次参加酒会的人数为 x 人，根据题意可得 ，解得 x1=11，x2= -10（舍去）.故选 C.【知识点】一元二次方程的应用1. （2018 江苏省宿迁市，8，3） 在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线 l若直线 l 与两坐标轴围成的面积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是（ ）A5 B4 C3 D2【答案
2、】C【思路分析】设直线 l 的解析式为 ykx b，l 过点（1，2） ，2 kb，b2kykx 2k与 x 轴的交点为（ ，0） ，与 y 轴的交点为（0，2 k ） 与坐标轴围成的面积 S 丨 2k 丨8解得k12，k264 ，k364 ，故选 C【知识点】一次函数，一元二次方程2. （2018 山东省泰安市，10，3）一元二次方程 根的情况是（ ）A无实数根 B有一个正根，一个负根C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根大于 3【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。解法一：整理
3、得： ，解得： ，故选 D.解法二：设 ，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选 D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题1. （2018 山东省日照市，14，4 分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为 1 200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 40 米.设绿地宽为 x 米，根据题意，可列方程为 . 【答案】x(x+40)=1 200【解析】设绿地宽为 x 米，则绿地长为（ x+40）米. 根据矩形的面积公式，可列方程为 x(x+40)=1 200.【知识点】一元二次方程的应用2. （2
4、018 贵州安顺，T14，F4）若 是关于 x 的完全平方式，则 m=_.【答案】7 或-1【解析】 是关于 x 的完全平方式， （m-3）=16.解得 m=7 或 -1.【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.3. （2018 四川自贡，15，4 分）若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，则 的值为 . 【答案】1【解析】函数 的图象与 轴有且只有一个交点，一元二次方程 有两个相等的实根，即 ， .【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关系三、解答题1. （2018 四川省南充市，第 20 题，8 分）已知关于 的一元二次方程 .（1 ）求证：方程有两个不相等的实数根.（2 ）如果
5、方程的两实数根为 ， ，且 ，求 的值.【思路分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可.(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，用含 m 的式子表示出 x1+x2 和 x1x2 的值，再代入 ，化简整理即可.【解题过程】解：(1)根据题意，得： =(2m2)2 4(m22m)40， 3 分方程有两个不相等第实数根. 4 分(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2=2m2，x1x2=m22m， 5 分 ， . 6 分(2m2)22(m2 2m)=10. 化简，得m22m3=0，解得：m1=3，m2=1.m 的值为 3 或1. 8 分【知识点】一元二次方程根的判
6、别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式2. （2018重庆 B 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设该县政府计划：2018 年前 5 个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50 个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍（1 ）按计划，2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池？（2 ）到 2018 年 5 月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78 万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值据核算，前 5 个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1 2为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入
7、，今年后 7 个月，在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设经测算：从今年 6 月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018 年前 5 个月的基础上分别增加 a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年前 5 个月的基础上分别增加5a%，8a%求 a 的值【思路分析】 （1）根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出到 2018 年 5 月底前，该县修建的沼气池 40 个，修建垃圾集中处理点 10 个；再求出前 5 个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平
8、均费用；最后根据题意，列出关于 a 的一元二次方程，解方程即可求出 a 的值【解题过程】23解：（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则修建垃圾集中处理点(50x)个，根据题意，得x4(50x)，解得 x40答：按计划，2018 年前 5个月至少要修建 40 个沼气池（2 ）由题意可知，到 2018 年 5 月底前，该县修建的沼气池 40 个，修建垃圾集中处理点 10 个，若令修建的沼气池每个 y 元，则修建的垃圾集中处理点的每个2y 元，从而由题意得 40y102y78，解得y1.3，即到 2018 年 5 月底前，修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为 1.3 万元
9、和 2.6 万元根据题意，得 40(15a%)1.3(1a%)10(18a%)2.6(15a%)78(1 10a%)令 a%t，则 52(15t)(1 t)26(18t)(1 5t)78(1 10t)，整理，得10t2 t0，解得 t10.1，t20（不合题意，舍去） ，从而 a%0.1 ，a10答：a 的值为 10【知识点】一元一次不等式的应用 一元二次方程的应用3. （ 2018 江苏省盐城市，23，10 分） 一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40元为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1
10、 元，平均每天可多售出 2 件（1 ）若降价 3 元，则平均每天销售数量为_件；（2 ）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？【思路分析】 （1）由题意得，20+2326，所以若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件； （2 ）本题中的相等关系：每天每件的盈利每天的销量每天销售利润【解题过程】解：（1）26；（2 ）设当每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元由题意，得（40x） （20 2x）1200整理，得 x 230 x2000（x 10） （x20）0x110，x220又每件盈利不少于 25 元，x20不合题意舍去答：当每件商品降价 10
11、元时，该商店每天销售利润为 1200 元【知识点】一元二次方程的应用4. （2018 四川省宜宾市，6，3 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该市2017 年“ 竹文化”旅游收入约为 2 亿元。预计2019“竹文化 ”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A.2% B.4.4% C.20% D.44%【答案】C【解析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去） ，
12、故选择 C.【知识点】一元二次方程的实际应用1. （2018 重庆 A 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造（1 ）原计划今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1至 5 月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2 ）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 12 ，且里
13、程数之比为 21为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入经测算：从今年 6 月起至年底，如果政府经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a0） ，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值【思路分析】 （1）根据“道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米的经费，最后根据题意，列出关于 a 的一元二次方程，解方程即可求
14、出 a 的值【解析】23解：（1）设今年 1 至 5 月道路硬化的里程为 x千米，则道路拓宽的里程为(50 x)千米，根据题意，得 x 4(50x)，解得 x40答：今年 1 至 5 月道路硬化的里程为 40 千米（2 ）2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数共 45千米，且里程数之比为 21，道路硬化为 30 千米，道路拓宽为 15 千米设 2017 年道路硬化每千米的经费为 y 万元，则道路拓宽每千米的经费为 2y 万元，根据题意，得30y 152y780，解得 y13从而 2017 年道路硬化每千米的经费为 13 万元，道路拓宽每千米的经费为 26 万元根据题意，得 13(1a%)40(15a%) 26(15a%)
